Об основных свойствах уточнённого порядка

Уточнённый порядок играет важную роль в теории роста субгармонических функции, в ряде других разделов математики.

Абсолютно непрерывная функция p[- . на полуоси t^^. называется уточнённым порядком, если выполняются следующие два условия :

_ i™p(>-:' = p(^) = ^ei-^-:■

• 1)    существует предел .^r—=                        ,

• 2)                  .

В приложениях чаще всего используется не сам уточнённый порядок ^C’. , а функ-ция           . Отметим следующее свойство уточнённого порядка.

Теорема 1. для любого г > о существует предел

и этот предел равномерный на любом сегменте

Если ^C’. – уточнённый порядок, то существует дифференцируемый, и даже анали-тический, уточнённый порядок £ ( ■’. такой, что

где .

Поэтому предположение о дифференцируемости уточнённого порядка часто не ограничивает общности рассуждений. В дальнейшем мы будем предполагать, что функ-ция ^C’. является непрерывно дифференцируемой на полуоси .

Рост произвольной функции

/и

сравнивается с ростом функции вида

Множество функций вида – это более широкое множество, чем множество степеней Г , a ef-^sc , или множество функций вида г^яЧ hir p (hi. г )**...( In.?'}^а‘          a                                        In г           „,

, где – вещественные числа, а – это ж -тая итерация логарифма. Например,         .

Пусть ^^. – положительная функция на полуоси . Порядком функции называется число

Важность понятия уточнённого порядка в теории роста функций можно усмотреть из следующей теоремы.

Положительная на полуоси функция f(^?. называется регулярно меняющейся в смысле Караматы, если для любого А >  О существует конечный предел

Теорема 2. Пусть Р- ( . и — С’ – уточнённые порядки такие, что lim р (г) =    lim р ( г) = р

. Пусть              , а мера определяется равенством

Тогда

и соотношения ■ "

эквивалентны. Здесь

Доказательство. Имеем

Из теоремы 2.1 легко следует, что

W|m2r)\C(0:Hi _Ы1Ш2Н C(0;r)i Inn--------------------= Inn--------------------- о ™™л           ™ е М

Из того, в свою очередь, следует, что             .

Пусть Я, “^ 1 , реФ. Имеем

Так как последовательность

Сходится в пространстве к функции и , то следует, что lim [ ^(x)cfz, (x) = [(г|Л'(г) Ж—ь— •        4 ‘        ГТ 4 ’       » 4 •         ' *

.

Тем самым мы доказали, что . В доказанном утверждении можно поменять местами и . Теорема доказана.

Обозначим

h n ⁽ x hf¹ Ц [ ln |

12 ⁿ,n> 3 , ¹ x ¹ ,n = 2.

Отметим, что мы рассматриваем ядро hn (x ~ У) ещё и как отображение с областью отпра-вления Rn(y=(у 1 ,у2,---,yn)e Rn) и областью прибытия Lp(Y). В этом случае будем писать hn(x - У): Rn -Lp(Y).

В следующей теореме доказывается важное свойство ядра h n ( x - у ), имеющего зависимость от y является равномерно непрерывной.

Теорема. Пусть p> 1 -L произвольное фиксированное число. Пусть y -L положите-льная конечная финитная борелевская мера такая, что

4 J I h n ^{( x -} У ) | p dY ^{( x} ) ^: У ^e R n 4 0 ^{( 5} ‘ 0 ) • в { У.6 )

Тогда функция h_n ( x - у ) : Rⁿ - L _p ( y ) является равномерно непрерывной в Rⁿ . Доказательство. Обозначим

V ( У 1 , У 2 ) = ( J | h n ( ^{x -} У i )^- h n ( ^{x -} У 2 ) | ^PdY ^{( x} ) ) ^р,

F ⁽ У ) = ( Л h n ^{( x} - У ) | p dY ^{( x} ) ) p

.

Так как ядро h n ( x - y ) как функция из R n xR n в R не ограничено, то нужно

доказать сходимость введенных интегралов. Из неравенства Минковского

следует, что

F ⁽ У ) 4 J | h n ^{( x -} У ) | ^PdY ^{( x} A ^p + J | h n ^{( x -} У ) | ^PdY ^{( x} A= J 1 ⁺ J 2 , в ( У,5 )                                      CB ( y,6 )

где CB ( y,5 ) = Rⁿ / B ( y,5 ) . Пусть 5 1 = ^x - ^{y | : x e suppy} } L, так как y -L финитна, то ⁵ 1 < ^.

Поскольку x e CB ( y,5 ) , то || x - y || > 5 . Тогда

I h n ^{( x -} У ) | ^f ⁽ 5 ) = {

5 2 — ⁿ,n> 3 , max { | ln 5 1 , | ln 5 1 | } ,n = 2.

Из этого неравенства следует, что j 2 ^f ( 5 ) ( y ( Rⁿ ) ) p • По условию теоремы J 1 ^ ¹ при достаточно малых 5 . От сюда получаем конечность F ( у ) • Доказанное

можно формулировать и так: при любом y е R n ядро h_n ( x - у ) есть элемент пространства L p ( у ) . Из неравенства ^V ( у 1 ,у 2 ) ^F ( у 1 )⁺ F ( у 2 ) следует конечность V ( У 1 ,У 2 ) .

Теперь найдем множества, на которых величина ||V yhn (x - у )|| ограничена. Точнее, докажем, что при || x - у || >6, выполняется неравенство n—2    ,

П — 1 ,n> 3 ,

H ^V y ^h n ⁽ x ^- у ) | ^g ^{( 6} ) = ⁶ 1           ^{( 1} )

6^,n =^2.

Имеем

( hn ( x — у )) у=( n-2 ) у^ ( ' =1,2 ’-’n )’ x- у II

⁽ h ^{2 (} x ^{- у} ) ) ^{у =}|Т у |2 ⁽ i ^{= 1}-² ) ■

Из этих формул легко получается неравенство (1).

Теперь докажем собственное утверждение, формулируемое следующее соотношение

V ( у^у 0 ) - ⁰ ( у - у 0 ) .

Пусть 6 >0-6 произвольное число. Будем считать, что выполняется неравенство | у ^- у ₀ | ^⁶ . Последовательное применение неравенства Минковского и включения B ( у 0 ,2 ⁶ )^с B ⁽ у ^{,3 6} ) даёт

V ( у,у 0 ) ^    J | h n ⁽ x,У ) - h n ( x,У 0 ) | p dY ⁽ x ) р

CB ( у 0 ,^{2 6} )

⁺ J | h n ( ^x,У 0 ) | ^PdY ^{( x} ) ^{p +} J I h n ^{( x}’У ) | ^PdY ^{( x} A ^p = J 1 ⁺ J 2 ⁺ J 3 .

\ B ( у 0 ,^{2 6} )                                         в ( у ₀,3 ⁶ )

Если x£ B(у0,26), IIу-у0I^6, то для любого w е B (у □, | у - у 0Ц) будут выполняться неравенства |x-w|>6, ||V yhn(x-w)||^g(6). Из оценки градиента следует, что

I h n ^{( x,}y ^{) -} h n ( ^x,y 0 ) | ^g ^{( 6} ) | у ^- у 0 I ^,J 1 ^g ^{( 6} ) ( y ⁽ Rⁿ ) ) ^p | у ^- у 0 I •

Из условия теоремы получаем J 2 - 0, j ₃ 5 0 ( 6 - 0 ), что доказывает требуемое утверждение.

В заключение доказательства теоремы мы предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда существуют число £ > 0, последовательности у 2 т ,у 1 m такие, что у 2 _m - у 1 m - 0 ( m- ) , ^V ( у 2 т ,у 1 m ) >е . Не ограничивая общности, можно считать, что у 1 m -у ₀ е Rⁿ ( m-х ) . Из очевидного соотношения ^V ( у 2 m ^,У 1 m ) - ⁰ ( у 2 m ^- у 1 m - ⁰ >у 1 m -^X,m-^X ) следует, что у 0 *^х .

Из неравенства Минковского следует, что

V ( у 2 m ^,У 1 m ) ^V ( у 2 m ^,У 0 )⁺ V ( у 1 m ^,У 0 ) •

Набор полученных нами утверждений в совокупности противоречив. Тем самым теорема доказана.