ОБ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПРИ УСЛОВИИ ТОНКОГО ДВОЙНОГО СЛОЯ В ПОРИСТОЙ СТРУКТУРЕ ТЕЛА ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

Ранее в работах [1–6] рассмотрено электроакустическое преобразование, основанное на таком электрокинетическом явлении (ЭЯ), как электроосмос. Основное отличие от предлагавшихся ранее подобных преобразований (см., например, работу [7], в которой подобные преобразователи названы электрокинетическими преобразователями (ЭКП)) состоит в использовании режима накачки энергии акустических колебаний за счет энергии дополнительно приложенного постоянного электрического поля. По-видимому, впервые в преобразователях, основанных на ЭЯ, схема накачки энергии акустических колебаний постоянным электрическим полем была предложена в патенте [8].

В работах [2–6] рассматривалась математическая модель электроакустического преобразования для произвольной толщины двойного электрического слоя (ДС) внутри пористого тела электроки-нетического преобразователя (ЭКП). В настоящей работе в предположении тонкого ДС осуществляется упрощение соответствующей математической модели, что приводит к более прозрачной физической интерпретации конечных результатов.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Целью работы является с помощью допущения о малости толщины ДС в пористой структуре электроакустического преобразователя упростить математическую модель преобразования для придания итоговым выражениям большей физической прозрачности причинно-следственных связей между основными параметрами преобразования.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Далее коротко воспроизведем выражения для математической модели электроакустического преобразования, приведенные в работах [2–6]. Для простоты принимаем, что пористое тело преобразователя моделируется наполненным жидкостью цилиндрическим капилляром. Как и в [1–6], принимаем, что в капилляре имеет место течение вязкой сжимаемой однородной жидкости. К торцам капилляра, наполненного жидкостью, одновременно прикладываются постоянное электрическое поле E 0 и переменное электрическое поле E . Движение жидкости подчиняется уравнению сохранения импульса Навье—Стокса

^ d _v             .А

А —- + (vs ’V) vs = dt V ’

^„ п А

= -V p _E + n A v _s ⁺ I ^Z + 3 |W- v ^ + P el E o + A ei E .  (1)

Здесь Eo = const — вектор напряженности внешнего электрического поля, направленный вдоль оси капилляра; E — вектор напряженности переменного электрического поля, коллинеарный век- тору E0; η и ζ — соответственно динамическая и объемная вязкости жидкости; р^ = р0 + р, vs = v0 + v, Ps = P0 + P — соответственно поля плотности, скорости и давления в жидкости, где индекс 0 соответствует стационарному движению жидкости под воздействием объемной силы ρelE0 (электроосмотический процесс), переменные поля без индекса соответствуют нестационарному (акустическому) движению жидкости; ρel — объемная плотность электрического заряда, не равная нулю вследствие наличия ДС.

Подставим в (1) значения суммарных полей. Далее примем, что течение в электроосмотическом процессе ламинарное. Тогда уравнение (1) применительно к стационарному электроосмотическому процессу в жидкости внутри капилляра с учетом условия V p 0 = 0 имеет вид (см., например, [4, выражение (19)])

Р 0 ( ^V 0 ^-V) ^V 0 = П ^{A v} o ⁺ Р el E g -         (2)

Акустический процесс в капилляре описывается в терминах сжимаемой жидкости в линеаризованном виде, и уравнение сохранения импульса для него получается подстановкой разложений P s = Р о + Р , V s = V o + v , P s = P 0 + P в (1) и вычитанием из него (2):

(Sv ,     .        / .^

Р о I ^7 ⁺ ( ^V o "^V ) ^{v +} ( ^v "^V ) ^V o 1 =

V дt)

_(

= -Vp + nAv +I Z +~|VV- v + рel E.(3)

К уравнению движения (3) следует добавить стандартное линеаризованное уравнение непрерывности для сжимаемой жидкости

^ + р V- v = 0.

д t     ⁰

Уравнение (3) является линейным относительно акустических полей V и p , которые образуются за счет наличия объемной ρ _el E силы и, как будет видно ниже, также за счет процесса накачки, возникающего из-за приложения постоянного электрического поля E ₀ .

Для упрощения уравнения движения жидкости (3) примем допущение о малой толщине двойного слоя на границе раздела жидкости и внутренней поверхности капилляра, что определяется неравенством ка . 1, где a — радиус капилляра, к = 1/ Л, 2 — длина Дебая (см., например, [1]). В этом случае скорость электроосмотического движения жидкости практически во всем сечении капилляра равна скорости осмотического движения Гельмгольца—Смолуховского Ueo [9, с. 10] (здесь, в отличие от [9], запись в системе СИ):

εε

U eo = E о--- Z = const.              ⁽⁵⁾

η

Здесь ζ — электрокинетический потенциал (см. [9]), ε — диэлектрическая проницаемость, ε ₀ — электрическая постоянная. Таким образом, имеем в декартовой и цилиндрической системах координат v ₀ = ( 0,0, U _eo ) , что приводит к выражению д

(см., например, [10, с. 68, 83]) (v0-V)v = Ueo —v дz или окончательно с учетом (5)

( V o ^-V ) v = ^U eo ^- v = E о ^^Z v . д z        n   д z

Перепишем (3) с учетом последнего равенства, а также очевидного равенства V v ₀ = 0 :

д v   _         (, n ^ _ д

P g — = ^-V P + n ^{A v} + I ^{Z +}   |^VV" ^{v -} Р о ^U eo —^{V. (6)}

д t                V 3)                дz

Полагая процесс потенциальным v = VФ , так же как в [4], приводим последнее уравнение к скалярному виду¹

дФ          4           дФ

Р о^- = ^- P ⁺ | ^{Z +} т П |^АФ- Р 0^U eo^.        ⁽⁷⁾

д t V 3 )             д z

Преобразуем уравнение (7) по аналогии с работой [4]. Из уравнения непрерывности (4) и условия баротропности жидкости получаем д P        2V7

— = -рc V - v, где с — скорость звука, или через дt0

дP_ скалярный потенциал — = -рcАФ. В гармони-д t0

ческом случае с временн.м фактором e-л, сохраняя те же обозначения для амплитуд, для ампли-ρc туды давления p получаем p = —— АФ. После iω этого (7) в случае гармонического процесса приводится к виду

- Р _о 1 to Ф = -

р0 АФ + I Z + -n |аФ- рoUeo -Ф , 1 to V 3 )              дz или в виде неоднородного уравнения Гельмгольца

• ¹    Отметим, что в случае цилиндрической системы координат, в которой ось Oz совпадает с осью системы координат, справедлива коммутация операторов [14,

• с. 84]: — v = V— .

д z      д z

АФ +

i ρ ₀ ω

Z + 3n

—

--- ^Ф = ρ ₀ c ²

троосмотической скорости U _eo будет линейно

ρ ₀

л 4 ^

Z + n \

3 J

—

) I to

---Г U eo — Ф . eo

Poc     dz iω

dp ap (z, v=o) расти и градиент давления -i- =   ---eoz- дz      дz

.

Инте-

Вводя обозначение для квадрата числа

волнового

k ²

i ρ ₀ ω

^z +3 n

—

ρ ₀ c ² i ω

ω ²

(P.

—

ρ ₀ ito( - 4

Z + n c ² Г  3

,

1/2

или k =

,

приводим

(8) к виду

k ²      д

АФ + k ² Ф = —U_m —Ф .

eo ito     дz

Уравнение (9) представляет собой неоднородное уравнение Гельмгольца относительно скалярного потенциала Φ скорости v с той особенностью, что в правую часть уравнения (9) входит производная искомой величины . Видно, что dz решение уравнения (9) линейно зависит от электроосмотической скорости Ueo . Подобные уравнения возникали ранее, в частности в [4], где отмечалось, что решение таких уравнений сводится к линейному интегральному уравнению с ядром, представляющим собой функцию Грина соответствующего уравнения Гельмгольца. В [4] приведены качественные рассуждения для уравнения типа (9), из которых следует, что с ростом величины электроосмотической скорости Ueo должна расти величина амплитуды Φ, а следовательно, и величины амплитуд v и p, т.к. имеют место за-ρc2

висимости v = УФ, p = —— АФ. Поскольку урав-iω нение (9) линейно, то в рамках справедливости линейной модели (9) все эти величины будут линейно зависеть от электроосмотической скорости Ueo . Т.е. при линейном характере роста распределения амплитуды давления p = p (z, Ueo) от элек-

грирование последнего выражения по координате z показывает, что с ростом скорости электроосмотического течения модуль потенциала течения будет также расти.

Таким образом, в рамках справедливости линейной модели, описываемой уравнением (9), при росте электроосмотической скорости U _eo линейно растет величина амплитуд акустической скорости v и давления p .

Все отмеченное выше справедливо в случае ламинарного движения жидкости в капилляре (пористой среде), в противном случае в пористой среде в режиме накачки возникают пульсационные паразитные колебания, искажающие характеристики исходного принимаемого акустического поля (см. работу [5], посвященную работе электроакустического преобразователя в турбулентном режиме течения жидкости в пористом пространстве преобразователя). В результате этого возникает паразитная составляющая потенциала течения, искажающая адекватность акустоэлектриче-ского преобразования. В этом легко убедиться, приняв, что переменное электрическое поле E равно нулю, а в пористой структуре преобразователя вместо него присутствуют только пульсационные составляющие акустического поля, вызванные режимом накачки. Тогда преобразователь зафиксирует только паразитные пульсационные электрические колебания.

ВЫВОДЫ

В работе в приближении тонкого ДС получены простые зависимости акустических полей, возбуждаемых в электрокинетическом электроакустическом преобразователе от величины скорости

осмотического ховского U _eo. потерь, когда модели (2) и

движения Гельмгольца—Смолу-Из них следует, что в отсутствие еще не сказывается нелинейность отсутствует турбулентный режим

движения жидкости в капилляре, величины амплитуд акустических параметров — скорости v и давления p — линейно зависят от величины U _eo скорости осмотического движения Гельмгольца— Смолуховского.

Работа выполнена в ИАП РАН в рамках Государственного задания 075-00780-20-00 по теме № 00742021-0013 Министерства науки и высшего образования.