Об отсутствии равносходимости синк аппроксимаций с алгебраическими интерполяционными многочленами

Теория приближения функций, описывающих различные виды сигналов, нашла широкое применение в радиолокации, в криптографии, звукозаписи и других областях. Актуальность задачи моделирования сигналов влечет за собой необходимость улучшения способов аппроксимирования функций, изучения их аппроксимативных свойств и сравнения между собой. Общая теория интерполирования доступно и достаточно ёмко изложена в [1], [2], [3]. На данный момент известно множество способов приближения функций, имеющих свои достоинства и недостатки. К ним относятся и такие виды приближений, как синк аппроксимация и приближение с помощью интерполяционых многочленов Лагранжа.

Появление такого понятия, как синк аппроксимация, связано с необходимостью развития теории кодирования сигналов и введением Э. Борелем и Е. Т. Уиттекером кардинальной функции. Эта функция лежит в основе теоремы отсчетов, связывающей непрерывный и дискретный сигналы (см. [4] , [5] , [6] , [7] ). Сужение кардинальной функции с оси на отрезок [0, п ] имеет вид: и                            и

Z sin(nx — кл)  /кл\   X ¹ sin(nx)   /кл\

пх — кл ^ (п )   / t пх — кл \ п )" (1)

к=0                          к=0

Данная формула может быть получена из обобщенной формулы Эрмита (её можно найти в [8] ).

Исследованию свойств синк-приближений, а также их приложений посвящены такие работы, как [6] , [9] . В частности, синк-аппроксимации используются при построении различных численных методов математической физики и приближения функций одной и нескольких переменных [10] , [11] , [12] . Кроме того, этот способ приближения нашел применение в теории всплесков [4] , [5] , [7] и в теории квадратурных формул [6] .

В мировой литературе синк-приближения часто рассматриваются на всей числовой оси, и в этом случае для многих классов аналитических фукнций синк-аппроксимации позволяют приближать функции с достаточно высокой точностью. Однако если рассматривать ограниченный интервал, то синк-аппроксимации могут приводить к большим прогрешностям. Работы [15] , [16] посвящены изучению явления Уилбрейама-Гиббса при использовании классических синк-аппроксимаций (о явлении Гиббса можно прочитать в [17] ). Полученные в этих работах результаты говорят о том, что вблизи концов отрезка [0, л] скачки оператора (1^) резко возрастают.

В работах [6] и [23] синк-аппроксимация на отрезке или ограниченном интервале осуществлялась для некоторых классов аналитических функций путем сведения к случаю оси с помощью конформного отображения. Работы [18], [19] расширили класс функций, приближаемых с помощью синк-аппроксимации, до менее гладких, но заданных на ограниченном отрезке функций. Также в [20] изучена аппроксимативная сходимость в точке значений операторов (1↑). В [22] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, я], функций линейными комбинациями синков. Модификации (1↑), с помощью которых можно приближать произвольные равномерно непрерывные функции, ограниченные на оси, изучаются в [13], [14]

Не только ограниченность области является проблемой при использовании оператора (1↑). В [24] было показано, что при попытке синк-приближения произвольных негладких непрерывных функций (например, фракталов) возможно появление "‘резонанса"’. Оно приводит к неограниченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, я). В этой же работе [24] установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1↑) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.

Изучению равномерной сходимости посвящены работы [25] , [28] . В последнем источнике установлены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1↑) и некоторых их модификаций на отрезке [0, я].

Еще одним способом приближения непрерывных функций является интерполяция алгебраическими многочленами Лагранжа. Историю вопроса можно найти в [26]. Интерполяционный многочлен Лагранжа по равноотстоящим узлам имеет вид:

n

—

^xk,-n^)f(.^xk,-n^{) (2)}

^(f, х) = ^ < ^n(^k.n) (х k=0

где шп = (х — хо)(х — х1) ... (х — х-), Xk.n = ^

Исследования Э. Бореля [27] привели к выводу, что интерполяционный многочлен Лагранжа далеко не во всех случаях удобен для приближения функций. В частности, Бернштейном было доказано, что при приближении функции f (х) = |х| на отрезке [—1,1]

интерполяционный многочлен Лагранжа по равноотстоящим узлам расходится. Точная формулировка теоремы приведена ниже.

Установлено, что между синк-приближениями и интерполяционными процессами Лагранжа, построенными по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, имеется серьезная связь. Аналоги теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля изучаются, начиная с работы [29]. Одной из работ, посвященных данной теме, является также [30]. Г.И. Натансоном в [31] установлен признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, и), процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля. Изучению аппроксимативных свойств данных процессов посвящены такие работы, как [32], [33], [34]. Кроме того, в [35] установлено, что существует непрерывная на [0, и] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, и].

Основываясь на данных предпосылках, авторы данной работы поставили перед собой следующие задачи: 1. Найти вид операторов, способных приближать любую непрерывную функцию с любой гладкостью. 2. Изучить возможность равносходимости операторов (1?) и (2?)

Будем использовать методы и приёмы доказательств, разработанные в [36] - [37] , и установим справедливость следующих утверждений.

Для приближения негладких непрерывных функций, например, функций f имеющих "‘фрактальный"’ характер определим новые операторы. Так операторы An(f , x ) и A_n(f, х) ставят в соответствие каждой непрерывной на отрезке [0, и] функции f линейную комбинацию синков по правилам

П — 1

B„(f,x) = ^^Ц^+^ЛА.п) (3) k=0 п-1                 ,    ч

Bn(f.x) = ^/(Xk-1'n)2+/(Xk'n)Zk,n(x) (4) k=0

Теорема 1.1 Пусть f е С[0, и]. Тогда равномерно внутри (0, и) и поточечно на [0, и] имеют место соотношения

lim Bn(f,x) = lim Bn(f, х) = /(x) (5)

п^та            п^та

Прежде чем доказывать теорему 1↑, приведём утверждение предложения 6 работы [20]

Теорема 1.2 Если функция f непрерывна на отрезке [0, и], то для всех х е [0, и] имеют место следующие соотношения

lim

П^т

(f(x) — Ln(f,x)

—

n-1

1I(f(Xk+,n

k=0

) f(xk,n)) ^k,n(x))

= 0(6)

где

k,n ( ^x)

(-1)^k sin(nx) nx-nk

Сходимость в (6) поточечная на отрезке [0, тт] и равномерная внутри интервала (0, тт), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

Доказательство теоремы 1^. Сделаем замену f 1 (x) = f(n — х) и обозначим

n

Bn(f,x) = Xn(fi.x)  ^knixi+k 1n(x)i:(xkJ (7)

k=1

snc/.x) = x;(fi,x) = ^^xnkl+fi(xkiin)/n,k(x) (8)

k=0

Преобразуем левую часть (6$) согласно определениям (3 $) и (4$)

следующим образом

lim

П^т

(                  1n-1                             \

( f (x)   Ln(f, x)   ^ ^' (f(xk+1,n)   f (xk,n)) ^k,n(x) )

x                     k=0                               /

= lim (f^x) — Лn(f,x) — f (T)Zn,n(x)) n^rn 4

lim n^m

f (т)

(f(x) — ^n(f,x)--— Zn,n(x)

f(0)

— y4n(x)). (9)

Возьмём произвольный отрезок [a, b] с (0, тт). Согласно (7$), (8$) и утверждению теоремы 1$ равномерно на [ a, b ] выполняется соотношение (6$) , то есть пределы в смысле равномерной сходимости на [a, b] в (9$) равны нулю. Но для всех x G [a, b]

|f(T)in,n(x)| < HyiU^nc;-^ 0, "Рип ^ ”,

|f(0)/0,n(x)| < ||f||c[0,,rl^a^ 0,  ПРи " ^ ”.

На концах отрезка сходимость проверяется непосредственно подстановкой x = 0 и x = п . Теорема 1$ доказана.

Далее изучается возможность равносходимости значений операторов (1$) и классических интерполяционных многочленов Лагранжа в случае совпадения узлов для функций из пространства С [0, тт].

Для любой точки х Е ([0, я] \ {0, -, я}) имеют место соотношения nlim Mf, х) — f| = 0, "lim" l^n(^o,f, х) — f(х)| > 0 n ^ та где f = - — |х — -|, а £n(M0,f, х) есть интерполяционный многочлен Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов М0 = {“^м)-/?=i, совпадающих с узлами оператора интерполирования (1↑).

Для доказательства этого утверждения нам потребуются следующие теоремы. Теорема С.Н. Бернштейна, доказательство которой можно найти в [38] . [С.Н.Бернштейн] В любой точке множества х Е ([—1,1]\{—1,0,1}) интерполяционный многочлен Лагранжа £_n(M₀,f, х) по матрице равноотстоящих узлов М₀ = { ^- } П;та п=1 функции f = |х| расходится """""" |£_n(M₀,f, х) — f(х)| > 0. n ^ та

Пусть f Е С[0, я] и последовательности положительных чисел -n и £n удовлетворяют соотношениям

Ь-МГ1}'

£_п = 1exp я

£_n = 1 ) ). Например, в качестве Yn

- п = о⁽1), lim —^ = ~;

^^ ”Ш(п,Я)

(В случае f = co'nst считаем y_n = 0,

{ J53   ^1} '

можно взять ^to (f, ^- ), тогда £_n — -^ exp

Для любого натурального п и х Е [0, я] обозначим через р = р(п, х), m 1 и m 2 такие целые числа, что т = [У + 1’т2 = [У’

ЯР<х<Я(Р122,(12) п         п где номера k1 и k2 определяются с помощью неравенств

я(кг — 1) -------< х

п

—

<я ^к ₁,   я(к—22<х ₊ £_П<

1 п             п               n

як?

2 ,(12) п

Здесь узлы интерполяции х_пк = -^ рассматриваются на всей числовой оси №: к Е Ж, п Е Ы.

И доказанная в [20] Пусть f G С [0, я] и последовательности положительных чисел уп и £п удовлетворяют соотношениям (10$). Тогда равномерно внутри интервала (0, я) справедливо равенство

lim

T^to

f(x)-Ln(f,x) —

/ тг(2т+1Ц    (2itm\   (Tt(2m-1)\ sin nX y!   7)1,2  ‘ V И )        И )        И )

2я ^{L m}=^m i          p-2m

= 0.(13)

где штрих у суммы в (13↑) означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю, а p = p ( n,x ), m ₁ и m ₂ определяются с помощью соотношений (11$) . Если окажется m ₂<  m ₁, то сумма в (13$)

равны нулю. Доказательство теоремы 1$. Оценим сумму для

функции f = | — |х — 11

I           1 2

sinnx о<р<п 2я Z—i m=m 1

М^-Ч С

П .

‘ ^ (я(2т + 1)) _ ^ (2ят р — 2т

Отсюда и теоремы 1$ следует

lim |Ln(f,%)—f| = 0.

T^to

Теперь утверждение теоремы 1$ следует из примера С.Н. Бернштейна в теореме 1↑, инвариантности относительно масштабного преобразования и преобразования сдвига, а также линейности операторов Ln(f , •) и ^ n C^f, •)

Теорема 1$ доказана.

□