Об основании теории множеств

Теория множеств является универсальным фундаментом математических дисциплин. Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Область исследования каждой математической дисциплины можно представить в виде набора множеств заданной структуры. Однако неограниченное, свободное использование понятий канторовской теории множеств порождает парадоксы.

Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Множество не обладает внутренней структурой. Всякое множество состоит из элементов . Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Первоначальному понятию теории множеств — множеству нельзя дать определения. Общему понятию «множества», которое рассматривалось как центральное для математики, Кантор дал определения «множество есть многое, мыслимое как единое».

Множество в математическом смысле – это совокупность однозначно определенных (математических) объектов (элементов множества). Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности; должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов.

Леопольд Кронекер считал, что математическими объектами могут считаться только натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится, известна его фраза о том, что «Бог создал натуральные числа, а все остальное — дело рук человеческих». Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри

Пуанкаре. Однако, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств считается основой дисциплин: теории меры, топологии, функционального анализа.

Направление Кантора на отсутствие ограничений при операциях с множествами (выраженное им самим в принципе «сущность математики заключается в ее свободе») несовершенно изначально, а именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий. При использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими возражениями, а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение [1].

Наивная теория множеств привнесла в математику новое понимание природы конечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой. Теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, тщательно разработана дескриптивная теория множеств. Теория множеств стала рассматривается как базис математики.

Теория множеств основа многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. Теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики. Однако использование теории множеств для математических дисциплин осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Представление о значении теории множеств и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием инструментария.

На идейной основе теории множеств создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств.