Об оптимальном управлении отоплением зданий как процессом с распределенными параметрами

Ранее, в работах [1-3] тепловой режим зданий и задача оптимального управления данным объектом рассматривались в классе систем с сосредоточенными параметрами, т.е. его математическое описание представлялось обыкновенным дифференциальным уравнением. Однако, строго говоря, данный объект управления является объектом с распределенными параметрами, поэтому есть смысл перерешать задачу об оптимальном управлении для данного представления объекта: возможно, что при этом обнаружатся какие-то новые интересные особенности оптимального управления, какие не наблюдались ранее.

Далее рассматривается задача об оптимальном управлении режимом прерывистого отопления зданий. Необходимые условия оптимальности получены в форме принципа максимума: обязательность такого действия объясняется следующим. В теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, насколько нам это известно, нет достаточно общей формулировки принципа максимума, позволяющей решать все возможные постановки задач. По-видимому, это объясняется большим разнообразием и математических описаний объектов управления и са мих постановок задач оптимального управления. В связи с этим, как правило, условия оптимальности отыскиваются отдельно для каждого конкретного случая и лишь в некоторых частных ситуациях удается воспользоваться уже известными в науке результатами.

1. Постановка задачи

Пусть тепловой режим здания описывается следующей моделью [4-7]:

5z(x,t) д²фс,т)

=а—Ц^-,0<х<£, т>0;(1)

dr Sr

t(x,0)=Z°(x),0

-^^^=«дк(т)- ?(0,т)],т > 0;(3)

ох

-Х^^=ая№,т)-/д(т)],т>0;(4)

ох

D ° dx         °°

"" ^ок^ок [^в ^—*н (т)1’ ^ > 0;(5)

tB^=t0B,(6)

где 1(х,т)- температура в точке с координатой х по толщине стены здания в момент времени т, L - толщина стены здания, г°(х) - некоторая заданная функция, описывающая начальное температурное поле в стене, X- коэффициент теплопроводности материала стены здания, а_в и а_н -коэффициент теплоотдачи соответственно для внутренней и наружной поверхностей стены, t_B и t_H - соответственно температура внутреннего воздуха и наружной среды, с_в и т_в - соответственно удельная теплоемкость и масса воздуха в здании, F_CT и F_OK - площадь ограждений и окон здания, к_ок - коэффициент теплопередачи окон, t_B - температура внутреннего воздуха в начальный момент времени, м(т) - управление, в данном случае мощность системы отопления.

Оптимальное управление будем искать в классе кусочно-непрерывных функций, принадлежащих области

<‘п<М(т)<^оу,                   (7)

где ЯдУ- установленная мощность системы отопления, ^о”™- минимальная мощность системы отопления, как рекомендуется работой [3], эта мощность должна обеспечить поддержание температуры внутреннего воздуха на уровне 12 °C, исключающем выпадение конденсата на поверхностях ограждений.

Управление, удовлетворяющее указанным условиям, будем называть допустимым.

Предполагается также, что если задано некоторое допустимое управление, то система (1)-(6) имеет единственное решение, причем малому изменению управления соответствует малое изменение решения системы (1)-(б).

На множестве допустимых управлений зададим функционал тк

/=[Гд(тА)-/”]2 + р/С[м(т)]А,         (8)

о где тк - заданный промежуток времени, G - заданная функция, р - некоторый весовой коэффициент.

Поставим следующую вариационную задачу: среди всех допустимых управлений ы(т) найти такое, чтобы соответствующее ему решение задачи (1)—<6) доставляло минимум критерию (8). Управление и (т), дающее решение поставленной задачи, будем называть оптимальным.

где у0(т) удовлетворяет следующей системе уравнений:

-аав/Хх|/(0,т)=0;(10)

ачЧхл)+а5Ли(хл)=0(11)

5т Эх2 ’ с начальными условиями

Свтв^о№=-^в №)-$ ];

у(х,тХ)=0.(13)

Граничные условия для функции у(х,т) зададим в виде а   ^(0, т) - а ?У ф’т) - а BFCT у0 (т)=0; (14)

X            Ох

. 5\р(2.,т)              .                         ....

-Х-^—^-=аяч/(Дт).             (15)

ох

Утверждение, Если допустимое управление «(т) доставляет минимум критерию (8), то оно должно максимизировать функцию Н, определенную соотношениями (9)-(15), т.е.

M*(T)=arg{supЯ | ^о1™” < м(т) < 1ГОУ}.

• 3 . Доказательство утверждения (принципа максимума)

Подстановка в уравнения (1)—(6) нового управления м(т) + Аы(т) приводит к отклонению решения от решения, полученного при управлении «(т). Следуя [8], решение, соответствующее управлению и(т), назовем номинальным. Возмущенное решение будет описываться следующими уравнениями:

5[ t^x, т) + А/(х, т)] _ 5² [ t^x, т)+А/(х, т)]

0<х<£, т>0;                         (16)

/(х, 0)+А/(х, 0)=t° (х), 0 < х < L;                (17)

_х5[/(0,т)+А;(0,т)]_

9х

= ав{[/в(т)+А/В(т)]- [Г(0,т)+Аг(0,т)]}, т > 0; (18) _х5№т)+А/(ДтЛ =

Sx

=ая{[Д£,т)+АГ(Дт)] - ^(т)}, т > 0;(19)

^в(О + А/в(т)]

^св^тв j ~ ^м(^т)⁺Аы(т)— ат

- “в^ст { Vb СО+^в (О] - [ '(0, т)+ДД0, т)]} -_^одЛж{[^в(О+А/в(т)]-/я(т)}, т >0;(20)

ГВ(О)+А<В(О)=/В.(21)

Если из системы (16)—(21) вычесть невозмущенную систему (1)—(6), то получим систему уравнений в приращениях

dAt(x,x) d2At(x,x)      та —^-4=а---< х < L, х > 0; дх         дх2 (22) J J\|/(x,t) ^’ ) dxdx- Ar(x,O)=O, 0 0; дх (24) = J— |[ч/(х,т)Д/(х,т)е&]Л-о dx 0 - X ^^’т^ = ая At(L, т), т > 0; дх (25) - J J^^’ Т^Д/(х, x^)dxdx= J[ ^f{x,xk)At(x,xk) 0 0   91                  0 тк L zv z х

свтв         Am(t)-aBFCT x ат

х[Д^(т)- А^^х^-кокРодА^Сх), т > 0;

AZB(O)=O.

Введем в рассмотрение функционал f=I+M_x+M₂, где

-V(x,(W(x,0)]H^^-At(x,x^dxdx; (32)

J J Ят

0 0

xkL

xkL

Л/,= JJv(;t,t) о 0 xk

dt(x,x) d²t(x,x) дх ° Эх²

dxdx-,

о о Г

= f vUt)-0 .

хк -

= J \|/(Z,T) о -

д²Д/(х,т) а?

dxdx-

ЭЫ^х,х^ дх

^{L £}г51|/(х, т) dAt(x, т) ^ о о ^     ^    .

ЭЫ^Ь^

—t-^-V(0,t) Эх

дх

dx =

М₂ = ^Q(y){c_Bm_Bdt_B(x)ldx-u(x)+ о

*°^сА$в^)~ №, О]^+кок ^fok кв СО^_*н СО!} dx. Здесь функции vC^O, VoCO играют роль множителей Лагранжа [8].

Для произвольного допустимого управления ы(т) и соответствующего ему решения задачи (1Н6)

хкг

О L

dw(L,x) .      . 5ш(0,т) . _х ,

—²Д/(Дт)—²At(O,-r) dx + дх             дх

УгЭ2у(х,т)

о 0 ¹ xk J Vo CO

Sr2

-At(x,x') dxdx;

независимо от выбора функций ц/(х,т), \|/q(t),

будем выбирать эти функции таким чтобы выполнялись условия (10)—(15).

Найдем приращение функционала словленное вариацией управления: AI* =А1+АМ1+АМ2.

Приращение AI будет иметь вид

AI=2'[tB(xk')-tB'\AtB(xk) + хк

+р J{G[m(t)+Am(t)] -G[m(t)]}

+0(|A^W|), где выражение G(*) означает величину (*).

Аналогично найдем, что

образом,

I ,

обу-

порядка

^^ dT=Vo (0 & в (<

о dx

Поэтому, учитывая (13), (23), (24), (25), приращение AA/j примет вид:

xkL

о о

5у(х,т) Э²у(х,т) 5т ^a дх²

dxdx+

хк

+ a

J ^"^(Дх)+ О L ь

5у(Дт)

дх

At{L,x) dx -

хк

-a j" y-V(0,T)+

5ц/(0,т)

dx

Az(O,t) dx

xkL

ДА/, = J Jv(x,t) о о хк

dAt(x,x) d²At(x,x) 5т ° дх²

dxdx^-, (30)

ДЛ/₂ = JvoW^b^bД/_в(т)/т-Дм(т)+ о

+o-b^fct (^А'в (О - ^А'(°>^Т)1+^кок^рок^в W\dx. Нетрудно показать, что

хк

-a J-y-V(O,T)A^(T).

о Л

Приращение для АМ₂ с учетом (27) будет иметь вид:

ДЛ/₂ = с_в7и_ву₀(тХ)Д?_в(тХ) -хк

- j{cBmB d\i/0(x)/dx—[aBFCT +kOKFOK]x о ху0(т)}Д/в(т)т + хк

+ JvoWI-M^-aB^cr^0^)]^ о

Таким образом, учитывая дополнительно (10)—(12), (14), (15), получим, что приращение для М* =Ы+МЛ_Л +^₂ представится следующим образом: хк

А7* = - J{ {Vo (т)[м(т) + Ам(т) ] -о

-р G [м(т)+Ди(т)]} - {Vo (т)м(т) -

Н36[_М(г)]}}^ + О(|ДГ₅(т£)|)= хк

= - /А„^т + О(|А^(тЛ)|). о

Здесь \_иН приращение Н по и(т).

Если Аи(т)=0 вне малого отрезка времени Ат, то, как известно, [9-11] имеет место следующая оценка:

О(*) < const |Аы(т)|[²Ат².

Далее предположим, что управление и(т) доставляет минимум функционалу I, но тогда приращение функционала, вызванное приращением управления, будет неотрицательным, т.е. Ы* =М+^Мх+^2^0. Согласно теореме для этого необходимо, чтобы «почти всюду» выполнялось неравенство АиЯ<0, что эквивалентно вы-хк полнению неравенства JKuHdx < 0.

о

Допустим, что теорема неверна и существует хк и (т) такое, что J\uHdx > 0, но тогда в пределах о

Ат будет выполняться неравенство А_ИЯ > ст > 0. В этом случае хк

М = - ^_uHdx+ О(|ДГ_в(тЛ)|) = о

= -Ja^t + O(*)<

Дт

< - J ст - ^^-1| Д к(т)||² Ат²d т.

Нетрудно видеть, что lira Дт²/Ат = 0, поэтому

Ат—>0

всегда можно выбрать такое достаточно малое Дт, что ст-const/Дт ||Дм(т)||² Дт² > 0. В этом случае А/ < 0, что противоречит условию Ы > 0. Утверждение доказано.

• 4 .0 вычислительных аспектах оптимального управления

Полученные необходимые условия оптимальности управления режимом прерывистого отопления являются достаточно сложными. Следует подчеркнуть, что сложность, как правило, характерна для любых задач оптимального управления. Научной общественности уже хорошо знакома такая черта теории оптимального управления, когда она отличается глубокими результатами качественного характера, вместе с тем развитие конструктивных аспектов теории, связанных с фактическим аналитическим или численным решением задач заметно отстало. До сих пор нет достаточно надежных алгоритмов, формализующих процедуру построения оптимальных управлений даже в линейных задачах [12], чтобы решить задачу до конца обычно требуется привлекать какие-то дополнительные соображения, так называемый здравый смысл.

Возможно, что при численном решении будет эффективным метод последовательных приближений, сущность которого, следуя в основном работе [13] можно изложить следующим образом: первоначально, исходя из каких-либо соображений, задаются некоторым допустимым управлением и решают систему уравнений (1)-(6). Затем из полученного решения в момент времени хк определяют «начальное» значение (12) и интегрируют в обратном времени уравнения для сопряженных переменных с целью уточнения управления и т.д. При этом, очевидно, наиболее доступным и простым является численное интегрирование уравнений методом конечных разностей. Однако, в некоторых случаях возможно и использование известных аналитических решений. Но при этом далеко не исследованным является вопрос о сходимости этого метода для рассматриваемых задач. Кроме того, довольно не простым, в особенности для обратных задач, является вопрос о построении эффективной разностной схемы, которая помимо точности и экономичности должна, прежде всего, удовлетворять требованию устойчивости.

Вместе с тем, большим достоинством доказанной теоремы является то, что она позволяет во многих случаях оценить структуру оптимального управления, его общий вид, не решая самой оптимальной задачи. Такая оценка, помимо самостоятельного интереса, часто оказывается полезной при численном решении задачи. Например, в линейных оптимальных задачах, т.е. в задачах, уравнения которых содержат управление в первой степени (следует заметить, что к таким задачам приводится большой круг практических задач управления), из теоремы следует, что если оптимальное управление существует, то, формально, при определении допустимой области управления в виде указанного неравенства оно будет представлять кусочно-постоянную функцию, принимающие поочередно значения Hq”™ и 1К_о^у , т.е.

„•(т)=^Г+^оУ

w^ - и^,тт

+ 0 2 0 sign[Vo(T)-p] .(35)

Таким образом, в данной задаче оптимальное управление формально представляет кусочнопостоянную функцию, принимающую поочередно известные значения 1Рот1Пи Wq . И, казалось бы, все решение состоит в оптимальном подборе последовательностей интервалов управления и их точек стыка. Однако, важно отметить, что формальность записи (35) и заключена в том, что аннулирование выражения, стоящего под знаком sign, вообще говоря, возможно не только в отдельных точках отрезка [0, тА:], но и на целых его участках. В этом случае принципа максимума оказывается недостаточно для определения оптимального управления, требуется дополнительное специальное исследование по выявлению так называемых особых экстремалей [14]. Трудность здесь заключается еще в том, что эта проблема для распределенных систем математически практически не разработана. Кроме того, здесь опять же остается открытым вопрос о возможном числе точек переключения и об их расположении на отрезке [0,тА].

Тем не менее, согласно рекомендациям работ [15, 16], в некоторых априорно задаваемых классах решение может быть получено численными методами. Будем, например, разыскивать решение в соответствии с (35), но, заранее задаваясь числом переключений, роль неизвестных будут играть моменты переключений. В этом случае задача будет состоять в отыскании минимума функционала I по моментам переключения управления. Если в ходе поиска какой-нибудь из интервалов станет меньше некоторой достаточно малой величины, то его следует ликвидировать и число точек переключения уменьшить на единицу [16].

Таким образом, в ходе поиска число переменных (точек переключения), по которым ведется поиск, может уменьшаться, но, естественно, не может увеличиваться.

Важно, однако, отметить, что для рассматриваемых задач оправданным, в определенной мере, математически является построение управлений, состоящих из двух-трех интервалов постоянства [15-17]. Этот подход тем более разумен технически потому, что реализовать управления с большим числом переключений практически невозможно.