Об одном критерии конечности бернсайдовой группы В(2,5)

Пусть B (2,5) – двупорожденная бернсайдова группа периода 5, а B ₀(2,5) – максимальная универсальная конечная двупорожденная группа того же периода (порядок последней равен 5³⁴ [1]). Вопрос о совпадении указанных групп на сегодняшний день является открытым [2].

В настоящей работе сделан первый шаг в попытке редуцирования проблемы совпадения групп B (2,5) и B ₀(2,5) к проблеме совпадения двух групп, одна из которых имеет порядок существенно меньший, чем 5³⁴. Данная попытка основана на классическом результате В. П. Шункова, который был получен в 1972 г.: периодическая группа, содержащая инволюцию, централизатор которой конечен, локально конечна и почти локально разрешима [3].

Пусть {1,2} - образующие группы В (2,5) и ф - автоморфизм порядка 2 данной группы следующего вида (1 ^ 2,

φ:

• [ 2 ^ 1.

Аналогичным образом (в тех же обозначениях образующих) можно определить автоморфизм ф ₀ группы B ₀(2,5).

Пусть C_{B (2,5)} (φ) и C B ₀(2,5) (φ 0 ) – централизаторы автоморфизмов ф и ф 0 в B (2,5) и B 0 (2,5), соответственно.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема. | ^С _в 0 ₍ 2 _> 5 ₎ ⁽ Ф о^)| = 5 '7 .

Поскольку по приведенной выше теореме порядок C B ₀ (2,5) (φ 0 ) значительно меньше порядка B ₀(2,5), авторы предлагают сравнивать C_{B (2,5)} (φ) и C B ₀ (2,5) (φ 0 ) . Ясно, что если C_B (2,5> (ф) = C_B 0 ₍₂ , ₅₎(Ф₀), то по упомянутому выше результату В. П. Шункова группа B (2,5) будет конечна.

Доказательство. Как и в работе [1], будем представлять элементы группы B ₀(2,5) в виде нормальных коммутаторных слов. В качестве первых двух коммутаторов возьмем образующие группы B ₀(2,5), которые обозначим 1 и 2, а последующие с 3 по 34 коммутатор вычисляются рекурсивно через 1 и 2 [1].

В этом случае каждый элемент g е B0 (2,5) однозначно представляется множеством упорядоченных произ- ведением базисных коммутаторов в определенных степенях g = 1а'2а2...34а34, где а,, е {0,1, 2, 3, 4} (i= 1,2, ..., 34).

Для доказательства теоремы необходимо найти в группе B0(2,5) такие элементы, что ф0(g) = ф0(1а12а2 • ...34а34) = 1а1 2а2...34а34 = g.     (1)

При помощи компьютерных вычислений, используя список соотношений для базисных коммутаторов из работы [ 1], был вычислен результат действия ф ₀ на каждый базисный коммутатор.

Ф о (1) = 2,

Ф о (2) = 1,

Ф о (3) = 3⁴,

Ф₀(4) = 5⁴10⁴13¹14⁴15¹17¹18¹19¹20³21⁴23¹24^|25⁴26¹27⁴28⁴31³32³33 3 34^|, ф₀(5) = 4⁴9³11¹12⁴13²16¹17³18³20¹21¹22⁴23⁴25¹27¹30³31³32 3 34¹, Ф₀(6) = 8⁴14⁴17¹20⁴21²22³24³25¹26¹28³29³30¹31 4 32¹33²34⁴, Ф₀(7) = 7⁴9 3 10⁴11¹12 2 13 2 14⁴16⁴17⁴18¹19¹21¹22¹23¹24¹25¹26¹28⁴29 2 30⁴32 2 33 3 , Ф₀(8) = 6⁴11³15⁴16²19²20³21³23 ' 27⁴29²30³32 ' 33³34³, Ф ₀ (9) = 10 3 12 ² 13 3 14 ² 15 ⁴ 16 ¹ 17 ⁴ 18 ¹ 19 3 20 ⁴ 21 ² 22 ¹ 23 ¹ 24 ¹ 25 3 27 ⁴ 28 3 29 ⁴ 30 ² 31 ¹ 32 3 33 3 , Ф₀(10) = 9²11²12³13³16⁴17⁴18³20³22⁴24³25²27 ' 29²30ⁱ31ⁱ32³33³34³, Ф₀(11) = 14³17²18⁴20⁴21ⁱ22⁴24²25 ' 27⁴28⁴30³31 ' 32³34⁴, Ф₀(12) = 13³15²16³18²19⁴20⁴21¹23³24⁴25²27¹29¹30⁴31 3 32²33²34³, Ф₀(13) = 12²15³16⁴17⁴18 ' 19³20³21³22⁴24⁴25ⁱ26ⁱ27³29ⁱ30ⁱ32ⁱ33⁴3 4ⁱ, Ф₀(14) = 11²15³16³20⁴21³24³27⁴30 ' 32³33 ' 34ⁱ, Ф₀(15) = 17³20 ' 22²24ⁱ26⁴27⁴29ⁱ30²31 ' 32³33ⁱ34ⁱ, Ф₀(16) = 17⁴18⁴20²21 ' 22²24⁴27²28⁴29²31 ' 32³33⁴34², Ф₀(17) = 15²19³20⁴21 ' 23³24³25³27⁴29⁴30³32 ' 33²34³, Ф₀(18) = 15³16⁴19³21⁴24³25²27 ' 30³31⁴32 ' 33²34³,

• ¹    Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента России (код проекта МК-2494.2008.1.), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта 2.1.1/3023), а также РФФИ (код проекта 09-01-07177-а).

Математика, механика, информатика

Ф₀(19) = 22 2 27³28³30³31²32²33 2 34¹, ф₀(20) = 20 3 21⁴24¹26²29¹30¹31⁴32 2 34², Ф₀(21) = 20³21 2 24⁴25⁴26 3 27⁴29⁴30⁴31¹34¹, ф₀ (22) = 19 3 23³25⁴29³30¹32 3 33⁴, ф₀ (23) = 28 2 33^4 2 , ф₀ (24) = 26 2 27⁴30²31¹32⁴33 3 34³, ф₀ (25) = 27⁴32⁴33¹34 3 , ф₀ (26) = 24 3 25²29⁴30⁴32⁴33²34 3 , ф₀ (27) = 25 4 32 3 33 3 34³, ф₀(28) = 23 3 32¹34⁴,

Ф₀(29) = 31 3 33¹34 3 , ф₀(30) = 30¹32¹33 3 , ф₀(31) = 29 2 32 4 34 4 , Ф 0 (32) = 33 2 , Ф 0 (33) = 32³, Ф 0 (34) = 34¹.

Так как ф ₀ - автоморфизм, то Ф„ (1^а12^а 2 ...34^а 3 ⁴) = ⁰                                        (2)

= ф₀(1^а ' 2^а 2 ...10^а ' ⁰)ф₀(11^а'Ч2^а '2 ...34^а 3 ⁴).

В работе [1] показано, что коммутаторы с 11 по 34 перестановочны и порождают характеристическую нормальную абелеву подгруппу, поэтому

Ф₀ (11^а ' ¹12 ' ² ...34^а 3 ⁴) = 11^Y1112^{Y 2}.. .34^Y34.            (3)

Принимая во внимание (2) и (3), найдем такие элементы v i = 1^а ...10^а10, что ф₀( v i ) = ф₀(1^а ...10^а10) = 1^а ...10^а10 b i , где b i = 11^в11 ...34^в 3 ⁴.

В результате полного перебора, используя компьютерные вычисления, было получено, что всего таких элементов 625.

Ввиду того, что коммутаторы с 11 по 34 перестановочны, нахождение степеней α11,..., α34 , удовлетворяю- щих условию (1), сводится к решению систем линейных уравнений над полем GF(5) следующего вида:

_о A a + b = а , ( i = 1, 2,..., 625),           (4)

где а = (а₁₁,..., а₃₄) T - вектор неизвестных значений степеней коммутаторов с 11 по 34; b i = (р„,..., р₃₄) T - вектор значений степеней коммутаторов с 11 по 34 для элемента вида v_i ; A – матрица, каждый элемент a_ij которой вычисляется как a ij = в₍ i _{+ 10)}, т е. является степенью коммутатора ( i + 10) под действием автоморфизма ф ₀ на коммутатор ( j' +    10): ф₀( j + 10) = ...( i + 10)^в( ' ^{+ 10)}...

( i , j = 1,..., 24). Другими словами, если w = 1Г¹¹ ... 34^а 3 ⁴ и ф₀( w ) = 11^Y11 ... 34^Y 3 a , т о в векторном виде это можно записать как A а = у , где а = (а₁₁,..., а₃₄) T и Y = (Y 11 ,-, Y 34 ) T .

Перепишем систему (4) в виде

(A -E)° = -°i, где E – единичнаяrматрица.

Для каждого b_i необходимо исследовать систему на совместность. Для этого сначала было найдено, что ранг матрицы [ A - E ] равен 11. Затем, при помощи компьютерных вычислений было п о лучено, что ранги расширенных матриц [( A - E ) | ( - b i )] для всех i также равны 11. Таким образом, все системы уравнений совместны. Так как число параметров будет 24 - 11 = 13 , то каждая система имеет 5¹³ решений. Общее же число решений равно 625 • 5¹³ = 5¹⁷. Каждому полученному решению будет однозначным образом соответствовать элемент группы B ₀(2,5), удовлетворяющий условию (1). Теорема доказана.