Об отсутствии равносходимости синк аппроксимаций с алгебаическими интерполяционными многочленами

Предметом рассмотрения в данной статье являются аппроксимативные свойства синк-приближений, используемые в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона. Дается представление об истории изучения проблемы синк-аппроксимаций в научно-исследовательской литературе. Подробно изучается вопрос отсутствия равносходимости синк аппроксимаций с алгебраическими интерполяционными многочленами.

Данное исследование посвящено изучению аппроксимативных свойств синк приближений, используемых в теореме отсчетов Уиттекера-Котельникова-Шеннона (см. [1], [2], [3], (4]). Необходимость развития теории кодирования сигналов, дала основание Э. Борелю и Е.Т. Уиттекеру для введения понятия кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0, п] которой выглядит так:

Y'¹ sin(nx — ku) /кл\ v^ (-1)^k sinnx /ku\

L n (f^,x~) nx — ku ^Vn) nx — ku ^\n)‘ (!■!) k=0 k=0

На данном этапе развития науки достаточно полно исследованы свойства синк-аппроксимаций аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. Работа [3] содержит наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до

1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций. В [5] также содержится исторический обзор исследований в этой области.

Широкое применение синк-приближения нашли в области численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [6], [7], [8] в теории квадратурных формул [3] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [1], [2], [4]. В [9], [10] изучаются модификации синк приближений (1.1), с помощью которых можно приближать произвольные равномерно непрерывные функции, ограниченные на оси.

Работы [11], [12] позволяют сделать заключение: при использовании классических синк-аппроксимаций (1.1) вблизи концов отрезка [0, π] возникает явление Уилбрейама- Гиббса.

До публикации результатов исследований [13], [14], [15], [16], [17], [12] приближение такими операторами на отрезке, или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [3], (18] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В работе [17] дана оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, π], функций линейными комбинациями синков.

Различные модификации синк приближений (1.1), позволяющие приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0, π] предлагаются в [20], [21] и [22]. Исследование полноты системы синков (1.1) в [21] в пространствах C [0,п] и С0 [0, п] = {f: f G С[0,п], f(0) = f(n) = 0} дает основания сделать вывод о безрезультатности попыток построить оператор в виде линейных комбинаций синков, допускающий возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке. Также в работах [21], [22] установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1.1) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0, π].

В работе [23] исследуются аппроксимативные свойства операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Операторы, предложенные в данной работе, представляют собой обобщение классических синк-приближений (1.1). Ряд приложений результатов работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби P^n^nс параметрами, зависящими от n, содержится в работе [24].

Работа Крамера [25] положила начало изучению аналогов теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26].

С синк-приближениями тесно связаны интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Г. 11. Натансон в [27] получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, п), т.е. равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, п), процессов Лагранжа-Штурма-

Лиувилля.

Работы [28], [29], [30] содержат вывод о том, что при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала q, или констант h, H) аппроксимативные свойства процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля могут сильно измениться. Работа [31] устанавливает существование непрерывной на [0, π] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, п].

Использование методов и приёмов доказательств, содержащихся в [32][38], позволило установить справедливость следующих утверждений.

Настоящее исследование посвящено изучению возможности равносходимости значений операторов (1.1) и классических интерполяционных многочленов Лагранжа в случае совпадения узлов для функций из пространства C[0, п].

Теорема 1. Для любой точки х 6

([0,п] \ {0, 7 ,п})

имеют

место

соотношения

lim |Ln(f, x) — f| = 0, n^o — lim|£n(aM,x) — f(x)| > 0, n^o где f = П—|x —П|, a£n($R0,f,x)   есть интерполяционный

Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов  9Л₀

многочлен

ГкН n; O

I ⁿ lfc = 0,n=1

совпадающих с узлами оператора интерполирования (1.1).

Для доказательства этого утверждения нам потребуются следующие

теоремы. Теорема С.Н. Бернштейна, доказательство которой можно найти в [39, Ч.З, Гл. 2, §2].

Теорема 1.2 (С.Н. Бернштейн) В любой точке множества x 6

([—1,1] \ {—1,0,1}) интерполяционный многочлен Лагранжа £_n(5R₀,f,x) по

1 n; 00

матрице равноотстоящих узлов  Э^0 = М         функции f = |x| n k=-n, n=1

расходится

— hm |£n(9^0,f, x) — f(x)| > 0, n^O

Пусть f 6 C[0, п] и последовательности положительных чисел Y n и £_n

удовлетворяют

Y n = 0(1), lim ^{Y n} = от;   _E „ =¹exp{--Tnm- 4

■""f        п    “(f,n)  J

соотношениям

(1.2)

(В случае f = const считаем Y n = 0,  r_n

Y n можно взять Jw (f, y ) , тогда s _n ^ exp —

ы

= ^). Например, в качестве

Для любого натурального n и x G [0, п] обозначим через p = (n, x), m 1 и m₂ такие целые числа, что

mi=[T+4

m 2 -®

пр       п(р + 1)

n —         n ,

Где номера k 1 и k 2 определяются с помощью неравенств

(1.3)

n⁽k i — 1) -------< x

n

—

nk 1 n(k₂ — 1)           nk₂

^{n —} n ,        n              ^{n —} n .

(1.4)

Здесь узлы интерполяции x_k , _n = — рассматриваются на всей числовой оси R:k G Z, n GN.

И доказанная в [15, Теорема 1]

Теорема 1.3 Пусть / G С[0,тг] и последовательности положительных чисел у- п и ^£ п удовлетворяют соотношениям (1.2). Тогда равномерно внутри интервала (0, π) справедливо равенство

n(2m + 1)\     /2nm\ , ,(n(2m — 1)

.—n—)— 2f v"n“)+f (—n—

m 2   f(

-1 = 0. (1.5)

lim |f(%) —L-(f,%)--у У ' — П^т                     2ТГ   Z—i р — 2m

m=m 1

где штрих у суммы в (1.5) означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю, а р = p(n,x),m- v и m₂ определяются с помощью соотношений

(1.3). Если окажется m 2 < m_t , то сумма в (1.5) равна нулю.

Доказательство теоремы 1.1. Оценим сумму для функции f = у —

m2 max = V 'd о<р<п 2я Z—i m=m1

n(2m + 1)\ _o,./27Tm\ , , .—n—) ^—2foo ^{+ f}

P

-

2m

n(2m — 1) ^|

^|x" 2 |

c

n

Отсюда и теоремы 1.3 следует lim^nCM - f| п^м

Теперь утверждение теоремы 1.1 следует теореме 1.2, инвариантности относительно

= 0.

из примера С.Н. Бернштейна в масштабного преобразования и

преобразования сдвига, а также линейности операторов £ „ (/,•) и £ „№ ,/» .

Теорема 1.1 доказана.

Для приближения негладких непрерывных функций, например, функций f имеющих «фрактальный» характер определим новые операторы. Так операторы A n (f,x) и A n (f, x) ставят в соответствие каждой непрерывной на отрезке [0,π] функции f линейную комбинацию синков по правилам

п ^ n (f,x) = V k=1

^ k.n C^O + ^-1,-00

^f(4 n )>

(1.6)

A , (M) = ^^{f(x k+12 )}-+-^{f(: k+1}^                    (1.7)

k=0

Теорема 1.4 Пусть f

G С[0, я] . Тогда равномерно внутри (0, п) и поточечно на

[0, п] имеют место соотношения

(1.8)

lim A n ⁽f,x) = lim A n ⁽f,x) = f⁽x), n^^         n^^

Прежде чем доказывать теорему 1.4 приведём утверждение предложения 6 работы [15]

Теорема 1.5 Если функция f непрерывна на отрезке [0, п], то для всех x G[0, п] имеют, место следующие соотношения jim (f(z) — Ln(f,x) — |^ (f (xk+i,n) — /(xk,n)) lk,n to) = 0,

(1.9)

где

(-1) ^k sinnx ^lkn(x) =   nx-ku .

Сходимость в (1.9) поточечная на отрезке [0, π] и равномерная внутри интервала (0, π), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство теоремы 1.4. Докажем (1.8) для произвольной непрерывной на [0, π] функции f. Преобразуем левую часть (1.9) согласно определениям (1.6) и (1.7) следующим образом him (f (x) - Ln(f, x) -1 ^ (f (xk+1,n) - f(xk,n)) lk,n(x))

= lim (f(x) - An(f,x) - f(n)ln,n(x)) = n^^                         ,

f(0)

2   ^l o,n ^(x) ).

f(u)

-

(1.10)

= lim (f⁽x⁾ - A n ⁽f,x)--— l n,n ⁽x)

n^^                      2     ,

Возьмём произвольный отрезок [a, b] : (0, п). Согласно утверждению теоремы 1.5 равномерно на [a, b] выполняется соотношение (1.9), то есть пределы в смысле равномерной сходимости на [a, b] в (1.10) равны нулю. Но для всех x G [a, b]

|^f(u)l n,n ^(x)| ^ ll^f ^ c[0,^]^~bj ^ ⁰, при ⁿ ^ ^ro, |f⁽o)l o,n ⁽x)| < IlfllcM;¹ ^ 0, при n^OT.

На концах отрезка сходимость проверяется непосредственно подстановкой x = 0 и x = π. Теорема 1.4 доказана.