Об одной переопределенной задаче тепловой диагностики

Введение 1

Во многих отраслях техники встречаются процессы, связанные с нагреванием твердых тел потоками жидкости или газа. Особую роль при этом играет информация о температуре на поверх-ности этих тел.

Как правило , единственным способом опре-деления этой температуры является решение гра-ничных обратных задач для уравнений теплообме-на в твердых телах по результатам измерений внутри этих тел. Во многих случаях возникает не-обходимость использования результатов измере-ний температуры в большем числе точек, чем это требуется для однозначного определения искомых характеристик. Переход к переопределенным по-становкам обратных задач обычно позволяет по-лучить более достоверные данные [1].

• 1.    Постановка обратной задачи

Пусть тепловой процесс описывается уравне-нием

8u ( x , t ).= ^д2 u ( x ₂ , t ) , 0 _x 1, _t 0,       (1)

оt         x ²

решение u(x, t) которого определено и непре-рывно в замкнутой полосе [0,1]X [0, 00 ) иудовле- творяет следующим начальному и граничным :

u(x, 0) 0,    0 x 1;(2)

u(1, t) h(t), t > 02(3)

И бu(0, t)

—ku(0,t) 0, k 0, t 0,(4)

Сx где коэффициент k неизвестен,

h(t) е C2[0,со), h(0) h'(0) 0

и существует число t0 >0 такое, что для любого t> t0

h(t)0.

Рассмотрим множество M_r CZ L 2[0,00), опре-деляемое формулой

h ( t ) : h ( t ) е L 2 [0,со);

r   и h2(t)dt+ J[h'(t)]2 dtr

В дальнейшем будем предполагать, что искомая функция h(t), используемая в (3), удовлетворяет условию

h ( t ) е M r .

* Работа поддержана грантом р_ Урал_а№ 10‒01‒96000.

Предположим, что при f0 (t) и g0 (t) существует функция h^t), удовлетворяющая условиям, сформулированным выше, такая, что при h(t) = h0(t) существует решение u(x, t) задачи (1)—(4), удовле творяющее условиям:

u ⁽ x b t ^{) =} f 0 ⁽ t )и u ⁽ x 2 , t ) = g 0 ⁽ t ^),

0 <  x 1 <  x ₂< 1, t > 0, но эти функции нам не известны, а вместо них даны некоторые функции f ( t ) и g ₅( t ) e L 2 [0,оо)П L 1 [0,oo) и число 8 > 0 такие, что

II f ( t )" f 0 ( 1 42 2 [0„,⁺ g ( t )- 8 0 ( t <           (1°)

Требуется, используя исходные данные задачи x1,x2,8, r, f(t) и g5(t), определить прибли женное значение h5 (t) и оценить его уклонение IIhs — h01IL2[0,ю) от точного значения hj(t).

g (T)sh|T 0 (1- x 1 )4r -f (T)shp 0 (1- x 2 )Ут shp₀( x 2 - x 1 )Vr

h (г)=                о                     (16)

g Cc)shM-0(1-x1)yM -f (т)shц°(1-x2)yH sW x2" xr)^

,

где h (г) = F [ h ( t )] и h (t) = u (1,t) = lim u ( x ,t).

Таким образом, если оператор T , действующий из пространства H x H в H , определим формулой (16), где

D ( T ) = {( f , g ) : ( f , g ) e H x H , T [ f (t), g (t)] e H

—

область определения оператора T , то задача (12)— (14) сведется к задаче вычисления значений неограниченного оператора T

2. Сведение задачи (1), (2), (4) и (8)—(10) к задаче вычисления значений неограниченного оператора

Продолжим решение u (x, t) задачи (1)—(4) на отрицательную полуось, положив u (x, t) = 0 при t < 0.

h (t) = T [ f (г), g (г)],

Теперь покажем, что сужение оператора T на подпространство L 2 [—1,1]х L 2 [-1,1], которое обо-

Т1

значим через T является ограниченным оператором , здесь L ₂[-1,1] — комплексное. Так как

Введем пространство H = L ₂ (-co,co) + iL ₂ (-co, co) над полем комплексных чисел и оператор F , отображающий пространство H в H и определяемый формулой

F [ h ( t )] = -;i= [ h ( t ) e^x;dt , -оо<т<оо. (11) V2л Д

Из теоремы Планшереля [2] следует, что оператор F , определяемый формулой (11), унитарен. Таким образом, (1) сведем к уравнению

Q и ⁽ x ,т) ₌ i_Tu ( x ,_т), x^ (0,1), __00<т<00, (12)

Гx ²

то оценим

где

u ( x ,г) = F [ u ( x , t )].

u ^{( Х} 1П⁾ = f Ш

и

где

u (x2,T) = g (Т), f (т) = F[f (t)], a g(т) = F[g(t)].

Решение уравнения (12) имеет вид .         [A1 (т) e ⁰ x + B1 (т) e" ^xx , -

' •Uto e "0     в , e'*

где

Ho = (r i ). Mi^U i l, a A (т)^, A (т)^, B (t) 4 2        V2

и B 2 (т) — произвольные функции. Из (12)—(15) следует, что

= 2 I L 2 [-1,1]

^, I L 2 [0,1]

L 2 [0,1]

L 2 [0,1]

.

< 1. Тогда I L 2 [0,1]

L 2 [0,1]

|shp.₀(1- x , )Vr| +|shp₀(1- x 2 )Vr|

< 2 sup I--------•------LJ------ -------L. (18)

^05x51          |^shH0⁽ x 2 - x ₁⁾Vr|

Так как

| ^shH0⁽¹- x j^/rp 2ч^

ch² (1 - x 1

cos² (1 - x 1

sh² ( x ₂ - x 1

,

a

| shp.₀ (1- x ₂)Vr| гГ2

ch² (1 - x ₂

cos²(1- x ₂

sh²( x ₂ - x 1 то из (18) следует, что

L 2 [0,1]

,

< 2 sup

0<т<1

ch² (1 - x 1

cos² (1 - X 1

+2 sup

0<т<1

ch²(1- x ₂

sh²( x ₂ - x ^t/ 2 )Ут/2 -cos²(1- x ₂

sh²( x ₂ - л 1 )Ут/2

'     ' (19)

Ввиду того, что

lim т-> 0

ch² (1 - x 1

cos²(1- Х 1

sh² ( x ₂ - x 1

sh²(1- x ₁)7tT2       sin²(1- x )УУ/2

= lim /----17 ,---+ lim/----1 ,---= r->0sh2( x 2 -%1)Ут/2 T->0sh2( x 2 -л1)Ут/2

= 2

1- x 1 f

L x 2- ^x 1 J то из (20) следует

,

2 lim т-> 0

ch² (1 - x 1

cos² (1 - Х 1

+2 lim т-> о

sh²( x ₂ - x 1 )Ут /2 ch²(1 - x ₂)Ут/2 - cos² (1 - x ₂

a 1     A           Ai     A где те [-1,1], f (т)=f (т) и g (t) =g(т) при те [-1,1]-

Из соотношения (22) следует, что оператор T 1 , определяемый формулой (23), ограничен и соответствующая задача

1             АЧ1

h (т) = T 1[f (т),g (т)]; те[-1,1],(24)

А 1А где h (т) = h(т) при те[-1,1], корректна-

Вторая задача является задачей вычисления значений неограниченного оператора T ², определяемого формулой

А 2         а а 2 а2

h (т) = T2[f (Т), g (т)] = g2(r)sh Ц0(1 - x^)Ут - f 2(r)sh Ц0(1 - x2)Ут shp.0( x2 - x1)^

= 4

1- x 1

^x 2- ^x 1

"12

• + 4

^sh²⁽ x 2- x 1 >

Г -         "12

1- ^x 2

^x 2 " x

-

Таким образом, функция щ(т), определяемая формулой

ch²(1- x ₁)Vr/"2 - cos²(1- л 1 )чг 2

+ 2 T(x) = ‘

sh²( x ₂ - x ₁)VrT2 ch²(1 - x ₂ )Ут/2 - cos² (1 - x ₂

sh²( x ₂ - л 1)Ут/2

,

1- x 1

^x 2- ^x 1

"12

• + 4

1- ^x 2

^x 2 - x

"12

■ , т = 0,

непрерывна на отрезке [0,1] и потому существует число с 1 > 0 такое, что для любого г е [0,1]

(т)| < _{С 1}-                                           (21)

Из (19)—(21) следует, что -1

и потому сужение оператора T на пространство L ₂Ш]^Х L ₂[^_1,1] является ограниченным оператором - Теперь разобьем задачу (17) на две. Первая из них имеет вид

1          ~1    ~1

h (т) = T 1 [ f (т), g (т)] =

А1                                 /  >"х1                                  / g (T)sh|i0(1-xx>k -f (T)shp0(1-x2)Vt

shp₀( x ₂ - x 1 )Vr

0

g 'cOshM¹” x_x: "f 'Сг/ЬщД¹- ^x₂)VR

- 1

^shP0⁽x₂- ^x1)VH

^ 2     —        [\—T 2^     —        /i—T g (T)shP0(1"x1)yy|~f (T)shP0(1-x2)yN shH0( x 2- x1\p\

T <-1-

^{f (}t^{) = f (}т), g (0 = g(О  и  h (0 = h CO  при

1-

Обозначим через Mr множество из H такое, что Mr oF[Mr ]- Тогда с учетом (7),

Mr=Th(т): h(т)еH, J(1 + t²)|h(т)| dT² L (26)

I                            0                                    .

Из (8) следует, что h 0 (т) e Mr -

Так как задача (23) корректна, то в ней нет необходимости требовать выполнения условия А 1                                                      _Аа2

h0(т)е Mr, а для задачи (25) через Mr обозначим сужение множества Mr определяемого формулой (26), на пространство

—2       , ,

H =Н1UH2, где Н1 = L2[1, оо) + iL2[1, оо);

Н2 = L (-оо,-1] + L [-1,оо),

то есть

АА 2 АА --2

Mr =Mr^H -

А 2

Предположим, что точное значение h0(т) в

А-А 2

задаче (25) принадлежит классу Mr - Для решения задачи (25) используем семейство операторов [3], определяемое формулой

А А 2 а2

T_a²[f (т),g (Т)] =

g (t) sh Цо (1 - Хг)Уг - f (t) sh Цо (1 - x 2) V^х sh ц_о (x₂ - x1)Vr

g (t) sh цо⁽¹ - x аД -^{f (t)} sh цо⁽¹ - x 2) VR ^shЦо⁽x 2- x^VR            ’

a 2,a

Приближенное значение hs (т) задачи определим формулой

-2,a       , ^2    21

hs (т) = T_a^![f₅(т);g₅(т)].

Для выбора параметра регуляризации а = а(8) в формуле (29) рассмотрим оценку

следовательно, на основании (32)

T2<_________⁴_________e(1-x )VaZ2

II “II e^(x2"^x1) _e-^(x2"^x1)                '

Тем самым лемма доказана.

Существует число осо > 1 такое, что для любого a>a о справедлива оценка

4 e "-x

Доказательство

Пусть то е [1,а] и

| sh“оi^{| X}1⁾Vт2"|           |^sh^⁽¹" ^x1⁾Vr|

Г------------/ maxr------------п. (33)

I ^sh^^(x 2" ^лЛо]  ^Кт~“|^Цо^(x2-^x1⁾Vt|

Тогда для любого достаточно большого значения n определим функции f n (т) = о и

2,а -2

2,ос    а2,сс

- 2,a   -2

+ hо  -hо ,

-2,a       i ^2    21

где hо Ш  T_a^![fо(т);gо⁽т^)].

- 2  ^2

AV о

- 2   21

+ g_S -g0

< 2

Так как из (29) и (31) следует, что

	о,	1 1<т<то—; n
- 2		1
gn(т) = -	Vn,	Т о    < Т < То
		n
	о,	то <т<а.

Таким образом,

sup

f;v2|‘* |g 2 -; if«-

а 2,а   л2,а hs -hо

=1T.’h

то перейдем к оценке нормы оператора T2,

2 22 Ta2[fn, gn ]

опре -

деляемого (28). Так как ||т_а^!|| при те[1,а] совпадает с ||T.211 при те[-а,-1], то достаточно получить оценку нормы ||T2|| при т е [1,а].

Если а > 1, то справедлива оценка

min I sh^(1" xr)Vr| те Цо--То]

--------------------й. (34)

max  sh^( x 2-x1)Vt те Со—То] n

Так как из непрерывности функции | shZ следует, что min |sh^(1" x1)xR\            ,                , те [то—.то]                             shЦ2(1-x1)VT

-----n"H------------F\ "^ max г-----------Д, max sh^(x2-x1)Vt    1ж“ sh^(x2-x1)vt те [то-То] n

II_T2<__________⁴__________e(1-X1W^/2

II “II e^(x2-^x1) _e-^(x2"^x1)

Доказательство

при n ^ co, то из (33) и (34) следует, что

2 II2

Пусть f (т) + g (т)

.

< 1. Тогда, аналогич-

но (19), получаем

2     .2

Ta2[f (Т),g (Т)] <2 sup

1<т<сс

c^h(1- x1)VrT2 /-----. ⁽³²⁾

sh( x₂ - X1)VtZ 2

sh(1 - x. )VtZ 2

> max-----1—1=^ >

1x₂ -x₁)Vt/2

e(1-x1 )VaZ2 _ e(1-x1 )Va/2 2 e (x2-x1)Va/2

Так как при т е [1, а] ch(1 - x1) Vt / 2 <

e (1-x₁)Va/2

Учитывая, что ---------> о при a -> со, и на

2 e (x 2^-x1)Vcc/2

основании (35) получим существование числа а о >1 такого, что для любого a > а о

а

e(x2-^x1) _e-(^x2"^x1)

2            ,

IIT^Ц e ⁽'-^x2^)№

Тем самым лемма доказана.

то

sup

1<т<а

sh( x₂ - Xi

(1-x1 )Va/2 e ,

Пусть

2,                 ?2/ cd (a) = sup   hо(т) ^т

- 2           -2

: hо(т) еMr >,

тогда

2,а -2 sup< hо -hо :

-2   —-2 I hо е Mr) = ю(а).

и

Из (26) и (27)

- 2       -—-2

hо(т) е Mr

следует, что при условии

ос 2(8) =

1 2(1- х₁)²

ln2

r с 28

”         „ 2    2

J (1 + т²) hо(т) dt².

Из (36) и (38) следует, что га2(а) = r 2.

1 + ос

а из (45), что ос(8) ~ 1п2 8 при 8 -> о.

Из (42) и (46) следует существование числа с₃ > о такого, что при достаточно малых значениях 8 справедливо неравенство - 2,а(8)   -2            9

hs     -h о <с₃1п"²8.                       (47)

Таким образом, из (3о), (37), (39) и леммы 1 следу ет, что

2,a -2

r____ , „ Д1~X2)75/2

----c 2 e           >

(4о)

Из леммы 2 и (46) следует, что оценка (47) является точной по порядку, то есть существует число с₄ > о такое, что при достаточно малых значе

ниях 8

________4_______ где с2    e(х2_х1) _e_(х2_X1) .

Параметр регуляризации ос = ос(8)

(29) выберем из условия

Vb^e⁽¹-= —.

c 28

Тогда из (4о) и (41) следует, что

в формуле

sup

- 2,a(8) -2 hs -h о

hо e Mr

- 2,a(8) -2 h₅    -h о

2 r

.

2  ^2

k"f о

+

2 >v2 2

g_s-g о  ^8²> >^с4ln²8.

-1

Далее решение задачи (23) обозначим через hs (т):

1            ^1     ~1

hs (т) = T 1[ f₅(т), g₅ (т)]. Из (22) и (48) следует, что

-1        -1

hs (т)- h о(т)

< сД

Из теоремы, сформулированной в [3], леммы 2 следует, что оценка (42) является точной по порядку .

Пусть -- ^с 28

1-X1

■ ^ . Тогда, ввиду того, что функция V 1 + oc2e(1 X1)7z/2 , строго возрастая по a, (1-X1)

изменяется от V2e^V2 до co, существует единственное решение ос(8) уравнения (41).

Для упрощения оценки (42) рассмотрим два уравнения:

e (1-х1 )Та/2 _ c 28

-1         . ~1~1

где hо(т) = T[f_о(т),g_о(т)]. Решение задачи (17)

определим формулой

-         ~ 1        -2,а(8)

hs (т) = hs (т) + h 8 (т).

Тогда из соотношений (47), (49) и (5Q) следует существование числа с₅ > о такого, что

I hs (т)-h о(т)|| <с 51п"28.(51)

Теперь рассмотрим h (t) = F 1[h8 (т)] = ^ [ h8 (т)eiTtdт.(52)

V 2л Д

Окончательно решение h₅ (t) обратной задачи (1),

(2), (4), (9) определим формулой

и

2(1-х1 )Va/2 _ e             с 28

.

^h8 ⁽t^{) =}

Re[h₅ (т)], о,

о < t< 00;

t<о.

Решение уравнений (43) и (44) обозначим через ос 1(8) и ос2(§). Тогда из (41), (43) и (44) следует , что при достаточно малых значениях 8

Из (52) и (53) следует, что

|| ^h8⁽t) -^hо⁽t )|| ^с₅1п“² 8,

справедливы соотношения ос 2(8) < ос (8) < ос1(8).

Из (43) и (44) следует, что a 1(6)  ---2-^ln2 —

(1- X!)²     с28

Заключение

Предложенный обобщенный метод проекци-онной регуляризации не связан технически со спектральной функцией оператора задачи и пото-му допускает постановку и решение некорректно поставленных задач в различных пространствах. Этот факт оказывается очень важным при решении

переопределенных обратных задач тепловой диаг-ностики, так как такие задачи принципиально невозможно погрузить в одно пространство.