Об оптимальных кубатурных формулах на анизотропных пространствах Соболева

На основании функционально-аналитического метода теории кубатурных формул получено общее представление о функционале погрешности и экстремальной функции. Элементарный функционал погрешности, построенный на плоскости с узлами, лежащими внутри или на границе произвольной гладкой области, учитывает свойства пространства, сопряженного к анизотропному. Для построения оптимального по коэффициентам формул выполнены требования согласованности порядка сходимости с шагом решетки и гладкостью функции вдоль выбранных координатных направлений. Разработан эффективный алгоритм для расчета оптимальных коэффициентов значений функции и ее производных до экспоненциально малых в шаге решетки. Это позволило на элементарных функционалах погрешности заменить некоторые узлы решетки другими, чтобы свести к минимуму норму функционала и тем самым улучшить качество формулы. В узлах решеток этих формул были определены коэффициенты, учитывающие дифференциальную природу подынтегральной функции. С применением методов компьютерной алгебры усовершенствован алгоритм расчета интегралов. Рассчитанные коэффициенты улучшают качества оптимальных кубатурных формул в анизотропных пространствах Соболева. Результаты полученных методов проверены на контрольных задачах с известными решениями.