Обобщенная весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье

I. Введение

Пусть {р п }^ =1 — последовательность натуральных чисел, такая, что 2 6 p j 6 N, p- j = p j для всех j e N. Поле жим m j = p 1 .. .p j щ hi j e N. m о = 1 и m- l = m l при l e N. Тогда каждому x e R y можно сопоставить разложение

∞∞ x = Vx-jmj-1 + 52 — , 0 6 xn

Здесь в первой сумме из (1) присутствует конечное число слагаемых и разложение определяется однозначно, если для чисел вида x = k/ml, k,l e e N, брать разложение с конечным числом xj = 0. Если x,y e Ry записаны в виде (1), то по определению x О y = z

∞

= 52 ^z-j mj-1 j=1

∞

+ X ^j, m j=1   ^j

zj e Z n [0,pj),   j|e N, где Zj = xj — yj ( mod pj). Аналогично определяется операция x Ф y.

Для x,y e Ry, записанных в виде (1), определим ядро х(x, У) равенством

∞

^{2 ni}X j=1

xj У-j^{+ x}-j yj pj

Для почти всех пар (x, z) e Ry x Ry при фиксированном y e Ry имеем pавенство х(x Ф z,y) = = х(x,y) х(z,y) 11 х(x ° z,y) = х(x,y) х(z,y )• Отсюда. следует, что х(x,y) = х({x}, [у])х([x], {y})• где {x} — дробиая часть x. [x] — цела.я часть x. и что х(x,y) постояина по x на всех промежутках Ik = [j/mk, (j + 1)/mk) при 0 6 y < mk (см. [2. §1О]).

Пространства Lp(R+). 1 6 p < го. состоят из измеримых на Ry функций,

( R If(t) Ip dt)     < -

R+ для которых

Для f e L 1(R+) мультипликативпое P-преобразование Фурье (см. [1]) задается формулой f (x) = J f (y)х(x,y) dy, где правая часть явля-R+ ется интегралом Лебега. Для f e Lp(Ry), 1 < < p 6 2, P-преобразование Фурье вводится, как предел R f (y)х(x,y) dy в Lq(Ry). 1 /p + 1 /q = 1. о при a ж + го. Согласно [2, гл. 6, теорема 6.1.7], имеет место аналог неравенства. Хаусдорфа-Юнга. kf kq 6 kf lip- Наконец, для убывающей на. Ry к нулю функции f мы определим f (x) как несобст-∞ венный интеграл J f (у)х(x,y) dy (см. [3]). о

Пусть f e Lp(Ry)- 1 6 p < го. тогда.

Ш* (f, 5) p := sup kf (• О h) — f (•) lip 11 Шп (f) p : = 0

: = ш*(f, 1 /mn)_p, n e Zy. Аналогично определяется Шп(f)^ = sup sup If(x О h) — f(x)| и 0 1 /'mn xER+

Ш*(f, 5)^. Eели а > 0 11 Шп(f)_p 6 Cm-“. n e e Zy. то по опуюделеиито f e Lip * (a,p). 1 6 p 6 6 го. При p = го пищ ем f e Lip * (а). Для f e Lp(R). 1 6 p < го. и f e C(R) положим

*Работа первого автора поддержана РФФИ, проект 11-01-00321 и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/12136, работа второго автора поддержана программой «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-4383.2010.1).

ш (f,5) _Lp : = sup kf (• + h) - f (•) k_p I if (f,5) : = 0 65

: = sup sup If (x + h) — f (x) | соответственно.

0£R

Пусть f = {xi} П — раз биение [ a, b ]. |f| — диаметр разбиения и 1 6 p < го. Тогда для ограниченной на R функции f можно определить величину

n

i=1

\ 1 /Р

If (Xi ) — f (Xi-1) A

при mn = 2ⁿ применялось Ф. Морицем [8] для изучения весовой интегрируемости обычных преобразований Фурье.

Пусть F(f)(t) — преобразование Фурье для функций f, определенных на прямой. Ф. Мориц [8] установил следующие результаты.

Теорема А. Пусть f Е Lp(R), 1 < p 6 2, 0 < < r < q. 1 /p + 1 /q = 1. А Е Ap/(p—rp+r) (при mn = = 2ⁿ)ii А(—t) = А(t). Тогда.

го. < a < b < + го,

|ξ|6δ .

∞ jА(t)IF(f)(t)|r dt 6 cjА(t)t

Itl >2

-

^r/qω^r f,^π_{t Lp}dt.  ¤

Если V_p (f) := sup ш 1 - 1 /_p(f, 5) < го. то f иа-5> 0

зывается функцией ограниченной p-вариации на R. Аналогии!ю вводится ш 1 - 1 /_Р(f, 5)[_a,_b] для функций, определенных на [a, b].

Мультипликативной сверткой функций f, g Е

Е L1_oc (Ry) иазывается f * g (х) = J f (х Q t) g(t) dt.

R+ если последний интеграл существует. Пусть osc(f[a,b)) := sup f (x) — f (у)|. Будем го-x,yE [ a,b )

ворить, что f является функцией ограниченной s-ф.луктуащш на. Ry. 1 6 s < го. если

Теорема В. Пусть f Е Lp(R) П C(R) такова, что Vs (f) < го. г,тс 1 < p 6 2. 0 < s < p. Если r, q и А(t) такие же, как в теореме А, то

∞ jА(t) IF(f)(t) |r dt 6 C^А(t)t-rшг(1 -s/p)

_t dt. ¤

|t| >2

Fls (f, Ry) : = sup k∈Z

∞

X j=0

\ 1 /s oscs (f,lj k))

< ∞.

Можно также рассматривать следующий

s-флуктуационный модуль

Vs ( f ) n

sup k > n

( P oscs(f,ljk))) j=0

непрерывности 1/s

Понятие

функций ограниченной s-флуктуации принадле

жит К. Опевиру и Д. Ватерману [4], величина. Vs (f) n рассматривалась одним из авторов ([5]).

Будем писать, что неотрицательная функция А(t) Е L1_oc(Ry) прппадлелсит классу A_Y. y > 1-если найдется k_y > 1, такое, что

mn + 1

j А^Y(t)

mn

1 — Y

6 Kymn^Y   А(t)

1 /Y

mn

dt, n ∈ Z.

mn-1

Из неравенства Гёльдера легко следует, что AY2 С С Ay 1 пр и 1 6 y 1 < Y 2 < го. Ясно, что функция А (t) = te щhi в Е R прииадлежит всем AY. y > 1-Более того, любая функция А(t) со свойством sup {А (t) : mn 6 t < mn+1} 6 C inf {А (t) :

mn 6 t < mn +1}, n Е Z, (3)

также принадлежит всем A_Y, y > 1- Аналог условия (3) для последовательностей рассматривался П.Л. Ульяновым [6], тогда, как аналог условия (2) для последовательностей введен Л. Гоголадзе и Р. Месхия [7] (при mn = 2ⁿ). Само условие (2)

С помощью леммы 4⁰ (см. ниже) легко установить, что теорема. В является следствием теоремы А.

В данной работе мы устанавливаем аналог теоремы А и его неулучшаемость в определенном смысле. Кроме того, мы приводим условия типа. Зигмунда, достаточные для весовой интегрируемости преобразований Фурье (мультипликативного и обычного), в которых, помимо ограниченности s-флуктуации или s-вариации, используются условия на. интегральный модуль непрерывности. Аналогичный результат для тригонометрических рядов был получен М. и Ш. Изуми [9].

Далее мы изучаем условия интегрируемости преобразования Фурье от сверток. При этом большое внимание уделяется доказательству неулучшаемости этих условий. В случае тригонометрических рядов подобные вопросы изучались М. и Ш. Изуми [10] и К. Оневиром [11], а. для мультипликативных систем — К. Оневиром [12] и одним из авторов [13]. Отметим следующий результат из [111-

Теорема С.

• 1)    Если g, h ^ЕLpп,¹< p 6 2, ¹/p^{+ 1}/q = 1, то ряд из модулей коэффициентов Фурье в степени q/2 их 2л-периодической свертки (g * h)_2п сходится.

• 2)    Для любого 1 < p 6 2 пандутся g, h Е Е L^р_п, такие, что ряд из модулей коэффициентов Фурье в любой степени в < q/2 их 2л-псриодичссггой свертки (g * h)_2п расходится.                                 □

Ниже доказывается аналог теоремы С для мультипликативного P-преобразования Фурье (см. теорему 4).

С. Аляичич и М. Томич [14] получили следующий результат.

Теорема D. Пусть коэффициенты Фурье pn четной (или нечетной) функции f Е Lp_п монотонно убывают. Тогда n^{1 -1 /p}pn 6 Сш(f ,п /2n)lp, где ш (f, 5) lp — модуль непрерывности в Lp п 1 < < p < го. □

В теореме 6 и следствии 6 мы даем аналогичные оценки для мультипликативного Р-преобразо-вания Фурье.

Данная работа, по тематике примыкает к нашей работе [15], в которой также исследовалась весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье.

О1

6 sup (Шп (f) О )1 -s/p  m-1 X oscs (f,j)=

0

= m-^{1 /p} (шп (f) о )1 ^-s/pVs^/p (f) s

• II.    Вспомогательные утверждения

y

Лемма 1. Пусть Dy (x) = J х(x, t) dt Тогда

• 1)    Dmn (x) = m X [0,1 /mn)(x )• r,TO n Е Z 11 Xe — индикатор множества E\

• 2)    Dy(x)| 6 (N + 1)/x для всех x,y > 0.        □

Утверждение 1) хорошо известно (см. [2, §1.5 и §1.11]), а утверждение 2) доказано в [3, формула. (10)].

Лемма 2. Пусть f не возрастает на R+ и lim f (x) = 0. Тогда, интеграл f (x) = x→∞

= /f (У)X(x,y) dy сходится как несобственный R+ интеграл при всех x > 0. Если, кроме того, f(x)x1 -2/p Е Lp(R+). 1 < p 6 2. то f(x) Е Е Lp(R+).                                       □

Утверждение леммы 2 доказано в [3, теорема. 3]. ∞

Лемма 3. Пусть интеграл J a(y)х(x,y) dy, где 0

a(у) Е L1_oc (R+). сходится всюду на. R+ за. исключением не более чем счетного множества, точек к функции f (x) Е L1oc(R). Тогда.

при всех n Е Z+- Здесь важно, что для функций ограниченной s-флуктуации модуль непрерывности ш_п (f)_О конечен, хотя и может не стремиться к 0. Лемма, доказана.

Лемма 40. Пз сть 1 6 s 6 p < го 1i Vs (f) < го. f Е Lp(R). Тогда'

ш(f,5)Lp 6 5^{1 /p}ш—/s(f,5)(ш(f,5)о)1^-s/p.

Доказательство. Пусть w (x,y)   =

= ^шi-1 /s^(f,h)[ x,y ]■ Тогда.

I If (x + h) - f (x) |^p dx 6

R

I w^(x,x⁺h) u^^-s(f^,h) dx =

R

= ш^p-^s ( f,h )

lim

M,N ——+о

6 ш^p-^s(f,h)

lim

M,N —+о

N

j^w(x.x⁺h) dx

M

N

a(x)

lim n—>+О

mn

I ^{f (}У)X^(x, У) dy 0

п. в. iia R+-                                         □

Лемма. 3 установлена. В.А. Скворцовым [16].

Лемма 4. Пусть Fls(f, R+) < го и f Е

Е Lp(R+). где 1 6 s 6 p < го. Тс)гда ш_п(f)_p 6

6 m-¹ ^шП^-s/p(f)оVs^/p(f)s. n Е Z₊.           □

Доказательство. Учитывая, что при x Е In, h Е Inn. им сом x Q h Е In- получаем

1/p

∞

X / If (x Q h) - f (x)|^p dx I 6 j=o In

j

∞

6 sup I         ^s (f) О /If (x Q h) - f (x) I^s dxl

⁰mn j=o         In

j

1/p

j (w (—M, x + h) —

-w(-M, x)) dx

/ N+h

= ш^p-s(f, h)   lim | [ w(—M,x) dx—

M,N—+о

N

— M+h            \

w(—M, x) dx 6

-M

6 Ш^p—s (f,h) h  lim  w (—M,N + h) =

M,N—+о

= hш^p—s (f, h)шs-1 /s (f, h).

Здесь использован легко проверяемый факт: w(x,y) > w(x,z) + w(z,y) njhi x 6 z 6 y- Переходя к sup по h 6 5 и возводя в степень 1 /p. получаем нужное неравенство. Лемма, доказана.

Замечание 1. Неравенство ^{ш ( f, 5}) Lp 6 6 5^{1 /p}V_p(f) для периодических функций было доказано Л. Юнгом [17].

Лемма 5. Пусть f Е L^p(R+), g Е Lq(R₊), p > > 1, q > 1 и 1 /r = 1 /p +1 /q — 1 > 0. Тогда мультипликативная свертка f * g существует как элемент L^(R+)ikf* * gkr 6 kf kpkgkq. ' □

Эта. лемма, является мультипликативным аналогом теоремы Юнга и ее доказательство проводится аналогично [18, с. 176] с помощью неравенств Минковского и Гёльдера, а. также теоремы Рисса-Торина.

• III.    Основные результаты

Теорема 1. Пусть g (x) не возрастает на R₊ и lim g(x) = 0. Тогда сллпествует f е Lp (R+). x——+СО *

• 1    < Р 6 2. така я. что f = g п. в. на R+- в том и только том случае, когда g(x)x¹-^2/p е Lp(R+). □

Доказательство. Пусть g(x)x¹-^2/p е Lp(R+). По лемме 2 g 1(x) : = g(x) е Lp(R+) существует как несобственный интеграл при x > 0 и при этом g 1 е L1_oc (R+). По лемм с 3 имеем g (x) = mn

= lim J g Дy)x(x,y) dy п.в. на R+- Iio n—— + CO 0

mn kg1 - J g 1( t) x(•, t) dtkLq [0 ,mk ) ^ 0 пр и n x для 0

любого к е Z. По теореме Ф. Рисса о сходящейся почти всюду подпоследовательности [19, § 13] най-mni дется {mn.}°=п такая, что J g 1(t)x(-,t) dt ^ .91 0

п. в. при i ■- ro iia [0, mk). Значит, для любого к е е Z g(x) = g1(x) п. в. на [0, mk) и, стало быть, это равенство верно п. в. на R+. Обратное утверждение вытекает из теоремы 2 из [3]. Теорема, доказана.

Замечание 2. Для косипус-преобразовапия Фурье подобный результат принадлежит Харди и Литтлвуду (см. [20, глава. 4, теорема. 82]).

Следующая теорема. 2 является аналогом теоремы А.

Теорема 2.

• 1)    Пусть f е Lp(R). 1 < p 6 2. 1 /p + 1 /q = mn

= 1. А е Lj_oc(R₊). в_п = J А(t) dt- Если mn-1

А е A_p/(_p-rp+r) для искоторого r е (0 ,q). А е

∈ L^q/(^q-r) [0, 1) и сходится интеграл

∞ j А(t)t-r/q(ш (f, 1 /t)p)r dt         (4)

или ряд

∞

E ш. (f)рвпт-r/q,          Д)

n —0

TO А(t)f(t)|r е L¹(R₊).

• 2)    Пусть 1 < p 6 2. 1 /p + 1 /q = 1. 0 < r < q.

Если убывающая к нулю последовательность {^n}O—0 такова, что ряд (5) расходится и выполнено условие Бари:

∞

XШк = O (ш.),            (G)

k—n то найдется f0 е Lp (R+)- така я. что ш. (f0) p 6

6 Cш_n. n е Z+. ио 1111теграл J А(t)f₀(t)|r dt

R+ расходится.                                □

Доказательство. 1) Ясно, что

∞ j А(t)t-r/q (ш* (f, 1 /t)p)r dt =

m

∞ ^mn

= 52 / а(t)t-r/q(ш* (f, 1 /t)p)r dt > n—1mn-1

∞

>52 enm-r/qШП(f)p.

n—1

С другой стороны, как указано во введении, A_Y С С A 1 пр и y > 1- Следовательно, учитывая, что Y₀^:= Р/(Р—pr + r) = q/(q — r) > 1¹¹А е A_Y0. имеем mn+1 mn

J А(t) dt 6 C 1 J А(t) dt. n е Z. Поэтому mn mn-1

∞ j А(t)t-r/q (ш* (f, 1 /t)p)r dt =

_Оmn+1 = X / n—0 _mn

А (t) t^-r/q

(ш* (f, 1 /t)p)^r dt

∞

6 C2

n—0

mn+1

m-r^/qш^г_п (f)p j А (t) dt 6

mn

∞

6 Cз52 m-r/qш^п (f)pen n—0

Таким образом, интеграл (4) и ряд (5) сходятся од-иовремеиио. Как отмечалось ранее, x(x, h) посто янна на [0,mn). как (])уикиия x при h = 1 /'mn+1 е е [0, 1 /mn). Кроме того, мультипликативное преобразование Фурье функции f (• в h) имеет вид f (•в h))(x) = f (x) x (x,h). Поэтому согласно аналогу неравенства. Хаусдорфа-Юнга (см. [2, гл. 6, теорема. 6.1.7]) имеем

Z |f(x)|q 11 - x(x, 1 /m. + 1)|q dx 6

6 kf(xв 1 /mn+,) - f(x)kp 6 ш.(f)p. (6⁰)

образом. J If (x)|q dx 6 C4ш.(f)p 11 mn mn+1

j If(x)|^rА(x) dx 6

mn

mn+1

j If (x)|q dx mn

r/q _mn+1

I /^{А (}x)^{q/1 q-r}) dx mn

1-r/q

mn

6 C5ш. (f)pm-1+(q-r)/q j А (x) dx = mn-1

= C 5 ш^ (f) pm^r/q вп. (7)

Здесь использовано равенство q/ (q — r) = p/(p — — rp + r) и yc.ловие A E Ap/(p-rp+r). Суммируя неравенства (7) no n > 0, заключаем, что ∞ интеграл J |f(x)|rA(x) dx сходится. Сходимость 1

J If (x) |rA(x) dx следует из неравенства Гёльдера и о условия A E La/(q-r) [о, 1).

^     -1 /а

• 2)    Пусть fо = X Шктк^7qDDmk₊i   Dmk У

• k=0

Тогда в силу леммы 1 имеем ||D_mk₊₁— Dmk ||p = = O (mk-^{1 /p}) 11 Ш; (Dmk₊₁— Dmk)p = 0 щ>11 k < n. Поэтому в силу условия (6) имеем

∞

^Шп^(f0)p 6 X X^kmk   ^Шп^(Dmk+i   ^Dmk )p 6

k=n

∞

• ⁶^^^Ш-^mk ^a^2|Dmk +1 ^{— D}mk Hp 6

k=n

∞

6 C₆£ Ш- 6 C7Щ;.

k=n

Тогда, f E L^r (R+) njhi p/ (p + a (p — s)) < r < q.

• 1    /p + 1 /q = 1. □

Следствие 4. Пусть f E Lp (R+) П Lip * (a), 1 < < p 6 2. при чем F11 (f, R+) < тс. то f E L 1(R+) при всех a > 0. □

Следствие 4 является аналогом классической теоремы Зигмунда, об абсолютной сходимости тригонометрического ряда. Фурье (см. [21, глава. 6, теорема 3.13] при в = 1)-

Утверждение 1. Теорема. В является следствием теоремы А. □

Доказательство утверждения 1 аналогично доказательству следствия 1 с использованием леммы 4'.

Теорема 3 при A(t) = 1 является аналогом теоремы М. и Ш. Изуми [9] об абсолютной сходимости рядов Фурье.

Теорема 3. Пусть 1 < p < тс, 1 6 s < 2p, 1 /p+ + 1 /q = 1. 0 2. f E L²(R+). F 1s (f, R+) < тс II A(t) E A2/(2-r) c L^2/(2-r)[0, 1). Если

∞

£ ekm-^r/2-r/p(^k (f)s +(2-s)a)^r-sr/2pV^²p(f)s < k=0

< ∞,

С другой стороны, поскольку Dmn (x)   = t x ^      -1 /a

= X[0,mn)(x)• TО fo(x) = X ^ш;т; Xm[m„,m„+ 1) И n=0

поскольку {ш;m-rq}n‘=₀ убывает.

to R |/(x) |^rA(t) dt < тс.                                □

Доказательство. Аналогично доказательству неравенства (60) имеем

∞ /

∞

If0(x)|^rA(x) dx = £.em-^r/a n=0

mn+1

j A (t) dt > mn

mk+1           p j If (t) |2 dt I mk

_∞         mn

>    ωnrmn-r/q n=1         mn-1

A(t) dt = XX ш;m^-r/aen = тс. n=1

m_k -1

Теорема, доказана.

Следствие 1 является аналогом теоремы В для P-преобразования Фурье.

Следствие 1. Пусть f E Lp(R), 1 < p 6 6 2. и Fls(f, R+) < тс. г,де 0 < s 6 p. Если A E Ap/(p-rp+r) 11 A E La/(a-r)[0, 1). где 0 < < r < q, 1 /p + 1 /q = 1, то из сходимости ∞ ряда. P (Шп(f)^)    /p km-(Vn(f)s)rs/p выте- n=0

∞ кает сходимость интеграла J |f (x) |rA(t) dt.      □

Утверждение следствия вытекает из теоремы 2 и леммы 4.

C¹m^-1X t.+fo ® mk ® m+)

f (t Ф —) |²dt). mk

Пользуясь равенством 2 = s/p + ((2 — s)q + s)/q и применяя интегральное неравенство Гёльдера. с показателями p и q. получаем

mk+1           p j I.f (t) |2 dt I mk

Следствие 2. Пусть f E Lp(R+), 1 < p 6 2, F1_p(f, R+) < тс и A такое же, как в следствии 1. ∞

Тогда из сходимости ряда X enm— вытекает ко-n=0

∞ ценность интеграла J f (x) |rA(t) dt.              □

Следствие 3. Пусть f E Lp(R+), 1 < p 6 2, и F ls (f, R+) < тс. уде 0 < s 6 p и f E Lip * (a).

^C1 m-'X/14®jmE¹) —f(-*mmk i/'t j =⁰R+

×

( j If (t * (jpk+1 + 1)/mk+1) .+

f (t * j/mk) |^{s +(2 s})^a dt

)

p-1

6 C1 т-¹ ^^p-s(f)s 1 х

mk

1 СО

×

P mk — 1 о / xxfk

0 j=0 l =0   v j v f t Ф l Ф — dt

' \       mk J

' t Ф l mk+1

-

s

¹^^p-s ( f ) s 1 Vs ( f ) s,

6 C1 m_k^-

где s 1 = s + (2 — s)p и p — 1 = (2p — s)/ (s + (2 — — s)q). Используя полученную оценку и условие А е A2/(2-r)- находим что тк +1

У А(t)|f(t)|r dt 6

mk

(mk +1         \ ^r/2 / mk+1              \ ^{1 -r/2}

j If (t) |2 dt I I j А(t)2/(2-r) dt I 6 mk                 mk r/2

6 C2 (m-¹    -s^/p(f)si ф '(f)s)   m^-r/2вк =

= C 2 m^{2 p-r/2}л^{2 p} (f) si V^{2 p} (f) sek. (8)

Складывая неравенства (8) no k > 0, получаем

∞ j А(t) If(t) |r dt 6

1 ∞ X- ^-r/2p^{-r/2 r-sr/2}p       sr²p

• ⁶C2 / , mk         ^k      ⁽f )s 1 Vk    ⁽f )s^ek <

к=0

< ГО. (80)

По неравенству Гельдера в силу условия А(t) е е L²/^(2-r[0, 1) имсюм А(t)If(t)|^r е L[0, 1). откуда, ii из (80) следует утверждение теоремы.

Теперь приведем два. утверждения, относящихся к преобразованиям Фурье сверток. Теорема. 4 является аналогом теорем 4 и 5 из [11] для тригонометрических рядов.

Теорема 4.

• а)    Пусть g, h е L^p(R₊). 1 6 p 6 4/3. 1 /p + 1 /q = 1. f = g * h. Тогда f е L^q/2(R+).

• б)    Если 1 < p 6 4/3. 1 /p + 1 /q = 1. то существуют g,h е Lp(R+). такие, что для f = g * h имеем f е L^Y(R₊) при всех r е (0, q/2).              □

Доказательство, а) При 1 6 p 6 4/3 чиело r, определяемое равенством 1 /r = 2/p — 1 (т. e. r = = p/(2—p)), принадлежит [1,2]. Согласно лемме 5 в этом случае f = g* h е L^r (R+) и можно говорить об f в обычном смысле. Известно, что для ф, ^ е е L 1(R+) справедливо равенство (ф * ф)=фф всюду на R+ (см. [2, гл. 6, теорема 6.1.4]). При этом если gn,hn е L 1(R+) П Lp(R₊) ii lim kg — gnkp = n→∞

= lim ||h — hnkp = 0, то по аналогу неравенства n→∞

Хаусдорфа-Юнга lim |g—gn|q = lim |h—hn|q = n→∞        n→∞

= 0. Поскольку g_n * h_n ^ g * h = f в Lr. to

/X                              /X аналогично lim ||hn * gn — f ||r/ = 0, 1 /r + 1 /r0 = n→∞

= 1. Находя по тес>реме Piicca [19. §13] под-/х последовательности hnk,gnk, такиe, что hnk (x) ^ A

^ h(x) и gnk ^ g(x) п. в., выделяем из нее, в свою очередь подпоследовательности hlk ,glk, та-

А кие. что hlk (x)gik (x)

A                    A что h(x)g (x) = f (x)

^ f (x) п. в. Отсюда, следует, п. в. Теперь по неравенству

Коши-Буняковского получаем

|f (x)|^q/2dx =

R+              R+

| h(x)g (x)|^q/2dx 6

• б)    Пусть gi(x) = hi(x) = x^{1 /q}(log₂x + 1) ¹ на ^[1,⁺a ) и g 1(x) = h 1(x) = 1 iia [0, 1]. Тогда. gP (x) x^p-2 = x^{- 1}(log₂x + 1)^-phi hi x > 1 и gP(x)xp^-2 = xp^-2iia (0, 1]. так что gP (x)xp^-2е e L¹(R+) и по теореме 1 найдутся g(x), h(x) е е Lp (R+). для к<эторых g = д 1. h = h 1. При r < q/2 имеем ((g * h)^A(x))^r = (g 1(x)h 1(x))^r = = x^-2r/q(log₂x + 1)^-r / L 1[1, го), так что g, h — искомые функции. Теорема, доказана.

Теорема 5.

• а)    Пусть 1 6 p 6 2. 1 < q 6 2. 1 /p + 1 /q > 3/2. a > > 0. Ес -ли g е Lip * (a,p). h е Lq (R+) 11 f = g * h.

to f е L^e (R+). pq/(apq + 2pq — p — q) < в < < pq/(2pq — p — q)■

• б)    Пусть 1 6 p 6 2. 1 < q 6 2. a > 0.3/2 6 6 1 /p + 1 /q < a + 2 — 1 /q. Тогда, существуют g е Lip * (a,p) 11 h е L^q (R+)- такие что (g * hУ е L^e0 (R+), в0 = pq/(apq + 2pq — p — q)).□

Доказательство.

• а)    Применяя лемму 5, находим что g * h е Lr, где 1 < r 6 2 ii 1 /r = 1 p + 1 /q — 1. t. e. r = = pq/ (p — pq + q), причем аналогично доказательству теоремы 4 h(x)g(x) = f (x). Также no лемме 5 получаем ||f (• + h) — f (•)||_r 6 kg(• + h) — — g(•)k_Pkhk_q 6 C 1 m-^a- ⁽-<-хи 0 < h 6 1 /mn n g е Lip * (a,p). Применяя теорему 2 при А = 1. имеем f е L^e (R+) при условии 1 — ea — в/r < < 0, которое обеспечивает сходимость ряда (5). Из неравенства в > 1 / (a + 1 /r⁰) легко получаем в > pq/(apq + 2pq — p — q), и утверждение a)

теоремы доказано.

• б)    Пусть g(x)   = P m^{-a +1 /p-} 1(Dmn (x) —

n =1

— Dm_n- 1 (x)). Тогда при 0 < h < 1 /m_k верно равенство Dmn (x Ф h) = Dmn (x) и, как следствие,

∞

^k(g)p 6 X m-^{a+1 /p-1}kDmn — Dmn-1 |p 6 n=k                   О

6 C2   m-^a = C3m-^a.

n=k

Следовательно, g Е Lip * (а,р). При этом Dmn = = X [0 ,mn )• ПОЭТОМУ

∞

^g(x) = X m-^a+1/p-^1X[mn-1 mn) • n=1

О  -1/q

Пусть h 1(x) = mnm_Tn ⁴n ^YX[mn—1 mn). 1 /q + n=1

+ 1 /q = 1 11 Yq > 1 ⁿl’n x > 1 ¹¹h₁(x) = 1 nP¹¹

x E [0, 1). Toгда h₁(x) убывает ii

Доказательство. Снова, отметим, что

А

(f (• ф 1 /mn+1) — f (•))'(x) = f (x)(x (x, 1 /mn +1) — — 1). Eели x Е [mn, 2mn). то x(x, 1 /mn +1) = = exp(2пi/pn++1) = cos(2п/рп +1) + i sin(2п/рп +1). Известно, что для f,g Е Lp(R+) верно равенство int_R+ f(x)g(x) dx = int_R+ f (x)g(x) dx (cm. [22]). Поэтому

mn+1

/ mn

A f (x)(x(x, 1 /mn +1) — 1) dx =

∞

1^щ x x^q-2d=

0        -                00

= / x^q-2dx + 'Xmn-q

0             n =¹

= У (f (x ф 1 /mn+1) — f (x)) X

R+

6 C з

mn

-q     xq-2 dx 6

mn-1

^X (Dmn +1 (x) — Dmn (x)) dx

и

2 sin2

∞

1 + X n=1

n-

^qY ) = C4 < ^^

mn+1

---- f (x) dx 6

рп+1

mn

По теореме 1 существует h E Lq(R+), такая, что

А h = h 1. Наконец.

∞ j |g(x) Iе0Ih(x) Ie dx =

∞

=X

n=1

m^(-a+1/p^0-1-q-^1)e о n^-^^e о

mn

/

1 dx >

∞

mn-1

>

m-^(a+1/ r ^-1)e 0 + ¹_n^-Y^e о

= XX n-Ye о • (9)

n=1

mn+1

j f (x)(X(x, 1 /mn+1) — 1) dx mn

⁶k^f(• ^{ф 1 /m}n +1) ^{— f(}•) kpkDmn+1 ^— Dmn kq,

где 1 /р + 1 /q = 1. В результате находим, что mnf(mn +1) 6 Cmn^{1 /q}Шп(f)p, откуда в силу моно-TOiiiiocTii f (x) 11 ограничепиости {p_i}°=₁ получаем неравенство теоремы.

Следствие 6. Пусть f удовлетворяет условиям теоремы 6 и ш* (f, 5) 6 ш (5), г де ш (5) удовлетворяет Д₂-условито ш(25) 6 C₁ш(5). 5 > 0. Тогда. f(x) 6 C₂x^{1 /p-1}ш(1 /x). □

Доказательство использует результат теоремы 6 п оценку

Правая часть (9) равна, бесконечности, если Ye0 6 1- Неравенство 1 /в0 > 1 /q равносильно неравенству а + 2 — 1 /q — 1 /р > 1 / q. Таким образом, при выполнении условий пункта, б) найдется Y Е (1 / q, 1 /в₀) п т<:>гда h Е Lq(R+)- но левая часть (9) равна, бесконечности. Теорема, доказана.

Следствие 5.

а.) Пусть 1 6 р 6 2. 1 < q 6 2. i1 а > 1 /р + 1 /q — 1. Если g Е Lip * (а,р). h Е Lq (R+)- то для f = g * h имеем f Е L¹(R+).

• б)    Пусть 1 6 р 6 2. 1 < q 6 2. 0 < а = 1 /р +1 /q — 1. Тогда существуют g Е Lip * (а,р) И h Е Lq(R₊). такие, что (g * h)^АЕ L¹(R+)-                   □

Замечание 3. Утверждение пункта, а) теоремы 5 п следствие 5 являются аналогами теоремы 6, следствия 5 н теоремы 7 из [12] для мультипликативных систем. Дальнейшие результаты в этом направленпп см. в [13].

В заключение получим оценку убывания f (x) для f (x) с монотонным преобразованием Фурье.

Теорема 6. Пусть f Е Lp(R+), 1 < р 6 2, такова. что f (x) > 0 11 f (x) ^ и а (0, го). Тогда, при x Е [m_n,m_n+₁). n > 1 имеем

f(x) 6 CmDp^-1^n-1(f)p, n Е N• □ (10)

ш* (f, 1 /mn) 6 ш(1 /mn) = ш(pn/mn +1) 6

, Р^[log2pn +1] ^{+ 1}

⁶C 1          ^{ш (1}/ ^mn +1) •

Теорема. 6 п следствие 6 являются аналогами теоремы D.