Об определении скважности и периода при импульсном режиме отопления зданий

В том случае, когда фактическая мощность системы отопления Ж при данных значениях параметров теплоносителя и температуры наружного воздуха является избыточной, в здании устанавливается некоторая температура /_тах, которая будет заметно превышать свое комфортное значение Г_комф • В такой ситуации с целью экономии расхода теплоты на отопление и обеспечения приемлемых внутренних климатических условий может применяться импульсный режим отопления зданий, при котором в течение некоторого периода длительностью Т система отопления на время у Г включается на полную мощность W , а затем полностью отключается до конца периода. При этом возникает вопрос: как следует выбирать длительность периода Т и скважность импульсов у, чтобы температура внутри здания поддерживалась в заданных пределах?

Скважность у можно определить следующим образом. Понятно, что в стационарном режиме мощность системы отопления W должна равняться теплопотерям здания при той температуре, которая установилась внутри него, и при той темпе ратуре, которая наблюдается снаружи. Если потери теплоты оценивать по формуле Н.С. Ермолаева [1], то для случая, когда система отопления мощностью W работает в режиме постоянного включения, должно выполняться следующее соотношение:

^=^тах-^)» (О где q- удельная тепловая характеристика здания, а V - его объем, t^- температура наружного воздуха. В случае же, когда скважность импульсов подобрана должным образом, получим следующее:

У^=?^комф^н)- (2)

Здесь у Ж - средняя за период Т мощность системы отопления в импульсном режиме. Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим, что скважность импульсов следует определять так:

Y — (^комф “ ^н ) /(/max —^н ) * У)

Температуру /тах можно вычислить по математической модели теплового режима здания, которая предварительно должна быть настроена на реальные данные. В частности, это можно сделать и по уравнению (1), которое представляет собой математическую модель стационарного режима.

Для этого достаточно задать или измерить температуру наружного воздуха t_H и мощность системы отопления Ж с помощью тепломера или теплосчетчика, установленного на абонентском вводе здания.

Как определить период Т не представляется ясным. Можно только сказать, что, скорее всего, период будет пропорционален допустимому малому отклонению А от температуры /_комф с неизвестным пока коэффициентом пропорциональности. Пусть дана математическая модель периоди-чески-импульсного отопления в виде системы линейных, относительно искомой температуры, уравнений. Например, тепловой режим здания с достаточной точностью описывается линейным дифференциальным уравнением, что обосновано в [2]. Будем предполагать, что систему уравнений можно записать в виде

7№)W), где L - линейный оператор, ^(т) - интересующая нас температура как функция времени т, а в правой части функция Ж(т) - мощность системы отопления. Это позволяет применить для решения поставленной задачи операционное исчисление. Введем следующие безразмерные величины:

6 = (^_в-/_н)/(/_тах”^н)> £ = A/(Z_max -L), где /_в - температура внутреннего воздуха. В общем случае 6 является функцией времени т, т. е. 6 = /(т).

Рассмотрим три режима отопления, причем относительную температуру внутреннего воздуха в каждом из режимов будем обозначать как /(т), где i - номер режима отопления.

В первом режиме здание начинает отапливаться из состояния /j(0)=0 невыключающейся системой отопления, тогда /1(оо)=1. Физические условия задачи дают основания предположить, что функция ^(т) бесконечное число раз дифференцируема на интервале (0,оо) , что Иш — ^(т)^ О т->о+ dx и предел любой ее производной при т-^ +оо равен нулю. Обозначим изображение этой функции Fx^sY Также, учитывая физические условия задачи, будем считать, что Fx(s) имеет особые точки при 5 = 0 ив левой полуплоскости sz, причём Re(5z ) < Qj < 0. Тогда, на основании теорем о предельных значениях, можно записать, что limsF](s)=l, Ит5*^(»)=0 (А = 2,3,...), S—>0              S->0

lims2^(s)*0.

5->00

Функция F_x(s) в точке 5 = 0 имеет простой полюс с вычетом 1.

Второй режим отопления - периодический, начинается с состояния /₂(0)=0, причем импульсы длительностью у Г включаются в самом начале периода Т. Изображение функции /₂(т) отличается от изображения ^(т) периодизирующим множителем и имеет вид

(l-exp(-Ts)) 1VV

По сравнению c F_x(s),y F₂(s) добавились простые полюсы на мнимой оси в точках 2л/7 (/=±1, ±2,...), здесь i - мнимая единица. Функции /₂(т) и 7^(5) можно представить в виде сумм убывающей (стремящейся к нулю) и периодической частей:

= /2убь1в(т)+/2пер(т) > (4)

^2 О) = ^2убыв (») + ^2пер (») •(

Принимая в формуле обратного преобразования Лапласа т = 0, получаем, что

/2(0) = 0=/2у6ыв(0)+/2пер(0) =

1 с+№1

= — f F^s^-V^ds.(6)

2л z J2лг/

CT-ZOO

Первый интеграл берётся по прямой Ц, параллельной мнимой оси, с абсциссой о : Oj < и < 0 . Прямая Z2 расположена правее всех особых точек функции 7^(5), кроме особой точки 5 = 0, и левее мнимой оси. Первый интеграл определяет начальное значение /2 убыв (^)- Второй интеграл берётся по контуру С, состоящему из двух прямых L2 и Ц. Прямая Ь2 проходит в направлении сверху вниз, а прямая Ц параллельна мнимой оси с абс циссой п3: а3 > 0 ; она проходит снизу вверх.

Из равенства (6) следует, что

1                           1 ст+,°°

/₂пер(0)=— \F^ds=-— J F^ds=

С                   0-7 оо

= -^-. I ^^ ^ IWs. (7) ^271Z G-/00 0-^ехР(-^))

_                      (1 - ехр(-у Т5))      .

Заменим множитель ----£—=--- по фор-

(1-ехр(-Т5))     * Р муле Тейлора в окрестности точки 5 = 0 с остаточным членом третьего порядка:

(1 - exp(-yTs)) ^    у (у - l)Ts _|

(l-exp(-Ts)) У 2

+ Y(YZl)(2l2l)7V                   (8)

Здесь O(T3s3) - остаточный член порядка T3s3 . Та кая замена допустима для точек прямой L2, нахо- дящихся от начала координат менее, чем на 2п1Т (расстояние до ближайшей особой точки множителя). Предположим, что эта замена возможна и для остальных точек прямой.

С использованием данной замены формула (7) перепишется в виде

/2„ер(0)=-^ f F^+fc^ j sF^-ст-zoo                             ст—z oo yClJX^lJK- j s^^+o^V).   (9)

24 л г        ^J

Если бы выписанные интегралы вычислялись по прямой, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особых точек F^s), включая и точку 5 = 0, то они были бы равны начальным значениям функции ^(т) и производных //(т) и /Дт). В данном же случае они будут отличаться от указанных значений на вычеты в точке 5 = 0, которые равны соответственно f_x (oo) = 1, f_x (оо) = 0, /Доо) = 0. Таким образом,

1 CT+ZCO

— J F1(^ = /i(0)-/1(oo) = -l,     (10)

СТ-ZOO

1 CT+ZCO

— f s^W = /1'(0)-/1'(=o) = /1'(0), (11) 2л/ j ?F1(5)A = /1''(0)-/1» = /1’(0).(12) 2л z j ст-zoo

С учетом этих равенств формула (9) запишется в виде

/2nep(0)=Y+^^/l'(0)-

_у(Г-1)(2у-1)Г2/1,(0) + О(7,3)         (13)

Третий режим отопления заключается в следующем: из состояния Д(0)=0 здание начинает отапливаться также за счет периодического включения системы отопления, только импульсы включения длительностью у Г подаются на втором участке периода Т, непосредственно примыкая к его концу. Данный режим отопления позволяет оценить максимальную температуру /зпер(0), дости гаемую в импульсном режиме, так как отопление отключается в момент времени, когда температура близка к своему максимальному значению, и этот момент времени является началом следующего периода управления. Найдём выражение для температуры /3(т):

l-exp(-Ts)

= ехр№)-1

ехр(Щ-1

Далее, разложим множитель при F^s):

exp(YTs)-! = yCHQTs + exp(Ts)-l 72

+^1М^

Для температуры Узпер(0) получаем следующую формулу:

/зперСО^-^^/ДО)-

_Y(y-l)PY-l)T2 /1ЧО) + О(г3)(16)

Предполагая, что

Лоер (0) = 6ср - Е, /Зпер (0) = 6ср + Е , где 0ср- среднее значение относительной темпе- ратуры в установившемся периодическом режиме. Складываем уравнения (13) и (16) и вычитаем их друг из друга, в результате получаем

Y=0_cp+O(E²), т=................^2е

2 А ^тах ^н )

Y(1 - Y) fi (0) ТО " Y)^ (0) /('max - ^ )

_ 2A ~y(i-yX(O)

или л m 2A у =0cn, T =----------- p Y(l-Y)z;(O)

Таким образом, получены формулы для определения как скважности, так и периода следования импульсов отопления, при которых обеспечивается требуемое качество поддержания температурного режима в здании. Здесь А/^(0) есть время, за которое температура воздуха в здании увеличится на А при условии, что скорость нагрева постоянна и равна ^(0). Если еще учесть неравенство у(1-у)<1/4, то можно утверждать, что период Т не меньше, чем время А/^(0), умноженное на 8.

Примеры применения полученных формул

В статье [3] проведён численный расчёт перио-дически-импульсного режима для модели отопления, описываемой дифференциальным уравнением d , . ^наР — ^внут(*0 + ^0

dT внут' ' 7вр ’ где /внут- температура внутреннего воздуха, т -время, /нар = 3 °C - температура наружного воздуха, коэффициент к = 0,0169 °С/Вт, W^ = 2070,6 Вт -мощность прибора отопления, Гвр = 83925 с - постоянная времени. Подсчитаем требуемые скважность и период, чтобы температура колебалась в пределах 20 ± 0,15 °C. Приравняв в уравнении производную к нулю, получим

^шах -^внут = ^о ⁼ 0,0169-2070,6 = 34,99 °C, средняя относительная температура

9_med = (20-3)/34,99 = 0,486.

Полагая в уравнении ^внут(0) = £нар = 3 °C , находим

—Z_BHVT(0) = ^kwo^1Т^ = 34,99/83925 = 0,000417 °С/с.

По выведенным формулам следует полагать скважность у = 0,486, а период Т равным

2-0,15/(0,486(1-0,486)0,000417) = 2880 с = 48 мин. В этой статье значение скважности 0,485 было найдено численным экспериментом.

А.Ф. Строй [4] предложил модель отопления, учитывающую нестационарное распределение температуры в стене, теплообмен через стены и окна. Выпишем её вместе с исходными данными для примера:

d

— t(x, т) = а —- t(x, т), 0 <  х < L,t > 0, dx         дх²

-^^’^ = авнУг(^нуг(т)-№т)Х

-X-£z(Z,t) = а_нар№,т)-/_нар),

^внут^внут ^ ^внут СО — ^(0 “ ^внуг^стен (^внут (О ” —^(0, т)) — ^окон /\)К0Н (^внут (О — ^нар ) •

Это система линейных уравнений относительно двух искомых функций: Г(х,т)- температура в точке х по толщине стены здания (в направлении от помещения к наружной среде) в момент времени т и /_внут(О - температура внутреннего воздуха. L = 0,568 м - толщина стены здания, Х= 0,76 Вт/(м°С) - коэффициент теплопроводности материала стены, а_внут = 8,7 Вт/(м² °C), ^анар ⁼ 23 Вт/(м² °C) - коэффициенты теплоотдачи внутренней и наружной поверхностей стены здания, /_нар = -34 °C - температура наружной среды, с_внуг = 1005 Дж/(кг °C), ти_внут = 198 кг - удельная теплоёмкость и масса воздуха в здании, F_CTeH = 30,9 м², F_nK = 20,19 м² - площади стен и окон, Л_окон = = 2,63 Вт/(м °C) - коэффициент теплопередачи окон. w(t) - мощность отопительного прибора в зависимости от времени, которую будем изменять по импульсно-периодическому закону с мощностью прибора Ж_о = 6000 Вт. Требуется найти скважность и период, чтобы температура /_внут(О колебалась в пределах 21 ± 1 °C.

Если в уравнениях модели провести линейную замену искомых функций, переводящую тем- пературу ^внут(0) в нуль, перенести все неизвестные налево, то в первых трех уравнениях справа получатся нули, а в последнем останется мощность прибора w(t). Систему можно записать в виде L(u) = w(t) с линейным оператором L от совокупности функций и = {/(х, т), /внут (т)} . Так что к данной модели можно применить выведенные формулы.

Для этого нужно найти /_тах и /_внут ’(0) . Считаем, что температура внутри стены установилась по формуле t(x, х) = Лх + В, t_BHyi (т) = ^, w(t) = W_o, приравниваем в системе уравнений производные по времени к нулю, решаем получившуюся систему относительно А, В, /_тах . Нас интересует только Z_max • Получим формулу

^тах — ^нар [^0 (^внуг^нар^ + ^-(оСунур + сснар )) J X х [( Ален ^нар^внуг + ^окон^окон (^внут + ^нар ))^* + ^внут^нар^^окон ^окон ]" > из которой, после подстановки исходных данных, вычислим: Zmax = 35,26 °C. Значение ^внуг ’(0) найдём, положив в последнем уравнении системы т = 0, w(t) = WQ. Скобки в правой части уравнения зануляются. Получим

'внут ’(0) = Ио /(Свнуг^внут) ⁼ 0,03015 °С/с.

Средняя относительная температура

0^ = (21 - (-34))/(35,26 - (-34)) = 0,7941.

По выведенным формулам скважность у = 0,7941, период Т = 405,7 с. По этой модели были проведены расчёты с использованием разностной схемы. При достижении верхней допустимой температуры отопительный прибор выключался, при достижении нижней - включался. Через большое количество таких циклов скважность и период установились на значениях у = 0,7949, Т = 403,5 с. Если при этих же исходных данных нужно найти скважность и период, чтобы температура была в пределах 17 ± 1 °C, то по формулам получается v= 0,7363, Т = 341,66 с, а с помощью разностной схемы у = 0,7376, Т = 341,34 с. Разница в значениях вполне удовлетворительная.