Об одном численном алгоритме решения интегральных уравнений первого рода в пространствах L2, основанном на обобщенном принципе невязки

Многочисленные практически важные задачи приводят к некорректно поставленным задачам, как, например, уравнениям Фредгольма первого рода. При численном решении некорректных задач возникает проблема дискретизации исходной задачи, то есть замены непрерывной математической модели некоторым ее конечномерным аналогом. Наиболее употребительными способами дискретизации является конечноразностный, при котором нахождение приближенного решения обычно сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

К настоящему моменту получено большое число результатов, посвященных доказательству сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению [1–5], а также исследованы обобщенный метод и принцип невязки применительно к решению нелинейных задач [6].

Наряду с решением вопроса о сходимости конечномерных аппроксимаций, важную роль играет получение оценки погрешности. Впервые, такая оценка при достаточно больших значениях размерности аппроксимации была получена в работе [7].

В данной статье рассмотрен численный алгоритм решения интегральных уравнений первого рода в пространстве L ₂ . Этот алгоритм использует метод регуляризации А.Н. Тихонова с параметром, выбранным из принципа невязки. Один из таких подходов к получению оценок может быть основан на использовании эквивалентности обобщенного принципа и обобщенного метода невязки [8].

Использование данного подхода проиллюстрировано на примере задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости. Исследование возможности выявления тонкой структуры, в первую очередь, количества, положения и величины пиков функции n ( s ) и разработка для этого эффективных, т. е. требующих минимальной априорной информации и оптимальных по точности методов решения некорректно поставленных задач имеют важное теоретическое и практическое значение, не ограничивающееся рамками рассматриваемой обратной задачи.

Постановка задачи

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода b

Au ( s ) = j P ( s , t ) u ( s ) ds = f ( t ), c <  t <да ,                                                              (1)

a где P(s, t) e C([a,b] x [c,да)), u(s) e L2[a,b], f (t) e L2[c,да)и ядро P(s, t) замкнуто.

Предложим, что при f ( t ) = f o ( t ) существует точное решение уравнения (1) u ₀( s ), которое принадлежит множеству M_r , где

M r = { u ( s ) : u ( s ), u '( s ) e L ₂[ a , b ], u ( a ) = 0 } ,                                                             (2)

где u '( s ) – производная u ( s ) по s . Из замкнутости ядра P ( s , t ) будет следовать единственность решения u ₀( s ) уравнения (1).

Пусть точное значение f 0 ( t ) нам неизвестно, а вместо него даны f ₅ ( t ) e L ₂[ c , да ) и 5 >  0 такие, ^что f 5 ⁽ t ) - ^f ) ⁽ t )| I L 2 <^{5 .}

Требуется по f 5 ( t ), 5 и M определить приближенное решение u 5 ( t ) и оценить его уклонение от точного решения u ₀( t ) в метрике пространства L ₂[ a , b ].

Введем оператор B , отображающий пространство L ₂[ a , b ] в L ₂[ a , b ], формулой s

u(s) = Bv(s) = jv©d^; v(s), Bv(s) e L2[a,b](3)

a и оператор С:

Cv(s) = ABv(s); v(s) e L2[a,b], Cv(s) e L2[c,да).(4)

Из (3) и (4) следует, что b

Cv (s) = j K (s, t) v (s) ds,(5)

a где s

K (s, t) = j P © t) d ^.(6)

b

Для численного решения уравнения (1) оператор C заменим конечномерным оператором С_n , для которого h n может быть определена из соотношения || C n - C || <  h n .

Для определения величины h_n введем функцию N ( t ) ,

N ( t ) = max P ( s , t )|; t e [ c , да ).                                                                             (7)

a <  s <  b

Так как P ( s , t ) e C ( [ a , b ] x [ c , да ) ) , то из (7) следует, что N ( t ) e C [ c , да ).

Для определения оператора С_n разобьем отрезок [ a , b ] на n равных частей и введем функции K_i ( t ) и K_n ( s , t ) формулами:

K. (t) = K (s, t),(8)

где

• - sz + s/+1              (i +1)(b - a)           i(b - a) . . ..

• s,- =--------- , s,, = a +  ------------ -, s, = a +-- -, 1 = 0,1,..., n - 1,

+1

а

Kn(s,t) = Ki(t);sz-

Моделирование и компьютерные технологии

Используя (9), определим конечномерный оператор С_n формулой b

C n v ( 5 ) = J K n ( 5 , t ) v ( 5 ) ds ; t e [ c , ” ),                                                                       ⁽¹⁰⁾

a где Cn отображает пространство L2[ a, b ]в L2[ c, да).

Из (5)–(10) следует, что ii С. - Ci

Регуляризующий алгоритм решения уравнения (1)

Для решения уравнения (1) воспользуемся методом регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка [9]

b-]

inf j Cnv (s) - f5 (t) +aj[ v (s)] ds: v (s) e L2[ a, b ]k a> 0. i

Из [9] следует существование и единственность решения vah (s) вариационной задачи (12).

Для определения параметра a = a(Cn,f5,hn,5) введем функцию f5n(t)eL2[c,да), определяемую формулой f>,n (*) = pr [f> (*); R(Cn )1,(13)

то есть являющейся метрической проекцией в пространстве L, [c, да) функции f 5 (t) на множестве значений R(C_n ) оператора C_n.

Значение параметра регуляризации a = a(Cn, f₅,5)в задаче (12) выберем из обобщенного принципа невязки [10]:

ICnvan (s) - f 5,n (t) I = Ivan (s)||hn +5.                                                                   (14)

Известно, что при условии ||f_5n (t)|| >5 + ||w₀(s)||h_n существует единственное решение a(C_n, f 5,hn,5) уравнения (14).

Приближенное решение u5h (s) уравнения (1) определим формулой u8hn (s) = Bva'nCn,f 5,hn ,5) (s).                                                                                    (15)

Оценка погрешности приближенного решения u_δh (s) уравнения (1)

Введем функцию to(o,) = sup{||u(s)|L : u(s)eMr, ||Au(s)||

u²

Теорема 1. Пусть u₀( s) e M, а u₅h^ (s) определена формулой (15) и ||f_5n (t )|| >5 + ||u₀( s )||h_n .

Тогда существует число r > 0 такое, что

Ju5hn^(s) ^-u0 ⁽s)||L< ^2to(^{5 + 2}rhn, r).

Доказательство. Так как u0(s) e M, то из (2) следует существование числа r > 0 такое, что u 0( s) e BSr,

а приближенное решение u5hn (s) = Bv5hn (s),

в котором v8^ (s) является решением вариационной задачи v8 hn |2 = inf {| v(s )||2 : v(s ) eL2[a, b], Cnv 0 -f8, hn (t ) <8 + ||v||hn }. Поскольку uо e BSr, то	(18)
||CnV0 - f 81| < |CnV0 - Cv0 + Cvo - f 81| < |c„v0 -Cv0|| +1CVo — f 8|1, где v0= B-1u0, и Cvo = ABvo. Поэтому	(19)
IIC„v0 - f8||<5 + ||vo||hn,	(20)
и ICnv0 - f8 <8 +vo||hn. Из (18) и (21) получим	(21)
v8, hn<1 lv o||. Из (16), (17) и (22) следует, что	(22)
u 8hn(s) e BSr = Mr. Теперь оценим величину Au8h- Au0 . IIAu8hn ~ Auo| <|Au8hn-f8,n+Au0 -78,n . |Au 0 - f8, ,| 1 = 1 Cv0 - Cnvo| I + ||Cvo - J8, ,||. то из (21) следует, что Au0 - f 8,n<8 + 2 vo| hn или с учетом (16)	(23)
Au0 - f 8,n<8 + 2rhn . Из (13), (18) и (22) ясно, что	(24)
Cnv8hn- f 8,n<8 +rhn , а из (22) и (11), что	(25)
Cv8hn " Cnv8hn< rhn. Таким образом, (25) и (26) дают	(26)
I Au 8 hn - f8, „I |<8 + 2 rhn. Из (24) и (27) следует, что	(27)
Au8hn- Au0 < 28 + 4rhn. Из (16), (23) и (28) имеем неравенство u 8 hn-u 0 <®( 2[8 + 2rhn ],2r ).	(28)

Используя известное свойство функции ю(о,r), приведенное в [11, с. 12], окончательно получим, что

I^u8hn^{- u}o||< М^{8 + 2rh}n, r).

Тем самым теорема доказана.

Сведение вариационной задачи (12) к системе линейных алгебраических уравнений

Известно, что вариационная задача (12) эквивалентна уравнению

Cn C„v (s) + a v (s) = Cn f8 (t),                                                                    (29)

где C_n^*– оператор, сопряженный оператору С_n .

Моделирование и компьютерные технологии

Из (8) и (10) следует, что n-1 _

CnV (s) =       X Ki (t) Vi, v n i=0

где vi =

n b - a

si+i j v (s) ds.

si

Из (29) и (30) следует, что вариационная задача (12) эквивалентна системе алгебраических уравнений b - an-I

-----Xbyvi+aVj = gj; j = 0,1,2,...,n-1,(31)

n i=0 ww b - ar где by = jKi(t)Kj(t)dt,а gj = y/; f Kj(t)f5(t)dt. c

Система (31) при любых значениях a> 0и (gj) имеет единственное решение, которое мы обозначим через (via).

Используя обобщенный принцип невязки (14), параметр регуляризации a( С_п, f₅, h_n, 5) в системе (31) определим из уравнения

”

If [

b-a n-1 K( t) va n i=0

^{2     2}     n—1/    \2

f„(t) 4 = X(v“)

_ i=0

hn +5.

При условии ||f_5n||>5 + ||uо(s)||h_n существует единственное решение a(С_п, f₅,hn,5) уравнения (32).

Окончательно решение v5h (s) задачи (31), (32) обозначим через v8hn (s) = { via: si-1 ^s < si}; i=1,2,

...

, n.

Приближенное решение u₅h (s) уравнения (1) будет непрерывной, кусочно-линейной функцией, определяемой формулой

U 5hn (s) = jv5hn ©d^.

a

Приложение общей схемы к задаче определения фононного спектра по его теплоемкости

Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнением первого рода

Sn(s) = f K(s, t)n(s)ds = f-^t); 0 < t<да,                                                          (33)

at s2

где K(s, t) =------т—

21³sh²1

, n(s) e L2[a,b], f(t) e L2(0, w), n(s) - спектральная плотность кристалла, а f (t) – его теплоемкость, зависящая от температуры.

Предположим, что при f (t) = f,(t) существует точное решение n0(s) уравнения (1), которое принадлежит множеству M , где

M = {n(s): n(s), n(s) e L2[a,b], n(a) = 0}, а n'(s) – производная по s .

Пусть точное значение fо(t) нам неизвестно, а вместо него даны f5 (t) е L2(0, да), 5 > 0 такие, что

f5 (t) f)(t) —

<5.

L₂

tt

Требуется по f5 (t), 5 и M определить приближенное решение n₈(t) и оценить его уклонение от точного решения n₀(t) в метрике пространства L₂[a,b]. Заметим, что единственность решения уравнения (33) доказана в [12].

Введем оператор B, отображающий пространство L₂[a,b] в L₂[a,b] формулой s

n(s) _ Bu(s) _Ju(Уd^; u(s) е L₂[a,b], Bu(s) е L₂[a,b]

a и оператор C, для которого

Cu(s) _ ABu(s); u(s) е L₂[a,b], Cu(s) е L₂(0,да).

b

s

Из (3)-(6) следует, что Cu(s) _JP(s, t)u(s)ds, где P(s, t) _JK (£, td^.

b

Из

N(t) ²

a

Определим функцию N (t) формулой

N (t) = max a < s < b

s2	b2
	<-----—-
213sh2 Г—)	213sh21 — |
( 21J	( 21J

.

K(s,t)

непрерывности

, 4 да         1

:         _ b r       1

L^(0,да) " 4 J _A, ( a

⁴ 0t⁶sh⁴1 -

dt.

следует непрерывность    N(t).    Кроме того

При t ^ да, N²(t) ~

Г V2b T 1

I a J

, а при t²

t ^ 0, N(t) ^ 0 . Таким образом N(t) е L2(0, да).

Следуя (9)–(12), для решения (33) воспользуемся методом регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка inf< Cnu(s)

—

f 5 (t ) t

²b₂

+ aJ[u(s)] ds: u(s) е L₂[a,b]>, a>0.

a

Обозначим через f5n(t) функцию, принадлежащую пространства L2(0,да), определяемую формулой f5,n (t) = Pr

f5 (t) .

t

R (Cn) ,

то есть является метрической проекцией в пространстве L2 (0, да) функции f5 (?) на множестве значений оператора Cn .

Значение параметра регуляризации a = a(Cn, f₅(t),h_n,5) в задаче (34) выберем, пользуясь условием (14)

IICnuК (s) — f5,n(t)|| = |uК (s)|hn +5, где u5h (s) - решение вариационной задачи (34).

Моделирование и компьютерные технологии

Известно, что при условии ||/_5п(t)|| >8 + | По(5)hh_n существует единственное решение а(С, f5(t),Пп,5) уравнения (35).

Если решение u5^С^п’^{f5 (}t)’ⁿn^,5)(5) обозначить через u₅п_п (5), то приближенное решение п₅п_п (5) уравнения (33) будет иметь вид п₅n (5) = Bu₅n_n (5).

Из (31) и (32) будет следовать, что уравнение (35) в Rⁿ примет вид

и

100 L

b-1 £ p (t) й^а- C ^^{м п} г=0                 t

dt >

п -1

= £ Ой") 2 Пп + 5.

_ i=0

Перейдем к оценке погрешности приближенного решения в метрике пространства L₂[a,b].

Введем функцию to(o, r ) = sup{||п(5)||£ : п(5) G Mr, Ц^п(5)|| < о|, n2

где M_r = BS_r, п>0, r > 0, а S определен (33). Из теоремы 1 получим неравенство

II^п5П_п⁽⁵) ^{- п}0⁽⁵)||^[a b] < ²®(^{5 + 2гП}п, r).

В работе [12] было получено, что ю(п,r) < r I 1 + 1ln² l П

Для приближенного решения u5n (5) имеет место оценка

-1

II п_8/) (5 ) - п₀ (5 )||        < 2 r |1 + ^ln²f ,

• ^{5ПпУ       0V 7}IIl2[a,b]       l n     145JJ

где п₅n_n (5) - приближенное решение уравнения (33).