Обобщенное пространственно-матричное выражение энергии сигнала на выходе нелинейного модулятора

Известна проблема введения энергетического ограничения на входы канала связи или выходы модулятора. Для операции демодуляции характерно стремление приблизить векторы на его выходе к исходным передаваемым векторам, что выливается в локализацию выходных сигналов вблизи области определения передаваемых сигналов. При этом степень локализации, определяющая точность воспроизведения информации, напрямую связана с соотношением между неопределенностью, вносимой каналом связи, и неопределенностью, обусловленной стохастич-ной природой самой информации. Поскольку оператор модуляции позволяет формировать сигналы на его выходе в общем случае произвольным образом, то естественно, что оптимальное решение будет соответствовать произвольно большому разнесению между различными передаваемыми сигналами. Данное обстоятельство приводит к необходимости использования бесконечно большой мощности (энергии) для фор- мирования сигналов на выходе модулятора, что приводит к невозможности реализации подобных преобразований на практике. В результате следует рассматривать дополнительное ограничение на мощность (энергию) передаваемых сигналов по каналу связи.

Функциональная форма выражения энергии сигнала на выходе нелинейного модулятора

Энергию сигнала на выходе модулятора возможно представить в виде разности

^ = J J ^х" co_x^x;;t,r^dxdtdr - t Г X

x;t,r^dxdtdv,

где – одномерная плотность распределения вероятностей значений сигнала на выходе модулятора x ( t , r ), задающая вероятностную меру в некоторой точке пространства r в определенный момент времени t ; – среднее значение сигнала на выходе модулятора определяется как первый начальный момент определенного сечения данного случайного поля x ( t , r ):

В соответствии с условием нормировки плотностей вероятности вычитаемое в (1) преобразуется в интеграл лишь по переменным времени и пространственным координатам. Детерминированность разложения в обобщенный ряд Фурье выходного сигнала модулятора позволяет представить условную плотность его сечений по времени и пространственным координатам относительно сечений по множеству координатных функций #>г)=кОД ^iM -Г, где Т означает операцию транспонирования как дельтафункцию, а на основании формулы полной вероятности плотность распределения пространственно-временных сечений принимает форму coY(x;/,r)= J§[x - хг\|/(?,г)]озл.(х)бй. (3)

Для устранения неоднозначности обозначение плотности распределения выходного сигнала в виде пространственно-временных сечений co^x^r) дополнительно используют в качестве аргументов соответствующие координаты t и r, а в форме коэффициентов разложения ^Юг(^Х) – только случайные переменные x . В дальнейшем, если не возникает противоречий, указание на тип сечений не производится, в формулах же отсутствие аргументов с пространственными и временными координатами однозначно идентифицирует сечения как коэффициенты разложения. Математическое ожидание выходного сигнала модулятора имеет вид скалярного произведения бесконечномерных векторов:

•ХГ6^-\|/(/,г)

Использование (3)-(4) и фильтрующего свойства дельта-функции в (1) преобразует энергию выходного сигнала модулятора в форму:

Линейность операции интегрирования дает возможность представления формулы энергии в виде разности квадратичных форм:

>x«>x(x)dx -

Поскольку полная система координатных функций vM произвольна, то без потери общности она может быть выбрана ортонормиро-ванной:

j* J\|/(/, r)^'//, r )<://c/r = E ,

где E – единичная матрица. В результате энергия выходного сигнала демодулятора определяется в виде разности сумм вторых начальных моментов коэффициентов разложения сигнала и квадратов первых, то есть сумм дисперсий коэффициентов разложения сигнала в системе координатных функций Ч'(М'):

E_x = tr(M_TJ-M^M_Tj,

где tr(A) – след двумерной матрицы A, являющийся, по сути, суммой ее диагональных элементов [1]; M^' {^«,,--4, – i-мерная матрица порядка ∞ начальных моментов i-го порядка сигнала на выходе модулятора x, элементы которой определяются как математические ожидания соответствующих произведений [2]:

Матрицу начальных моментов можно представить в виде

где x' = XX ...X X – i-кратное прямое (декартово) произведение векторов x [3-4], задающее пространственную матрицу со всевозможными комбинациями элементов, входящих в данные векторы, то есть для произвольных пространственных матриц А=и„...л} и B={^^J их прямое произведение формирует матрицу A x В — ^^^jB^ +1 |$ размерность которой равна сумме размерностей исходных матриц A и B.

В дальнейшем для устранения неоднозначности в описании прямого произведения и произведения двумерных матриц для двумерных матриц символ «×» используется только при переносе формулы с одной строки на другую, о чем обязательно упоминается по тексту. Тип операции возведения в степень оговаривается непосредственно до или после первого применения этой операции в выражении и последующих его мо- дификаций. Для векторов и многомерных матриц (размерности большей двух) возведение в степень всегда соответствует кратному прямому произведению.

^^ Л", 1     ^^J ^^^ / ^ ^ 5 • • • 9 ^" }^ ^^Х (^ ^Z^X .        (15)

-=1 X

Матричная форма выражения энергии сигнала на выходе нелинейного модулятора

Нелинейность оператора модуляции позволяет представить (15) в форме сумм произведения пространственных матриц:

Коэффициенты разложения базисных фун-

кций модуляции целесообразно представить в

виде ( i + 1)-мерной матрицы переменного порядка Ф‘ ^— {^....^jL,,..^!^,;^,^ у которой только элементы с неубывающими индексами, за исклю-

где

чением последнего, могут быть отличны от нуля, то есть Фк_хк,,] ⁼⁰| ^3ki ^<кГ’ ^{lk U=\j.} Соответственно, размер (порядок) матрицы Ф, есть

a{/„...,z,,|/6,.../6,}b =

Ф, есть

N х ...х N хш

'----v-----    . Тогда бесконечномерная

плотность распределения вероятности сигнала на

–

выходе модулятора имеет вид

z}x

где введено упрощенное описание произведения пространственной матрицы ф, на вектор x:

N N N

Ф,{1,-,/}х = ^^„.

^=1 к^-к^ k-^kj.

Одномерная же плотность вероятности сигнала на выходе модулятора задается в форме

(x)z7x, (13)

произведение n_a-мерной матрицы АПЛ.....^) на n_b-мерную !$-{/>•,.....к„_ь} одинакового порядка по индексам =1,« у первой матрицы A и kv-Jb' - кп_ь у второй B, результатом данной операции является матрица с размерностью, равной сумме размерностей исходных матриц за вычетом числа индексов, по которым осуществляется произведение для одной из матриц;

где Ф/д = ) ФА.к. ,к /    , , . , к = L со – сечение

А              )kl,...,kj=l,N ориентации k (i + 1)-мерной матрицы Ф„ по сути являющееся совокупностью элементов матрицы Ф, при фиксированном значении последнего индекса k, то есть i-мерной матрицей.

Математическое ожидание сигнала на выходе модулятора определяется как

Соответственно, саму матрицу начальных моментов возможно представить в виде, аналогичном (10):

Мл,,

(х)б/хг/х. (14)

мх,- = |х'юх(х)б/х.

Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, внешний интеграл сокращается, а линейность суммирования и интегрирования приводит к следующему виду математического ожидания сигнала на выходе модулятора:

Для произвольных пространственных матриц A, B и С возможно показать выполнимость аналога ассоциативного свойства:

(a^J^^b)^]^ }с =

[(а{а₃ |а₄ Jefe - 1|а-₂ }в J^{dim A}-'--^{d,m A+d,m c}"³⁾ k₃< dim A, k₃< k_x,

[(a^ + fe₄ Jefe |^₂}b J^{dim A}-¹-"^{dim A+dim c}"³⁾

£₃k₃>k_x,

A^fe — 1X®{^з “dim A + fe4Jc), k3 > dim A, k3 - dim A +1 < k2,

AX \k2 jfefe - dim A + 2|A4 Jc), k3 > dim A, k3 - dim A +1 > k2, где dim A – размерность произвольной матрицы A; A^'1-■*„ – оператор транспонирования пространственной матрицы аЧА^^л! соответственно перестановке индексов к, ,...,k на последние позиции, то есть

n< dim A.

Следует отметить, что если C является вектором (dim C = 1), то в (20) для k₃< dim A операция транспонирования не выполняется, так как единственное измерение C сокращается при выполнении пространственного произведения. Кроме того, справедливо и дистрибутивное свойство

A{ k_x \k₂ }(B + С) = Х^к_х \k₂}b + a{ ^ |^₂ Jc. (22)

Для двумерных матриц A и B справедливы следующие тождества:

A {2 1 }b = AB, (23) A {1 1 }B = A B, (24) A{l,21,2}B = tr(AB), (25) для одномерного случая векторов a и b:

a{l|l}b = a{l}b = arb ,        (26)

а для одномерного вектора a и двумерной матрицы A:

Операция же транспонирования, примененная к некоторому вектор-столбцу a = U_t}, по сути, преобразует его в матрицу ^a={a,J с одной строкой, число столбцов которой соответствует числу элементов вектора a:

Отсюда следует, что пространственное произведение оказывается частным случаем (17) при условии одномерности матрицы, на которую производится умножение. Таким образом, вектор математических ожиданий сигнала на выходе модулятора M_x,1 полностью определяется структурой модулятора Ф„ i = l,N_a и матрицами начальных моментов сигнала на его входе M_x,i от первого до порядка, соответствующего степени нелинейности модулятора N_a.

Сумма начальных моментов второго порядка сигнала на выходе модулятора trMx,2 вычисляется как

Применение фильтрующего свойства дельтафункции позволяет сократить внешний интеграл, а линейность операций интегрирования и суммирования преобразует (32) к виду

N„ N„ trM.v.2=££(o>l|7 + l}J

/=1 ./=1

{1„..,z + 7|1„..,7 + 7}mx_/+/.

Аналогичным образом получается вычитаемое в формуле энергии выходного сигнала модулятора (8) на основе (16):

м1дМ_хД=^£(ф^.^1,^М_х,_г) ,=1 y=l

A {2|l}a = Afea = Aa,

A{l|l}a = A{l}a = Ara.

Аналог ассоциативного свойства и скаляр-ность (8) приводит к следующему результату:

Для операции транспонирования двумерной матрицы A выполняются следующие равенства:

A« = А<2Д) = Ar ,(29)

a(2) = a(l2) = a.(30)

М^МхЛ=££(фД/^7 + 1}Ф7).

M(35)

{1„.„z + 7|1„..,z + 7)(mXj,.MxJ.

Подстановка (33) и (35) в (8) и использование свойства дистрибутивности трансформирует вы- ражение для энергии выходного сигнала модулятора к виду:

£х-££(ф;?+1к1}ф/)

z=i ;=i

{l,...,z + v|l,...,z + 7Хмх_/+/ -MXJMX J

Заключение

В работе получено общее выражение для энергии сигнала на выходе модулятора в виде пространственно-матричного произведения. Доказано, что энергия сигнала на выходе модулятора однозначно определяется структурой модулятора Ф„ i = VNa и матрицами начальных моментов сигнала на его входе Mx,i от первого до порядка, соответствующего удвоенной степени нелинейности модулятора Na.