Об одной конструкции строго гармонических колец

В работе [1] рассмотрены разные классы алгебраических систем F (1) , у которых внутренние объекты F^' (1) , хорошо изучены, чем исходные алгебраические системы F (1). Одним из таких классов является класс строго гармонических колец, а его внутренним объектом является класс локальных колец с единицей. В работе приводится один алгоритм построения строго гармонических некоммутативных колец из класса локальных коммутативных колец.

Строго гармонические некоммутативные кольца

Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и B ( R ) - множество всех его центральных идемпотентов. Множество B ( R ) является булевой алгеброй относительно операции: е 1 л e 2 = e 1 • e 2 , e 1 v e 2 = e 1 + e 2 - e 1 • e 2 , e = 1 - e с наибольшим элементом 1 (единица кольца) и наименьшим элементом 0 (нуль кольца). Здесь и далее буква « e » с индексами или без них обозначает произвольный элемент из B ( R ) .

Определение 1. Ассоциативное кольцо R с единицей называется локальным, если оно имеет единственный максимальный правый идеал. Как известно, свойство «быть локальным кольцом» записывается формулой V k g R 3 1 g R ( k • t = 1 v ( 1 - k ) • t = 1 ) .

Определение 2. Ассоциативное кольцо R с единицей называется строго гармоническим, если для любых двух неравных максимальных правых идеалов M ₁ и M ₂ существует центральный идемпотент из R, разделяющий их, т.е. e g M 1 и e t M 2 .

Мы приведем разнообразные классы строго гармонических коммутативных и некоммутативных колец.

Определение 3 . Ассоциативное кольцо R называется абелево регулярным, если V r g R 3 r g R ( r • r • r = r ) .

Регулярное кольцо R называется абелево регулярным, если все его идемпотенты являются центральными.

Примером абелево регулярного кольца является тело и прямое произведение тел.

Теорема 1 . Любое абелево регулярное кольцо R является строго гармоническим кольцом.

Доказательство. Действительно, пусть R – абелево регулярное кольцо. Легко показать, что любой правый идеал кольца R является левым идеалом и всякий идеал порождается своими центральными идемпотентами. Следовательно, R является строго гармоническим кольцом. □

Теорема 2 . Любое локальное кольцо R является строго гармоническим кольцом.

Доказательство. Действительно, следующие условия эквивалентны для кольца R :

• 1)    R имеет единственный максимальный левый идеал;

• 2)    R имеет единственный правый идеал;

• 3)    R является локальным кольцом.

Известно, что R является локальным кольцом, если все необратимые элементы образуют двусторонний идеал. Собственный идеал не содержит обратимого элемента. Следовательно, этот идеал является наибольшим собственным идеалом.□

Укажем сейчас одну конструкцию получения нового класса строго гармонических колец, если задан некоторый исходный класс строго гармонических колец.

Теорема 3 . Пусть R – строго гармоническое коммутативное кольцо с единицей, а R – кольцо всех верхнетреуголь н ых матриц порядка n над кольцом R , у которых диагональные элементы равны. Тогда R является строго гармоническим некоммутативным кольцом.

Доказательство. Элементы кольца R имеют вид:

a aij

a

, где a , a ij e R .

a

Пусть J - некоторый правый идеал в R . Определим а ( J ) = { a e R | a является диагональным элементом некоторой матрицы A из J } . Тогда а ( J ) является идеалом в кольце R . Действительно, при умножении и сложении матриц такого вида соответствующие диагональные элементы матриц умножаются и складываются. Обратно: пусть J – некоторый идеал в R . Определим в ( J ) = { a e R | диагональный элемент A из J } . Тогда /Д J ) — двусторонний идеал в R . Это легко проверить. Если J - максимальный идеал в R , то в J ) — максимальный идеал в R . Действительно, только сложение матриц вводит новый диагональный элемент, т.е. расширяет идеал /Д J ) • Следовательно, расширяется J . Поэтому если /Д J ) немаксимальный, то таким будет идеал J .Пусть M , N - два различных идеала в R .Тогда существует e e B ( R ) такой, что e e M , e 6 N . Рассмотрим матрицу

e

e e=

e

Имеем e e P(M), e £ в(N) .Проверим, что любой максимальный идеал в R имеет вид в(M), где M – некоторый максимальный идеал в R .Для этого достаточно доказать, что любой собственный идеал J в R содержится в некотором /ДM), где M — максимальный идеал в R . Пусть J - собственный правый идеал в R .Очевидно, мы имеем J с в(а(J)). Это следует непосредственно из определения операторов а и в. Если а(J) - собственный идеал в R , то выберем максимальный идеал M в R такой, что а(J) с M. Отсюда следует J с в(M) - Задача заключается в том, чтобы доказать, что а(J) - собственный идеал, если J - собственный правый идеал в R . Допустим противное, т.е. а(J) = R или 1 e а(J). Значит, существует некоторая матрица A e J такая, что ее диагональный элемент есть 1. Обозначим Jj матрицу, где на (z, j) месте находится 1, а на остальных местах все нули. Для любого j >1 мы имеем: J 1 j = A ■ J 1 j e J, т.к. J является правым идеалом и J 1 j e R при j >1. Замечание: J 11 £ R . Мы получим B = A — ^ (J 1 j • a1 j )e J , так как

j = 1

a 1 j

A e J и J 1 j ■ a =

e J для всех j >  2 . По условию матрица A имеет вид:

a 1 j

A =

a ₁₂

a ₁₃

a 22

a1n a2n

Отсюда имеем B = (bj) и b1 j = 0 для всех j Ф 1 и B e J, b11 = 1. Аналогично для всех j > 2 имеем J2j = B ■ J2j e J, так как B e J и J2j e R и J - правый идеал в R . Используя индукцию по n получим, что все матрицы Jj e J для всех j > z'. Отсюда получим единичную матрицу E e J, так как E = A — ^ Jj ■ a j e J, A e J, Jj e J и J - правый i < j идеал в R . Значит, J - несобственный правый идеал, т.е. J = R . Получим противоречие. Значит, а(J) - собственный идеал в R , если J - собственный правый идеал в R . Тем самым доказали, что R -строго гармоническое кольцо, если R строго гармоническое коммутативное кольцо. Рассмотрим в R множество P всех матриц с фиксированным нулевым столбцом. Отметим, что элементами главной диагонали таких матриц являются нули. Легко проверить, что множество P таких матриц образует левый идеал. Очевидно, P не является правым идеалом в R . Наоборот, пусть N - множество всех матриц с фиксированной нулевой строкой. Элементы главной диагонали таких матриц есть нули. Легко показать, что N является правым идеалом, но не будет левым идеалом. Отсюда следует, что при n > 3 кольцо R является некоммутативным кольцом. □

Заключение

Известно, что любое строго гармоническое кольцо можно представить соответствующим пучком ассоциативных колец с единицей над булевым пространством. Слоями данного пучка являются локальные кольца. Следовательно, все хорновы свойства класса локальных колец истинны в классе строго гармонических колец.