Обобщенный метод скаляризации динамических упругих полей в трансверсально-изотропных средах и его новые применения

Введение. При исследовании тензорных упругих полей перемещений, напряжений и деформаций в слоистых конструкциях из различных материалов, включая трансверсально-изотропные композиты [1–3], успешно применяется эффективный метод скаляризации тензорных полей, предложенный в [4], когда отмеченные поля могут быть выражены через скалярные потенциалы, соответствующие квазипро-дольным, квазипоперечным и чисто поперечным волнам соответственно.

Такая скаляризация возможна, если рассматриваемые объекты являются тензорами относительно подгруппы общих преобразований координат, когда локальный аффинный базис имеет один инвариантный вектор, который совпадает с осью материальной симметрии материала. В [5] рассматриваются конструкции, где этот вектор совпадает с нормалью к границе между слоями. Однако для практики представляют интерес и другие случаи взаимного расположения оси материальной симметрии материала и границы между слоями.

Цель исследования. Целью работы является дальнейшее развитие применения метода скаляриза-ции в граничных задачах динамической теории упругости на случаи произвольного расположения оси материальной симметрии по отношению к границе между слоями.

Постановка задачи. Первоначально в системе координат с допустимым репером находятся компоненты тензоров перемещений и напряжений относительно этого репера. Затем, зная все компоненты тензорных полей в данной системе координат, можно путем перехода к системе координат, связанной с границей между слоями найти нормальные и касательные компоненты перемещений и напряжений, соответствующие площадке, лежащей на границе. Эти компоненты далее используются для удовлетворения граничным условиям задачи [5].

Более подробно изложим вышесказанное на примере решения задач для плоскослоистых конструкций.

Рассмотрим случай, когда главная ось симметрии трансверсально-изотропного материала составляет угол α по отношению к нормали поверхности плоской границы между слоями (рис. 1). При этом считаем, что поле не зависит от координаты y .

Рис. 1. Расчетная схема

Механика

В соответствии с [4]:

( L )              ( L ) Л

U i = 1 D 1 V i +5 J D ₂ V J |ф +

Г

( T ) 1                ( T )

D VV J + g 5 J

. g

)

w + Vg (5 K V N

-5 N V ^K ) v ;

( L )          ( L )              ( L )                     ( L )

_CT jj = ( d 1 g j + d ₂ 5 J 5 ^J + d ₃ 5 J V j ₎ V J + d ₄ V i V j ) ф +

( T )               ( T )                   ( T )                ( T )

+ ( d 1 g j V J + d ₂ 5 J 5 ^J V J + d ₃ 5 ^J V j ₎ + d ₄ V i V J V j ) w +

+ 2,/ g [ a 2 ( V₀.3 K , V N -V ₍ , 5 N , V K ) + a ₄( 3 J .3 K , V N -5 J 5 NN , V K ) V j ] v .

Компоненты тензорных полей перемещений U i и напряжений G j в системе координат, связанной с анизотропией материала x ^J , x K , могут быть записаны следующим образом:

( T )

( L ) ( L )    ( L )              ( T ) Р²     ( T )

U j = i ^ ( D 1 + D 2 ) ф + ( - D 1 ^ + g ) w ;

g

( T )( T )

( L ) ( L )        ( T )

U k = i в D 1 ф- D i^ T e w ;

g                                                   (2)

(L) (L)     (L) (L) (L)          ( T) (T) ( T) ( T) ( T) ( T। gJJ = [d1 + d2-(d3 + d4)O + i ^ (d1 + d2+d3-d4 ^2)w;

	1 ( L )( L )( L ) ( L )( L )( L )         ( T ) 1( T ) ( T )( T )
G JK	= - <2 d 3 ^ в + d 4 ^ в ) ф + i в (^ d 3 - d 4 ^) w ; ( L ) ( L ) ( L )          ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) G KK = ( d 1 + d 4 в 2 ) ф + г ^ ( d 1 - d 4 в 2 ) w .
Здесь потенциалы квазипро	дольных ф и квазипоперечных w волн должны удовлетворять волновому ( L )             ( T )
уравнению с соответствующ	им волновым числом g ( g или g ) и имеют вид: ( L ) j ( L ) K ф = ф0 e1'^x евx ; ( T ) j ( T ) K                                                                                        ( 3) w = w 0 e‘4 x е вx ,
где 2 2 +в 2 = g 2 ;	( A + g 2) ф= 0.                                                   (4) w
Входящие в (2) коэф	фициенты D и d , определены в [5] и имеют вид: ( L ) ( L )  _______________ g 2( C 13 + C 44 ) _______________ . 1                   ( L )               ( L )    ( L )                                     ; m 2 p- h 2 C 44 - ( g 2 - h 2 )( С и - C 13 - C 44 ) ( L )                 ( L )                            ( L )    ( L )                      ( L )
( L D	_ g_   ™ 2 P- h 2(2 C 44 + C 13 ) - ( g 2 - h 2) C 11    _ g2   (L. 1 . ( L )             ( L )             ( L )    ( L )                                     ( L )    ( L ) D 1 ; h 2 m - P h 2 C 44 - ( g 2 - h 2 )( С и - C 13 - C 44 )    g 2 - h 2 ( T ) ( T ) g _(H3_+V442 D 1 =          ( T )                     ( T )   ( T )       ;                                                   (5) m ; p   h 2 (2 C 44 + C n) - ( g 2 - h 2 ) Cn
( L )        ( L) d 1 =- g	( L '        ( L )     ( L )                   ( L )          ( L)           ( L I           ( L )          ( L )          ( L ) a 1 - h a 3 ( D 1 + D 2);       d 2 = - g a 3 - h (2 a 4 D 2 + a 5 D 2 + a 5 D 1 ); ( L )             ( L )               ( L )    ( L )                 ( L )            ( L ) d 3 = 2 a 2 D 2 + 2 a 4(2 D 1 + D 2);       d 4 = 2 a 2 D 1 ; (      ( T ) ( T )         ( T )       ( T )             ( T ) h 2 ( T ) d 1 = a 1 g (1 - D1) + a 3 g - ^ T ) D 1   ; .       g     V

( T )         ( T )       ( T )             ( T )

d ₂ = a ₃ g (1 - Dj + 2 a ₄ g + a ₅

f      ( T )

( T )    h ² ( T )

g - т ^D1 ^;

g

f(

(T)            (T)             (T)      (T) h2      (T)(

d3 = 2 a 2 g + 2 a 4 g - 2 D - ; d4 = 2 a 2

.        g J a1 = C11 - 2 a 2;

a 2 = ^ ( C „ - C ,2 ) ;

a 3

^- ^ ^{( C} 11 ^{+ C} 12 ^{) + C} 13 ^{+ C} 44 ^- a 4 ^;

a ₄ =

( C 11 - C i ₂ ) + C 44 ; a ₅ = C 11 + C 33 - 2( C _B + 2 C 44 ),

где C ij — модули упругости материала, записанные по свернутому индексу [6-7].

В формулах (5) и (6) для этих коэффициентов:

cos 9                     sin 9                 _    gz h                gz ;          в                gz ;          g / 1 m .

cos( a + 9 )               cos( a + 9 )               cos( a + 9 )

В граничные условия динамических задач теории упругости входят компоненты перемещений U_z , U_x и напряжений 5 _zz , 5 _zx , записанные в системе координат z , x , связанной с границей (рис. 1).

Системы координат z , x и xJ , xK связаны между собой соотношениями [8]: z = -xK sin a + xJ cos a; x = xK cos a + xJ sin a или:

x K = x cos a- z sin a ; x ^J = x sin a + z cos a .

Используя соотношения (8) и (9), по формулам [5]: U -d x m u    -d x m d x p

‘ = Sx i Um ; 5 i = 3x1 3x j 5 mp’

где коэффициенты с чертой относятся к системе координат z , x (назовем их «новыми» координатами), а без черты к системе координат x ^J , x K («старые» координаты).

Запишем компоненты полей перемещений U_z , U_x и напряжений условия через компоненты (2):

5 zz , 5 zx , входящих в граничные

U_z = cos a U J - sin a U K ;

U_x = sin a U J + cos a U K ;

⁵ zz = ^cos 2 ^a5 JJ

—

sin2a5„, + sin ² a5,,„ ; JK          KK

-     1

⁵ zx = 2sm2 a.⁽⁵ JJ

—

5 kk ) ^{+ (1 - 2sin 2 a} ) 5 jk .

В «новых» координатах потенциальные функции (3) имеют вид:

( L )

( L )

ф __ ф e i К, ( x sin a+ z cos a) e i в ( x cos a- z sin a) ,

( T )

( T )

i К (x sin a+z cos a) i в (x cos a-z sin a) w woe              e              , а перемещения (11) запишутся следующим образом:

( T )

( T)

_                 ( L ) ( L )    ( L ) _        ( T ) К ²    ( T )                    ( L ) ( L ) _

U z = cos a [ i К ( D 1 + D 2 ) ф + ( - D y T ) + g ) w ] - sin a [ i К D 1 ф + ( - D 1 ^ + g ) w ]

( T ) р гл

²     ( T )

g

( T )

g

( T )( T )

_               ( L )   ( L ) _       ( T ) К ²   ( T )                 ( L ) ( L ) _   ( L ) КП

U x = sin a [ i ( D ₁ + D ₂) ф + ( - D ₁ ^ T y + g ) w ] + cos a [ i в D ₁ ф- D ₁ —( T j— w ]

g

g

Здесь волновые числа К , в , g определены относительно «старого» репера (рис. 2).

Механика

Рис. 2. Схема «взаимосвязи» волновых чисел

Волновые числа £ , в , которые являются проекциями вектора g на «старый» репер x J , x K и волновые числа g x , g z которые являются проекциями вектора g на «новый репер» z , x связаны между собой следующими соотношениями:

_ cos 9 sin( a + 9 ) g x

cos 9

gz; e = cos(a + 9)

sin 9

sin 9

sin( a + 9 ) g x  cos( a + 9 ) ^

¹ z ^;

g =

gx

gz

sin( a + 9 )  cos( a + 9 )

.

Подставляя (15) в (14), получим выражения для перемещений в «новых» координатах:

• ■(L ’ cos 9 cos a (L’      (T’         T’

Uz = igz(D1+          D2)ф+gz(-cos 9 D1+ cos(a + 9)                     cos(a + 9)

_T-_T .^{( L} ’cos 9 sin a ,^vb ’ ( L ’.    sin 9 cos a ( L ’     ^{( T} ’ sin( a + 9 )cos 9 ( T ’      sin a ,_

Ux = ig, [---------(D + D2) +---------D ]Ф + g, [------------D + cos(a + 9)           cos(a + 9)             cos(a + 9)       cos(a + 9)

где, в соответствии с (13) и (15):

_            ( L )_ ( L )_                  ( T )_ ( T )_

φ ig x                  ig x

= ф ₀ e ^g x e^g z ; w = w ₀ e g x e g z

.

Аналогично, используя (2), (14) и (15), из (12) получим соотношения для компонент напряжений, входящих в граничные условия задач:

-      .    2 r( L ’.(L’ . L ’.(L \    cos2 9    (L, Д< L) (L’cos 9 sin 9  (L2. .2   / L’ (L’    sin2 9

CTzz = {cos a[ d + d 2 - (d3 + d4)---Г---— gz] + sin2a(- d 3 + d4)           gz + sin a( d, - d4-------— gz)} ф + cos (a+ 9)            2       cos (a+ 9)                 cos (a+ 9)

,    2 cos 9   ,(T ’/T ’  T T T   cos2 9   (T’              sin 9    ,(T ’1 T  T ’   cos2 9

+{cos a           ig,(d. + d, + d,-d             g,)-sin2a          ig,( d,-dg

• ¹       cos( a + 9 )       ^{1   2   3   4} cos ² ( a + 9 )cos( a + 9) ^{S z V}2 ^{3   4} cos ² ( a + 9 )

, ■ . cos9    .TT’Д’ T cos2 9

• + sin2a---------- ig, ( d. - d.-----------g ,)} w ;

cos( a + 9 )       ^{1   4} cos ² ( a + 9 )

-      . 1 ■ .  / L ’   / L’.(L \    cos2 9    (L2.( L ’    sin2 9     (L2,            . 2 2Z1( L’.(L ’cos 9 sin 9 (L’,

CT zx = bsin2a[ d2 - (d3 + d4)            gz + d4            gz] - (1-2sin a)(;: d3 + d4

2                    cos ( a+ 9 )       cos ( a+ 9 )                   2 cos ( a+ 9 )

. r 1            cos 9 v( T ’/ T ’  (T ’cos2 9-sin2 9 (T2.       „ . 2 x sin 9    v1( T ’  (T ’    cos2 9

+ {■ sin2a---------- i ( d., + d, - d                g ,) + (1 - 2sin a )---------- i ( d, - d.-----------g ,)} w ;

2       cos( a + 9 )    ^{2   3   4} cos ² ( a + 9 )    ^z                 cos( a + 9 ) 2 ^{3   4} cos ² ( a + 9 ) ^z

Таким образом, компоненты перемещений и напряжений, входящие в граничные условия (система координат z , x связана с границей), определяются соотношениями (16)-(18), где проекции волнового вектора g в системах координат z , X и x J , x K связаны соотношениями (15).

Используемые в [5] матрицы C , характеризующие волновые свойства слоев [9-10], и которые являются основными элементами при построении конкретных решений граничных задач в слоистых конструкциях в данном случае, когда оси z , x образуют с компонентами репера e ^J , e ^K угол a , имеют вид:

где

(

C —

,   _ I ^c 11

■(1)

V ^c 21

( c ^c 31

(3) =

V c 41

C — Г⁽¹⁾

V c (3)

Г. „ I               ( —г..

c 12                    c 11

I   C (2) = c22 J           V c21

c 32                  c 31

I   C (4) = c 42 J           V c41

c 12

^- c 22

^- c 32 c 42

gx = g

( L ) ( L ) ^C11 = ig z ^{( D}1 ⁺

( T )

C 1

c (2) I

I ,

C

c (4) J

e ig z z

( T )     ( L )

r x ;

( T )

e ig z

cos 9 cos a ( L ) cos( a + 9 ) ² ;

( T )

^C 12 = g z ⁽ - ^{C0S 9 D}1 ⁺

z

z

e '

( L )

gz z

( T ) e - ^ig z ^z

ig x e ‘ ;

cos a )_; cos( a + 9 )

^{( L} ) cos 9 sin a ^L ⁾  ( L\ sin 9 cos a

C2i = igz [---------(D + D2) +--------- cos(a + 9)           cos(a + 9)

^{( T} ) sin( a + 9 )cos 9 ⁽Д )      sin a

—--/ / -I--

( L )

D J;

1 ⁺                 ] ^;

cos( a + 9 )       cos( a + 9 )

( L ) ( L ) ( L ) ( L ) C ₃₁ = cos ² a [ d ₁ + d ₂ - ( d ₃ + d ₄)

cos ² 9

( L )

cos ² ( a + 9 )

₂                    1 ( ^L )    ( ^L )

g_z ] + sin2 a (— d ₃ + d ₄)

cos 9 sin 9 ^{( L} 2     . ₂ /L ^{) (}/

----, m g z ^{+ +} sin ^{a (} d 1 - d 4 cos ( a+ 9 )

( L )

( L )

sin ² 9     ^{( L} 2 )

cos ² ( a + 9 ) g z

C ₃₂ = cos ² a

cos 9   ,(T ’(T ’  T T T   cos2 9   (T)              sin 9    ,(T MT  (T)   cos2 9

ig, (a, + d + d - d            g,) - sin 2a          ig, ( d - dg cos(a + 9)      1   2   3   4 cos2(a + 9)cos(a + 9) SzV2 3   4 cos2(a + 9)

. 2 cos 9    ,(T>

+ sin a----------ig,(d1 -d4---- cos(a + 9)          4 cos2 (a + 9)

1 • . / L)   z( L(L’     cos2 9    (L2.( L)    sin2 9     (L2,            . 2 .z1( L(Lcos 9 sin 9

C41 =

-^sin2a[d2^-(d3 + ^d4)            gz + ^d4            gz^]-^{(1 -2sin a)(}-^d3 + ^d4

2                    cos (a+ 9)       cos (a+ 9)                   2 cos (a+ 9)

1           cos 9     (T)  (T)  (T) cos2 9- sin2 9 (Tsin 9      1 (T)  (T)   cos2 9

C — sin2a----------1(d2 + d3-d                g,) +(1 -2sin a)----------1( d3-d.-----------g,).(21)

• ⁴²   2 cos(a + 9) ^{V 2   3   4}cos²(a + 9)                     cos(a + 9) 2 ^{3   4}cos²(a + 9)¹ ’

В случае, когда a — 0 элементы (21) матрицы C совпадают с соответствующими элементами этой матрицы для случая совпадения нормали к границе и направления оси симметрии материала, кото- п рые представлены формулами (3.82) в [5]. Если a — — , то получается случай, когда ось симметрии материала касательна к поверхности границы и формулы (21) совпадают с выражениями (3.89)-(3.91) в [5].

Зная выражения для матриц C, можно построить решения различных задач, используя научнометодический аппарат, описанный в [5].

Выводы. Предлагаемый научно-методический аппарат успешно использован при определении напряженно-деформированного состояния в слоистых конструкциях, выполненных из трансверсальноизотропных материалов, и при анализе результатов диагностики состояния плоскослоистых и слоистых цилиндрических конструкций, находящихся в эксплуатации.

Механика

• 1.    Тарнопольский, Ю. М.   Пространственно-армированные   композиционные материалы /

  Ю. М. Тарнопольский, И. Г. Жигун, В. А. Поляков. — Москва : Машиностроение. — 1987. — 224 с.

• 2.    Справочник по композиционным материалам. Кн.1 / Под ред. Б. Э. Геллера. — Москва : Машиностроение. — 1988. — 448 с.

• 3.    Васильев, В. В. Композиционные материалы. Справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др. — Москва : Машиностроение. — 1990. — 512 с.

• 4.    Сизов, В. П. О скаляризации динамических упругих полей в трансверсально-изотропных средах / В. П. Сизов // Известия РАН. Механика твердого тела. — 1988. — № 5. — С. 55–58.

• 5.    Сизов, В. П. Возбуждение упругих волн в слоистых анизотропных конструкциях. Монография / В. П. Сизов, И. П. Мирошниченко. — Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing. — 2012. — 270 с.

• 6.    Сиротин, Ю. И. Основы кристаллофизики / Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. — Москва : Наука. — 1979. — 640 с.

• 7.    Федоров, Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах / Ф. И. Федоров. — Москва : Наука. — 1965. — 386 с.

• 8.    Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — Москва : Наука. — 1968. — 720 с.

• 9.    Бреховских, Л. М. Волны в слоистых средах / Л. М. Бреховских. — Москва : АН СССР. — 1957. — 502 с.

• 10.    Виноградова, М. Б. Теория волн / М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. — Москва : Наука. — 1979. — 384 с.