Об управляемости температурного режима отапливаемых зданий

Постановка задачи. Требования, предъявляемые к температурному режиму отапливаемых зданий, заключаются в том, что температура внутреннего воздуха различных его помещений, как правило, должна отличаться. Вместе с тем возможности применяемых управляющих воздействий достаточно ограничены. Обычно регулируют (изменяют) только температуру теплоносителя на абонентском вводе здания (качественное регулирование). Расход теплоносителя при этом (количественное регулирование) почти никогда не изменяют из-за неизбежности гидравлической разрегулировки системы отопления. Далее, в двухтрубной системе отопительные приборы помещений, расположенных на разных этажах, подключаются к одному и тому же подающему стояку и к одному и тому же обратному стояку, поэтому на их входы поступает теплоноситель с одной и той же температурой. В однотрубной системе один и тот же теплоноситель последовательно пропускается через отопительные приборы разных этажей. В связи с этим в таких условиях вполне естественно возникает вопрос о том, возможно ли в этой ситуации в принципе поддерживать различные требуемые температуры внутреннего воздуха в разных поме- щениях здания? Таким образом, необходимо исследовать вопрос об управляемости температурного режима отапливаемых зданий, причем управляемость будем понимать в смысле работ [1–4].

Решение задачи. Рассмотрим указанную задачу применительно к двухтрубной системе отопления, в которой применяется только качественное регулирование – изменение температуры теплоносителя на абонентском вводе здания и, соответственно, на входах отопительных приборов различных помещений на разных этажах.

Как это установлено [5], температурный режим отдельных помещений здания удовлетворительно может быть описан следующим дифференциальным уравнением:

Td''^' + ад = kiW0i(T), (1) GT где 9, (T)= tB1(T) - tH(T), tBi(T), ei(T) - соотаетст— венно фактическая и избыточная температуры i-го помещения, tH(T) - температура наружного воздуха, Ti, ki, W01 (t) - соответственно постоянная времени, коэффициент передачи и мощность отопительного прибора i-го помещения, т - время.

Панферов С.В., Панферов В.И.

При этом, как это нетрудно показать, мощность отопительного прибора i- го помещения может быть представлена следующим образом [6, 7]:

W oi ( T ) =

k_T i F i ( 9 T —

kТiFi

1 +-----

9 i )

.

2cGi

Здесь k_Тi ,F_i ,G_i – соответственно коэффициент теплопередачи, площадь поверхности теплообмена и расход теплоносителя отопительного прибора i- го помещения, c - удельная теплоемкость теплоносителя, 9 _T = t_T — t_H , t_T, 9 _T - соответственно фактическая и избыточная температуры теплоносителя (одинаковы для всех отапливаемых помещений).

Если подставить соотношение (2) в уравнение (1), то оно может быть переписано в стандартном для теории управляемости [1–4] виде:

—

dT kТiFiki где knpi =    к i F.

1 +-----

^{1 + k} ПPi T i

k

W + -^и( т ), T_i

, и( т ) = 9 _T - управляющее воздействие.

2cGi

Таким образом, температурный режим всех n помещений здания может быть описан следующим матричным уравнением:

d^) = A 9 ( т ) + Ви( т ), d T

где 9 ( т ) =

9 1 ( т )

9 2 ( т )

9 п ( т )

—

^{1 + к} ПР1

T 1

.

;A =

—

^{1 + к} ПР2

T 2

..  0

0...0

^{1 + к} ПРп

Т n

;

В =

k ПР1

T 1 k ПР2

T 2

.

.

.

k ПРn

т

n

; и( т ) = 9 _T - скалярное управление.

ца будет иметь следующий вид:

k ПР1 T 1 k ПР2

T 2

—

^{(1 + к} ПР1 ^)к ПР1

—

^T 1 ²

^{(1 + к} ПР2 ^)к ПР2

2 T2

^к ПРп      ^{(1 + к} ПРп ^)к ПРп

-----------------7------------------ 2

n             T n

^{(1 + к} ПР1 ^{) 2 к} ПР1 ^T 1 ³

^{(1 + к} ПР2 ^{) к} ПР2 ³

T2

^{(1 + к} ПРп ^{) к} ПРп

³ n

, _n п — 1 ^{(1 + к} ПР1 ^{)   к} ПР1

( — 1)

T 1 ⁿ

/ nп — 1 ^{(1 + к} ПР2 ^{) к} ПР2

^{( — 1)}   --------Tn--------

T2

, П n _— 1 ^{(1 + к} ПРп ^{) П} 1 ^к ПРп ... ^(—1)  -----—

Tn

Далее следует определить ранг этой матрицы, для этого нужно вычислить ее определитель. Если при этом учесть известное свойство определителей [15], то определитель данной матрицы управляемости может быть представлен следующим образом:

L                  J     T 1      T 2         T n

n(n — 1)

X ( — 1)  ²

(1 + к ПР1 )	(1 + к ПР1 ) 2	(1 + к ПР1 )п — 1
T 1	T 1 2	..         T 1 n — 1
(1 + к ПР2 )	(1 + к ПР2 )	(1 + к ПР2 )п — 1
T 2	2 . T2	. .         тп — 1 T2
(1 + к ПРп )	(1 + к ПРп )2	(1 + к ПРп )п — 1
T n	2 . n	'у П—1 Tn

. (5)

Теплоснабжение, вентиляция, кондиционирование воздуха…

k ПР1 k ПР2      k ПРn

=------ x------X ... X------x ( - 1) ² X T 1 T 2         T n

_ , ⁽¹ + ^k ПPi ^{)   (1} + ^k ПPk ⁾,

^X П ⁽--- m---m----).

n > i > к > 1         T i                 T k

Понятно, что он не будет равен нулю только при условии, что

⁽¹ + ^к ПРк ) T k

⁽¹ + ^k ПPi ⁾ -------^

T i

Только в этом случае ранг матрицы управляемости будет равен n и согласно теореме Калма-на [1, 2, 8–14] объект вполне управляем, т. е. в принципе существует управление и(т) = 9T , ко- торое может обеспечить различные требуемые температуры в разных помещениях здания с двухтрубной системой отопления. Для этого различные помещения здания, как это следует из условия (7), должны отличаться либо по теплотехническим и гидравлическим характеристикам установленных в них отопительных приборов, либо по теплозащитным и теплоинерционным свойствам самих помещений. Выполнить такие условия, как правило, не представляется возможным, так как имеет место типовое строительство, при котором в каждом построенном здании обязательно имеются типовые этажи с типовыми помещениями и, соответственно, с типовыми характеристиками и установленными отопительными приборами. Поэтому в большинстве случаев температурный режим зданий не вполне управляем, т. е. не существует управления u(t) = 9 T , которое способно обеспечить различные требуемые температуры в разных помещениях здания. Очевидно, что возможны разные температуры только для разных групп помещений с одинаковыми вышеуказанными характеристиками.

Выводы

Рассмотрена задача об управляемости температурного режима отапливаемых зданий. Установлено, что для полной управляемости объекта необходимо, чтобы все помещения здания различались бы либо по теплозащитным и теплоинерционным свойствам, либо по характеристикам установленных в них отопительных приборов. В большинстве практических случаев температурный режим отапливаемых зданий следует считать неполностью управляемым.