Обобщение принципа спектроскопического соответствия на временную зависимость квантовых переходов

Спектроскопический принцип соответствия между классическим и квантовым подходом в описании взаимодействия между электромагнитным полем и атомом заключается в следующем [1]: атом представляется в виде набора, классических осцилляторов (т.н. осцилляторов перехода), отвечающих дипольно-разрешенным переходам между состояниями дискретного спектра. Собственные частоты этих осцилляторов равны боровской частоте перехода, между заданными состояниями, а. отклик на. электромагнитное воздействие пропорционален безразмерной величине - силе осциллятора, перехода. С помощью принципа. соответствия можно количественно описать ряд важных радиационных процессов и атомных характеристик, не прибегая к формализму квантовой механики. Так, например, выводится выражение для динамической поляризуемости атома. [2], а. также формулы для

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021

сечения рассеяния света [3] и для сечения фотопоглощения излучения в дискретном атомном спектре.

Более общий принцип соответствия между классической и квантовой механикой состоит в следующем: квантово-механические формулы получаются из классических, если в последних фурье-образы физических величин заменить на матричные элементы операторов, отвечающих данным величинам, вычисленных на частотах, равных частотам переходов между квантовыми состояниями [4].

Оба вышеуказанные принципа не рассматривают временной зависимости квантового перехода, которая в настоящее время становится физически измеримой величиной в связи с развитием экспериментальных методов аттосекундной физики, таких как: selfreferenced attosecond photoelectron interferometry [5], an interferometric technique combining high temporal and spectral resolution [6], the combination of transient absorption and ion mass spectroscopy with attosecond resolution [7].

Экспериментально и теоретически исследуются следующие фотопроцессы с аттосекунд-ным временным разрешением: фотоионизация хиральных молекул [5], атомов гелия [8], неона [6] и криптона [7], динамика электронов в многоэлектронных атомах [9], динамика фотовозбуждения атома водорода [10], динамика формирования резонанса Фано [11-13].

Вследствие этого обобщение принципа соответствия между классической и квантовой физикой на временную зависимость квантового перехода становится актуальным вопросом, которому и посвящена данная работа.

2.    Обобщение принципа спектроскопического соответствия для временной зависимости квантовых переходов

Рассмотрим принцип соответствия путем сравнения временной зависимости энергии ЭМИ, поглощенной классическим осциллятором — E_c i _as(t), и осциллятором перехода в квантовой двухуровневой системе — E_9tomt(t) к заданному моменту времени t. Полагаем, что классический осциллятор имеет элементарный заряд и массу, равную массе электрона. Для простоты считаем, что сила осциллятора ДС равна единице: /о = 1.

В атомных единицах ~ = е = т_е = 1 для энергии ЭМИ, поглощенной классическим осциллятором к моменту времени t, имеем (см. Приложение 1):

Г          Г dw'.    гш' exp(-iw't')

^{dtE (}t')v⁽t')=    dt Е ⁽t )     —E ^(ш ) —--- 2       , .         1

J          J 2тт      w'2 - ш0 + 2гш'у

-∞          -∞     -∞

Здесь E (t') — напряженность электрического поля в ЭМИ, E(w' ) — его фурье-образ, шо — собственная частота классического осциллятора, равная частоте перехода в ДС, у — константа релаксации классического осциллятора, равная спектральной ширине линии в ДС, v(t') — скорость осциллятора в заданный момент времени. Предполагается, что E(t ^ —то) = 0 и e(t ^ —то) = 0 для классического осциллятора и ДС. Отметим, что интеграл по частоте в правой части равенства (1) представляет собой скорость классического осциллятора в момент времени t'.

Для энергии, поглощенной квантовой ДС к заданному моменту времени, можно получить в рамках первого порядка теории возмущений следующее выражение:

∞

t

E(t ) exp(iw't' )dt'

∞

-

где G(w' ) — спектральная форма линии дипольно-разрешенного перехода в ДС. Формула (2) выводится аналогично тому, как это было сделано в статье [10] при выводе вероятности возбуждения радиационного перехода между состояниями дискретного спектра (см. Приложение 2).

3.    Предел больших времен

Получим сначала выражения для поглощенной энергии за все время действия импульса при t ^ то. Физически данное условие соответствует временам, много большим длительности ЭМИ. В квантовом случае возбуждения ДС результат непосредственно вытекает из формулы (2):

e_q uant (t ^^j du'С(ш') \Е(ш' ) I² .                     (3)

Выражение для энергии, поглощенной классическим осциллятором за все время действия импульса, следует из (1). После ряда алгебраических преобразований имеем

∞

/ dш'       ,

₂_ \ е (ш )\

(ш '2

-

4ш'² 7 ш0)2 + 4ш '272

Заметим, что формулы (3) и

(4) совпадают, если форма линии в выражении (3) равна

̃︀

G_O sc ^(w)     /9

Г (ш0

-

4ш27

ш²)² + 4ш²7²

Функцию G_osc(w) назовем осцилляторной формой линии. В пределе

7 << ш0

G_osc(w) совпадает с лоренцевской формой линии

С ь ^ш) ^— --— Г (шо

-

7___

ш)2 + 7² .

Как известно, форма линии (7) отвечает однородному уширению спектральной линии, вызванному, например, спонтанным излучением. Таким образом, имеется соответствие между энергией, поглощенной классическим осциллятором за все время действия ЭМИ, с энергией, поглощенной квантовой ДС, а именно: эти энергии совпадают, если выполняется условие (6). Заметим, что в случае возбуждения переходов в дискретном атомном спектре неравенство (6) выполняется с большим запасом. Так, например, для перехода ls~2p в атоме водорода, когда ширина линии обусловлена спонтанным излучением, отношение шо/7 та 107.

4.    Случай отсутствия релаксации/нулевой ширины спектральной линии (у = 0)

Получим из (1) формулу для поглощенной классическим осциллятором энергии в случае 7 — 0. Выражая согласно определению фурье-образ напряженности электрического поля через функцию E(t), имеем dш' іш' exp(—іш'(t’ — t'')) 2г  ш 2 — ш0 — 2іш'7

E clas (t) — j dtE (t') У dtE(t ') J

-∞     -∞      -∞

Интеграл по частоте в правой части равенства (8) можно вычислить с помощью теоремы о вычетах. В пределе 7 ^ 0 этот интеграл равен

7 dш' іш' exp(—іш'(t' — t' '))

— 6(t — t' ') cөs[шо(t' — t'')] ,

J 2 г  ш² — ш0 — 2іш'7

-∞ где Ө(т) — тета-функция Хэвисайда.

Подставляя правую частв равенства (9) в формулу (8), находим

Ed as (t) = / dt'E(t’) J dt" E (t‘‘)cos[ Ш₀(t' - t’’)] =

-∞-∞

= 2 J dt'E(t') J dt"E(t") cos[ ш₀(^ — t")] =ДО)

-∞-∞

t

= 2 J dt'E(t^r) ехр(гш₀Е) .

-∞⃒

При переходе ко 2-му равенству в (10) было использовано то обстоятельство, что подынтегральная функция симметрична относительно перестановки переменных интегрирования: t‘ О t’’.

В квантовом случае, в пределе у ^ 0, спектральная форма линии становится равной дельта-функции Дирака:

G b (y ^ 0) ^ Дшо — ш).                            (11)

Подставляя (11) в (2), получаем

E quant //)

E (t‘) exp(гшot^,)dt^,

Из сравнения формул (10) и (12) следует, что в пределе нулевой ширины линии (для ДС) или в отсутствие релаксации (для классического осциллятора) выражения для временной зависимости поглощенной энергии ЭМИ в классическом и квантовом случаях совпадают.

5.    Временная зависимость поглощенной энергии в общем случае (у = 0)

Проведем в общем случае (у = 0) численное сравнение временной зависимости энергии, поглощенной классическим осциллятором (по формуле (1)) и квантовой ДС (по формуле (2)) для ЭМИ с гауссовской огибающей:

E(t) = E₀ exp(—t²/2т ²)cos(шt).

Здесь E o ,t и ш - амплитуда, длительность и несущая частота ЭМИ.

Рассмотрим возбуждение ДС с двумя формами спектральной линии (5) и (7). В расчетах полагаем, что Eo = 0.03, шо = 0.375. Данное значение собственной частоты отвечает переходу ls-2p в атоме водорода (в атомных единицах).

Результаты вычислений приведены на рис. 1-4 для различных констант релаксации у и параметров ЭМИ.

Рис. 1. Временная зависимость поглощенной энергии ЭМИ: сплошная кривая - для классического осциллятора, пунктир - для ДС с лорепцевской формой спектральной линии, штриховая кривая -для ДС с «осцилляторпым» профилем спектральной линии; 7 = 10 3,_- = 0.25,т = 20

Рис. 2. Временная зависимость поглощенной энергии ЭМИ: сплошная кривая - для классического осциллятора, пунктир - для ДС с лорепцевской формой спектральной линии, штриховая кривая -для ДС с «осцилляторпым» профилем спектральной линии; 7 = 10 2,_- = 0.25,т = 20

Рис. 3. Временная зависимость поглощенной энергии ЭМИ: сплошная кривая - для классического осциллятора, пунктир - для ДС с лорепцевской формой спектральной линии, штриховая кривая -для ДС с «осцилляторпым» профилем спектральной линии; 7 =10 2 ,ш = 0.25,т = 8

Рис. 4. Временная зависимость поглощенной энергии ЭМИ: сплошная кривая - для классического осциллятора, пунктир - для ДС с лорепцевской формой спектральной линии, штриховая кривая -для ДС с «осцилляторпым» профилем спектральной линии; 7 = 10^-2, ш = 0.35,т = 20

Из приведенных рисунков видно, что для достаточно малых констант релаксации/ширин линии — 7 < 10-3 — все три кривые практически совпадают. Для больших значений 7 возникает отличие временной зависимости поглощенной энергии ДС с лорен-цевским контуром от двух других кривых. Это различие тем больше, чем больше отстройка несущей частоты ЭМИ от собственной частоты системы и уменьшается с укорочением ЭМИ. Кривая, соответствующая «осцилляторному» спектральному контуру всегда совпадает с кривой для классического осциллятора.

Приложение 1

Для энергии ЭМИ, поглощенной классическим осциллятором к моменту времени t, имеем

t

E clas (t) = j x(t")E(t')dt .                                  (1.1)

-∞

Решение уравнения для гармонического осциллятора имеет следующий вид (см., например, [14]):

Г~ E(w')exp(-iw't) dw'

^X(t) = У-^ w2 - w' ² - 2i₇w' 77'

Из формулы (1.2) вытекает выражение

. Г w'E(w') exp(-iw't) dw'

(1.3)

(1.4)

^X(t) = -\ /-^ w² - w'² - 2i₇w' 27*

Подставляя формулу (1.3) в (1.1), получаем

Eclas(t) = /    dt'E (t') У

-∞      -∞

dw' , , iw' exp(-iw't') 2л      w'2 - w2 + 2iw'₇

Приложение 2

Вероятность фотовозбуждения в заданный момент времени под действием поля Е (t) (предполагаем, что Е (t ^ ±то) = 0 в дипольном приближении и первом порядке теории возмущения) имеет следующий вид [15]:

W (t) = j   dt' j   dt' '

Угловые скобки обозначают усреднение по начальному состоянию мишени. В формуле (2.1) используется коррелятор дипольных моментов (КДМ), который для стационарной системы может быть представлен в виде [16]:

Подставляя (2.2) в (2.1), получаем

W(t) = j dt' j dt"K(t'' - t')E(t')E(t'').(2.3)

Фурье-образ КДМ имеет следующий вид [16]:

К(t" - t')= /   — exp(-iw(t" - t'))K(w).                     ( 2.4)

• -^ ²⁷

Далее используем связь КДМ с сечением фотовозбуждения [16]:

с . .

К (w) = 2Tw^(w).

Применяя простые преобразования:

W(t) =      I dt' I   dt" I   dw exp(-iw(t' - t''))      E(t')E(t'')         ( 2.6 )

4л2w

• -∞   -∞-∞

И

W (t) =

ср 4^2 Уо

ш

f   dt' J   dt” exp(—ішр — t'))E(t')E(t''),        (2.7)

получаем следующую формулу:

W (t) =

∞

(Іш^Л ш

г t                             ²

'    exp(ішt')E (t')dt'

-∞⃒

(2.8)

Из формулы (2.8) следует выражение для дифференциальной вероятности поглощения, которая обусловлена монохроматической составляющей на частоте ш:

dW(t)     с Дш) Г¹               „ , ,

—   = —---- exp(ішt')E (t)dt'

dш    4^2 ш Loo

Для дифференциальной энергии, поглощаемой на частоте ш, имеем

de = dW dш dш

Тогда для полной энергии получаем

e =/ Дш = dш         dш

(2.9)

(2.10)

(2.П)

Далее, в формулу (2.11) подставляем (2.9), при этом учитываем явное выражение для сечения фотовозбуждения мишени Дш) [16]:

ст(ш) =----С(ш), с

(2.12)

где С(ш) - спектральная форма линии. Тогда получаем итоговую формулу:

1 Г

Equant(t) = X I   dш С(ш )

2 0

Г t                            ²

'    E(t') exp(іш't')dt'

-∞

(2.13)

Заключение

Таким образом, на примере исследования временных зависимостей поглощения энергии ЭМИ классическим осциллятором и квантовой ДС показано, что с точностью до учета различия формы спектральной линии (существенной только для больших констант релаксации) эти зависимости совпадают. Тем самым принцип соответствия между классической и квантовой физикой обобщен на временную эволюцию квантового перехода.

Другой важный вывод из проведенных расчетов заключается в том, что для больших частотных отстроек и длинных импульсов временная зависимость поглощенной энергии имеет форму кривой с явно выраженным максимумом. В противоположном пределе максимум исчезает, и временная зависимость становится монотонной. Качественно наличие максимума во временной зависимости поглощенной энергии можно объяснить тем, что при больших частотных отстройках и длинных импульсах электромагнитное поле и осциллятор в течение второй половины длительности импульса колеблются в противофазе, так что поле тормозит осциллятор, и его энергия уменьшается.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-07-00235 А.