Об одном классе пучковых ассоциативных колец

Булевозначный анализ алгебраических структур представляет собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе в теории колец и групп. Для алгебраических структур метод булевозначного анализа эффективен, если для алгебраической системы K удается построить такой содержательный пучок F ( • ) на полной булевой алгебре B , что K = F (1) (пучок F ( • ) называется представляющим систему K ). В связи с этим важен вопрос о возможности построения такого пучка F ( • ) .

В работе строятся пучки F ( • ) , представляющие полупервичные рационально полные кольца на полных булевых алгебрах и изучаются семантические оценки формул в языке колец.

Оценки в рационально полных кольцах

Пусть R ассоциативное кольцо с единицей, а B = B ( R ) булева алгебра его центральных идемпотентов. Тогда естественным образом определяется предпучок F ( • ) на B . А именно полагаем F ( e ) = eR , где e g B , а также если e_x <  e ₂, то p e ² ( r ) = e^r , где e_x , e₂ g B и e ₁

r g F ( e ₂) . Этот предпучок называется каноническим предпучком на B .

Напомним, что ассоциативное кольцо называется полупервичным, если пересечение всех первичных идеалов равно нулю. Идеал I называется первичным, если I ^ R и V I 1 , V I ₂ ( I 1 • I ₂ с I ^ I 1 с I v 1 ₂ с I ) , где 1 1 , 1 ₂ произвольные идеалы в R . Правый идеал I кольца R называется плотным, если для каждого элемента r g R левые аннуляторы множеств { s g Rr • s g I } равны нулю; кольцо R называется рационально полным, если для любого плотного правого d идеала D и любого гомоморфизма f g Hom r ( D , R ) найдется элемент r g R , такой, что V d g D ( f ( d ) = dr ) .

Пусть R полупервичное кольцо, I идеал кольца R . Тогда известны следующие свойства:

• 1.    Левый аннулятор идеала I равен его правому аннулятору, т.е. I = I * .

• 2.    I плотный идеал тогда и только тогда, когда I * = { 0 } .

• 3.       I n I * = { 0 } , I + I * плотный идеал кольца R .

Предложение. Если R полупервичное рационально полное кольцо, то любой аннуляторный идеал выделяется прямым слагаемым.

Доказательство. Пусть I идеал кольца R , I * правый аннулятор идеала I в R . Определим отображение h : I + I *^ R по правилу h ( a + b ) = b , где a e I , b e I * .

Отображение h корректно определено, так как I +1 * прямая сумма. Легко проверить, что h есть гомоморфизм R -модулей. По условию кольцо R рационально полное, значит, 3u e R такой, что h(c) = u • c , где c e I +1 *. Покажем, что u центральный идемпотент кольца R . Пусть b e R , buc = bh(c) = h(bc) = ubc . Следовательно, (bu — ub)• c = 0 для всех c e I +1 *. Из плотности идеала I +1 * следует bu = ub. Осталось показать, что u2 = u . Итак, u2c = uh(c) = h(uc) = uc, так как uc e I *. Действительно, так как c e I +1 *, то 3c1 e 1, 3c2 e I *, что c = c1 + c2. Выполнены uc 1 = 0, uc2 = c2. Значит, uc = uc1 + uc2 = uc2 e I *. Следовательно, (u2 — u )• c = 0 для всех c e I +1 *. Докажем, что

I * = uR . Действительно, ura = 0 для всех a e I . Если r • I = 0 , то r e I * и ur = r . □

Определение 1. Кольцо R называется B -кольцом, если B ( R ) полная булева алгебра.

Определение 2. Кольцо R называется пучковым, если оно B -кольцо и канонический предпучок F ( • ) на B является пучком.

Мы приведем широкий класс пучковых колей, а именно класс полупервичных рационально полных колец.

Для любого пучкового кольца R определяется отображение Я ( R ) ^ B ( R ) , где Я ( R ) -множество всех предложений в языке колец с множеством R в качестве множества параметров. Это отображение называется B -оценкой и обозначается [[ • ]] B . Для атомарного предложения r = s оценка определяется следующим     образом:

[[ r = s ]] _B <  v { e e B ( R ) er = es } . Если r , s - полиномы, то они заменяются на их значения, вычисленные в кольце R . Затем это отображение продолжается на все множество Я ( R ) обычны образом: 11 ^ ^А ^ U в <  |И| в А И в , ^[[3 x ^ ]] в < ^{ || ^ ( ^{r )]]} B r ^{e R }} и аналогично для всех других пропозициональных связок и квантора V . Оценка [[ • ]] _B замкнута относительно классической выводимости в теории колец.

Теорема. Пусть R полупервичное рационально полное кольцо. Тогда R пучковое кольцо и [[ R первичное кольцо ]] = 1 _B , где 1 _B наибольший элемент булевой алгебры B ( R ) .

Доказательство. Пусть R полупервичное рационально полное кольцо. Тогда по предложению имеем B ( R ) = B *( R ) , где B *( R ) полная булева алгебра аннуляторных идеалов кольца R . Проверим, что канонический предпучок F ( • ) на B ( R ) является пучком. Пусть { e _a } разбиение единицы и e _a • s _a e F ( e _a ) . Тогда а (1 — e _a ) = 0 , так как v e _a = 1 . а                        а

Значит,

*

Z e a R

V а )

= n(1 — ea) R = 0 а

т.е. Z e _a R плотный идеал в R . Эта прямая сумма, а

так как по дизъюнктности семейства {ea} из e1 r1 +.„ + enrn = 0 следует, что e1 r1 = 0, .„, er nn

= 0 . Положим f ^{( e} 1 ^r 1 ⁺ . ⁺ e n r n ) = ^e 1 s 1 ^r 1 ⁺ . ⁺ e n s n r n .

(^

Тогда f e Hom_R I Z e _a R , R I

V a )

. Из

рациональной полноты кольца R следует существование элемента s g R такого, что e 1 s 1 r 1 + ... + e n s n r n = s ( e 1 r 1 + ... + e n r n ) . Отсюда имеем V a ( e _a s _a = e _a s ) . Такой элемент s определяется однозначно. Действительно, если Va ( e _a s _a = e _a ~ ) . Тогда Va ( e _a ~ = e _a s ) .

Значит,     I ^ e R l(s - ~) = 0.    Отсюда s = ~ . Осталось    показать,    что v a

[[ R первичное кольцо ]] = 1 . Для этого нам необходимо проверить, что оценка [[ V r g R ( arb = 0 ) ^ a = 0 v b = 0 ]] = 1 ,               которая               равносильна

V r g R [[ arb = 0 ]] <  [[ a = 0 ]] v [[ b = 0 ]] . Пусть e g B ( R ) и e ■ arb = 0 для всех r g R . Покажем, что [[ a = 0 ]] v [[ b = 0 ]] >  e . Рассмотрим I = bb^ главный идеал, порожденный элементом b кольца R , I * аннулятор идеала I . Тогда I + 1 * плотный идеал кольца R и I n I * = 0 . Определим отображение h : I + I * ^ R по правилу h ( r 1 + r ₂ ) = r 1 , где r 1 g I , r ₂ g I * . Отображение корректно определено, так как I + I * прямая сумма. Непосредственно проверяется, что h гомоморфизм R -модулей. Следовательно, существует элемент u g R , такой, что h ( s ) = us для всех s g I + 1 * . Покажем, что u g R является центральным идемпотентом кольца R . Пусть r g R , то rus = rh ( s ) = h ( rs ) = urs для всех s g I + 1 * . Значит, ( ru — ur ) ■ s = 0 для всех s g I + 1 * . Из плотности идеал I + 1 * следует ur = ru . Далее, u ² s = uh ( s ) = h ( us ) = us , так как us g I . Действительно, из s g I + 1 * следует, что 3 s 1 g 1 , 3 s 2 g I * ( s = s 1 + s 2 ) . Значит, us = u ( s 1 + s 2 ) = us 1 . Из определения отображения h следует ub = b . По условию eaRb = 0 . Значит, ea g I * . Следовательно,      u ■ ea = 0 . Тогда      [[ b = 0 ]] >  1 — u ,      ^{[[ ea} = ^{0 ]]} >  u .     Значит,

[[ b = 0 ]] v [[ ea = 1 ]] = 1 (*). Проверим следующее соотношение: e [[ ea = 0 ]] = e [[ a = 0 ]] . Действительно, по определению оценки [[ ■ ]] и из пучковости кольца R имеем: [[ ea = 0 ]] - ea = 0 ,       [[ a = 0 ]] - a = 0 . Отсюда получим       e ■ [[ ea = 0 ]] <  [[ a = 0 ]] ,

e ■ [[ea = 0]] < e ■ [[a = 0]]. Очевидно, что [[a = 0]] < [[ea = 0]]. Значит, e ■ [[ea = 0]] = e[[a = 0]]. Соотношение (*) умножим на e. Имеем e([[b = 0]] v [[ea = 0]]) = e, e ■[[b = 0]]v e ■ [[ea = e]] = e, e ■[[b = 0]]v e ■ [[a = 0]] = e , [[a = 0]] v [[b = 0]] > e . □

Поскольку все известные теоремы о первичных кольцах могут быть доказаны в ZFC , то их булевы оценки равны 1 _B . Данное обстоятельство позволяет в силу доказанной теоремы переносить некоторые результаты о первичных кольцах на полупервичные рационально полные кольца. Здесь приведем лишь простейшее следствие.

Следствие. Хорновы теории классов полупервичных рационально полных колец и первичных колец совпадают.

Заключение

Раньше автором был изучен V3 - хорновы теории следующих классов колец: строго гармонических нормальных, бирегулярных, абелево регулярных и p - колец. Основным методом изучения является гейтинговозначные оценки в чистых пучках ассоциативных колец.