Об одном методе построения подсистем для управляемых систем

Понятие подсистемы в теории управления возникает аналогично понятию линейного подпространства в теории линейных пространств, понятию подгруппы в теории групп и т. д. Таким образом, подсистема представляет собой в определённом смысле сужение структуры исходной управляемой системы. Иначе говоря, подсистемы определяют часть фазовых траекторий системы.

В данной работе рассматриваются нелинейные системы, которые линейны по управлениям, то есть системы вида y = fo(y) + f (y)u, y e м c R", u e Rr.

Здесь y — фазовые переменные, u — управления, M — фазовое пространство системы, являющееся областью. Предполагается, что f ₀ — гладкое векторное поле; f — n x r — матрица, столбцы которой f _a , a = 1 , ..., r , — гладкие векторные поля и rank f ( y ) = const. Решением или фазовой траекторией системы (1) называется непрерывная кусочно-гладкая функция y ( t ), для которой существует такое кусочно-непрерывное управление u ( t ), что функции y ( t ), u ( t ) удовлетворяют соотношениям (1).

Подсистема представляет собой сужение системы (1) на элементарное многообразие, лежащее в фазовом пространстве. Элементарным m-мерным многообразием N C M называется множество, диффеоморфное области в Rm . Это озна- чает, что N является образом некоторой области L C Rm при гладком отображении X: L ^ R", которое в координатах записывается так:

yi = Xi(x 1, ..., xm), i = 1 ,...,n, x = (x1, ..., xm) e L c Rm.

При этом имеется гладкое отображение X - ¹ : X ( L ) = N ^ L . Каждый такой диффеоморфизм χ называется параметризацией N , пара ( L,x ) — картой N , обратный диффеоморфизм χ ^{- 1} — системой координат на N , а точки x = ( x ¹ , ..., x m ) — координатами на N . Отметим, что многообразия часто задаются в неявном виде как множество N точек области M C R ⁿ , удовлетворяющих системе алгебраических уравнений:

^k(y) = 0, k =1, ..., q, rank ^d^k/dyi^yEN = q. (2) Соотношения (2), по крайней мере, локально задают элементарное многообразие размерности m = n — q. Действительно, по теореме о неявной функции, эти соотношения можно разрешить относительно некоторых q переменных, например, следующим образом:

ya — 9a(y1 ,...,ym)=0, a = m + 1, ..., n, y =(y1, ...,ym) e V C Rm.      (3)

Переменные y можно трактовать как координаты на многообразии. Параметризацией является отображение y ^ ( y,9 ( y )).

Точное определение подсистемы заключается в следующем [1]. Рассмотрим для некоторой карты ( L,x ) многообразия N управляемую систему:

x = g _о ( x ) + g ( x ) v, x G L C R m , v G R ^s .

Пусть выполняется следующее свойство: как только x ( t ) — решение системы (4), то у ( t ) = x ( x ( t )) — решение системы (1). Тогда говорят, что система (1) допускает сужение на многообразие N ,си-стема (4) называется подсистемой системы (1), а многообразие N называется P -многообразием. Если P -многообразие является открытым множеством в M ,то подсистема называется открытой. Дадим локальный вариант определения сужения. Если N C M — многообразие, то многообразие W П N , где W — область в M , называется открытым подмногообразием многообразия N . Будем говорить, что система (1) допускает локальное сужение на многообразие N в точке у 0 G N , если система (1) допускает сужение на некоторое открытое подмногообразие многообразия N , содержащее точку y ₀ . Дальнейшие результаты в основном носят локальный характер, то есть связаны с понятием локального сужения в точке. При этом явное упоминание точки, в которой система допускает локальное сужение, и слово «локальное» будут часто опускаться.

В силу того, что между точками L и точками N имеется диффеоморфное соответствие, то можно говорить (допуская вольность речи), что подсистема (4) задана на многообразии N . Из определения подсистемы вытекает, что множество фазовых траекторий подсистемы (4) представляет собой, по существу (в координатах x ¹ , ..., x ^m ), часть фазовых траекторий системы (1), лежащих на P -многообразии N . Следует сказать, что, вообще говоря, не все фазовые траектории системы (1), лежащие на N , определяются подсистемой (4).

Знание части фазовых траекторий может быть достаточным для решения той или иной задачи управления. Например, в распространенной задаче терминального управления заданы точки у о, у 1 G M и требуется найти такое управление u (t), t G [tо ,t 1], и соответствующую фазовую траекторию у (t), t G [ t о ,t 1], что у (t о) = у о, у (t1) = у 1. Для произвольной нелинейной системы вида (1) эта задача может быть достаточно сложной. С помощью понятия подсистемы решение этой задачи в определённых случаях можно упростить. Действительно, пусть система (4) является подсистемой системы (1), причём соответствующее P -многообразие N проходит через точки y0, y1. Тогда очевидно, что исходная задача терминального управления сводится к аналогичной задаче для системы (4) по переводу точки x о = х-1( у о) в точку x 1 = х-1(у 1). Действительно, если x(t), t G [tо,t 1], — такая фазовая траектория системы (4), что x(tо) = xо, x(11) = x 1, то у (t) = X (x (t)) — такая фазовая траектория системы (1), что у (t о) = у о, у (11) = у 1. В [1] приведены примеры решения задач терминального управления с помощью подходящих P -многообразий.

Задача нахождения всех P -многообразий и соответствующих подсистем весьма сложна. Достаточно сказать, что она включает нахождение всех гладких фазовых траекторий системы (1), ибо очевидно, что они, точнее их носители, являются (по крайней мере локально) P -многообразиями. В данной работе рассматривается следующая задача: как узнать является или нет заданное многообразие P -многообразием системы (1)? Приведём ряд дифференциально-геометрических понятий, которые используются для решения этой задачи.

Как известно, касательное пространство TMy области M C Rn в точке у G M состоит из n-мерных векторов, исходящих из точки у, причём dim TMy = n. Касательным пространством m-мерного многообразия N C M в точке у G N называется линейное подпространство TNy C TMy, натянутое на m векторов nk = ^dxi/dxk||i=1’-,n, k = 1, ..., m, где χ — параметризация (производные вычисляются в точке x = х- 1(у)). Поскольку для гладкого многообразия векторы ηk линейно независимы, то dim TNy = m. Распределением D (аффинным распределением A) на многообразии N называется отображение, ставящее в соответствие каждой точке у G N линейное подпространство D (у) C TNy (аффинное подпространство A (у) C TNy). Величина dim D (у) называется рангом распределения. Распределение D называется глад- ким, если существует такое семейство гладких векторных полей ^j, j Е J, на N, что D(y) = span^j (y) ,j Е J}, у Е N. Гладкие распределения постоянного ранга называются регулярными. Примером регулярного распределения на N является касательное расслоение TN: у Е N ^ TNy• Регулярное распределение называется инволютивным, если порождающее его семейство векторных полей является алгеброй Ли, то есть оно является векторным пространством, замкнутым относительно образования коммутаторов. Для регулярного распределения D ранга p > 0 существует (по крайней мере локально) такое конечное семейство гладких векторных полей Za, a = 1, •••, Р, что D(у) = span{Za(У),a = 1, .. p}• Такие семейства называются базисными. Отметим, что базисное семейство состоит из полей, которые порождают линейно независимые векторы в каждой точке, то есть rank ||Za (У) II = Р в каждой точке. Такие семейства называются линейно несвязанными. Очевидно, что базисное семейство можно выделить из любого семейства гладких векторных полей, порождающих регулярное распределение. Аффинное распределение A называется гладким, если существуют такое гладкое поле ζ и такое гладкое распределение D, что A (у) = Z (У) + D (У), У Е N. Распределение D в этом разложении определено однозначно. Оно называется направляющим распределением и обозначается через La . Величина dim La (у ) называется рангом аффинного распределения A. Гладкие аффинные распределения постоянного ранга называются регулярными. Семейство векторных полей, состоящее из базисного семейства Za, a = 1, •••, Р распределения LA и любого гладкого поля ζ0, такого, что A(y) = Zо(У) + LA (У), называется базисным семейством аффинного распределения A.

Управляемой системе (1) сопоставляется в области M регулярное аффинное распределение F : у Е M ^ F ⁽ У ) = f 0 ⁽ У ) + spa^n{f a ⁽ У ) ^,а = ¹ , ..., ^r} , у Е M , которое называется ассоциированным аффинным распределением системы (1). (В связи с этим системы вида (1) называют часто аффинными.) Векторные поля f _a ( у ) ,а = 0 , 1 , ..., r , называются ассоциированными полями системы (1).

Вернемся к поставленной ранее задаче, в которой задано некоторое многообразие N С M и нужно ответить на вопрос: является или нет это многообразие P -многообразием системы (1)? Воспользуемся следующим утверждением работы [1].

Теорема. 1 Многообразие N тогда и только тогда является P -многообразием системы (1), когда на N существует такое регулярное аффинное раcпределение A , что A ( у ) С F ( у ) Vy Е M , где F — ассоциированное аффинное распределение системы (1).

Каждое регулярное аффинное распределение A , удовлетворяющее условию теоремы 1, будем называть аффинным P -распределением системы (1). Согласно теореме 1, для ответа на поставленный в этой работе вопрос естественно построить ограничение F на N , то есть отображение y Е N ^ F| ^ ( у ) = F ( у ) П TN y . Каждое аффинное P -распределение A , определённое на N , должно принадлежать F | ^ . Если F | ^ является регулярным аффинным распределением, то соответствующую подсистему будем называть индуцированной.

Выделим важный частный случай, когда ассоциированные векторные поля f _a ( у ) ,а = 0 , 1 , ..., r , касаются N , то есть f _a ( у ) Е TN y в каждой точке у Е N . Заметим, что условия касания полями f α многообразия N , задаваемого соотношениями (2), выглядят так:

n

Е f a ( d* k /дУ ) | ye« = 0 , k =1 ,...,q. (5) i =1

Геометрически это означает, что поля f _a ( y ) ,a = 0 , 1 , ..., r , должны быть ортогональны градиентам || d^ ^k /ду ^г | , к = 1 , ..., q .

В случае касания ассоциированных полей многообразия N аффинное распределение F |^ является аффинным P -распределением, порождаемым гладкими векторными полями, являющимися ограничениями ассоциированных векторных полей fa(у),а = 0, 1, ..., r, на многообразие N. В этом случае многообразие N является локально инвариантным для системы (1). Это означает, что любое решение y (t) системы (1), соответствующее некоторому управлению u(t), t Е [tо,t 1 ], причём у(tо) Е N, по крайней мере локально принадлежит N (то есть существует такой полуоткрытый справа интервал I С [tо ,t 1], что y (t) Е N, t Е I). Между решениями системы (1), лежащими на инвариантном многообразии N , и решениями подсистемы по фазовым переменным, заданной на этом многообразии, имеется взаимно однозначное соответствие, осуществляемое диффеоморфизмом χ. Следовательно, вопрос о нахождении решений системы (1), проходящих через инвариантное многообразие N , полностью сводится к вопросу о нахождении решений подсистемы, т. е соответствующая подсистема описывает (по крайней мере локально) все решения (1). В общем случае, как уже отмечалось, подсистема описывает лишь часть решений системы (1), лежащих на многообразии N.

Проведём вычисления по построению F| » для m -мерного многообразия N , заданного в виде графика (3). Предполагается, что многообразие N является совершенно произвольным (в частности, оно не обязано быть инвариантным). Согласно (5), векторы из F ( у ), принадлежащие TN y , соответствуют тем значениям и Е R r , для которых

r

(Ф о ( у )+£ и “ ф а ( у )) к » = о , (6) а =1

a = m +1, ..., n, а = 1, ..., r, где Ф в(У) = Е Li / д/^(У ° - 0°(У)), в = 0, 1, ..., r. Введём функциональную матрицу C(у) = ||са(у)ца=™+1’Г"’", где са (у) _= Фа (у,о (у)), и столбец b(у) = W_(у)|, a = m + 1, ..., n, где b°(у) = Ф°(у,0(у)). В этих обозначениях соотношения (6) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно u:

C ( у ) и = b ( у ) , у Е V С R ^m (7)

Дадим следующее определение. Точку уо Е N будем называть регулярной точкой многообразия N относительно системы (1), если ранги матриц C (у), (C (у) |b(у)) постоянны в некоторой окрестности точки уо Е V С Rm (эта точка определяется из условия у о = (уо ,0 (уо))). Очевидно, что множество регулярных точек является открытым и всюду плотным подмножеством многообразия N (в топологии N). Дальнейшие рассуждения носят локальный характер в окрестности регулярной точки уо многообразия N относительно системы (1). Пусть в окрестности точки уо rank C (у) =rank( C (у) |b (у)).     (8)

Построим на некотором открытом подмногообразии N' С N, содержащем уо, аффинное распределение F |»-, которое будет являться аффинным P -распределением системы (1). (Заметим, что N' — m-мерное многообразие, диффеоморфное некоторой окрестности V' С V точки уо.) В силу (8) в некоторой окрестности совместна система алгебраических уравнений (7). Пусть rank C (уо) = p. Тогда в окрестности V' С V общее решение системы (7) можно представить в виде u = Ао(у) + ^ Ху(у)ve = Ао(у) + А(у)v, где Ао(у) — частное решение системы (7), Ху(у), в = 1, ..., l, — фундаментальная система решений однородной системы (7), v Е Rl, l = n — p. Ранг матрицы А (у) постоянен и равен l. Введём вектор-функции h о(у) = fо(у) + f(у)А о(у),       (9)

h e ⁽ у ) = f ⁽ у ) ^А в ^{( у} ) , у ^Е N ' , ^в = 1 ^,...^,l,

(10) определённые в точках многообразия N ' С N (соответствующего окрестности V ' С V ). Из построения вытекает, что век-тор-функции (9), (10) являются векторными полями на многообразии N ' , то есть h y ( у ) Е TN , , у Е N ' . Ранг матрицы h , столбцами которой являются поля (10), равен l . Следовательно, на многообразии N ' поля (9), (10) определяют регулярное аффинное распределение, которое, очевидно, совпадает с F | » , , то есть

F|»'(у) = hо(у) + span{hy(у),в = 1, ..., l}, у Е N'.

Аффинное распределение F | » , является аффинным P -распределением системы (1), которому соответствует индуцированная подсистема

l

"у = h о ^{( у ) +} ^ h e ^{( у} ) v ^e ,      ⁽¹¹⁾

в=i у Е V' С Rm, v Е Rl, где he(у)=he(у°(у)).

Если (8) не выполняется, то очевидно, что аффинные P -распределения, определённые на открытых подмногообразиях N ' C N , содержащих данную точку у 0 , не существуют. Полученный в процессе построения подсистемы (11) результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема. 2 Пусть y 0 — регулярная точка многообразия (3) относительно системы (1). Система (1) допускает локальное сужение на многообразие (3) в точке y ₀ тогда и

ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 только тогда, когда в некоторой окрестности точки y ₀ выполняется (8).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07–01–00217).