Обобщенный пространственно-временной импульсный отклик и модово-частотная передаточная матрица волоконного световода

Понятие импульсного отклика световода и его Фурье-образа - передаточной характеристики - сформировалось к настоящему времени в рамках прямого переноса теории линейных цепей на процесс преобразования электромагнитных полей в световодах [1, 2]. В настоящей работе излагаются результаты разработки модели световода как линейного детерминированного модово-частотного фильтра, позволяющие ввести понятие обобщенного пространственно-временного импульсного отклика све-

-122- товода. Показана целесообразность и эффективность применения понятия обобщенного отклика для аналитического описания процессов передачи одно- и двумерных сиг налов световодами.

Для описания распределения комплексной амплитуды электромагнитных волн на входном торце световода f(xz у, t) используем разложение спектральных составляющих F(xz у, ш) в ряд Карунена-Лоэва по базису собственных мод (фт n(xz у, со)} с учетом ортогональности этого базиса:

f»(xz Xz t) = / ЕАп(о>)фп(х, у, ш) е iwtdw.                                 (1)

• - 00 _П

При этом для упрощения выкладок предполагаем упорядоченность базиса мод (сведение к индексации по одному параметру) и опускаем зависимость мод от продольной координаты z. Амплитудные коэффициенты возбуждения мод определяются соотношением

A_n)dxdy. - 00

Отметим, что реально вводимый в световод сигнал, переносимый далее собственными модами fA(xz у, t), отличается от исходного f(xz у, t) ввиду ограниченности используемой части полного базиса, соответствующей направляемым модам.

Таким образом, любой входной сигнал в виде распределения комплексной амплитуды f(xz yz t) в предположении неизменности базиса мод {фп} может быть однозначно охарактеризован вектор-функцией коэффициентов возбуждения мод А(со> . Если световод имеет лишь локальные неоднородности либо протяженные продольные неоднородности, сводимые к локальным, не изменяющим состав мод [3] , то сигнал на выходе световода g(xz yz t) может быть представлен в виде разложения, аналогичного (1), то есть соотнесен с вектор-функцией ^(w) в том же базисе собственных мод. В этом случае, если материал световода может считаться линейным и изотропным при используемых уровнях мощности, вектор-функции А (со) и В(со) оказываются связанными линейной матрицей

В(со) = н\со)А(ц)) или                                                                                    (3)

Вт(ш) = Е Н ™ (to) А п Сш) . п

Коэффициенты этой матрицы К™ для произвольного числа локальных неоднородно-k к                                               к стей Nz расположенных в плоскостях (х z у ), расположенных на удалении z друг от друга, определяются как

П) “п

m "МФ*

ЕТ • е j

[ap-iPp]z2

[an-i^n]z1

где an(co) и 3n(

Тр(со) - интегралы перекрытия мод в каждой конкретной плоскости неоднородности, то есть коэффициенты возбуждения моды q в следующем отрезке световода модой р предыдущего отрезка.

Соответственно, матрица коэффициентов Нр(о) является передаточной модовочастотной характеристикой световода, однозначно определяющей преобразование произвольного распределения амплитуд поля при его передаче световодом. Определение самих коэффициентов передаточной матрицы Нп(со) может быть соотнесено с понятием обобщенной 6-функции, равномерно возбуждающей все собственные моды базиса (фп(хл у, со)} на всех временных частотах. В этом определении возможно введение понятия "обобщенный пространственно-временной отклик световода", понимаемого как реакция световода на возбуждение обобщенной 6-функцией (единичной век-тор-функцией АСсо)):

h(x, у, t) = / Е н”(со)фт(х, у, со)е 1

• - » m_zn

Определим с использованием обобщенного импульсного отклика распределение интенсивности поля на выходе световода, возбуждаемого источником излучения, создающим во входной плоскости световода поле i(xz у, t) без модуляции источника и с его пространственной и временной модуляцией.

Распределение комплексной амплитуды поля на выходе световода, возбуждаемого источником i(к, yz t)z в соответствии с соотношениями (1)-(5) представим в виде

g(xz yz t) =  / S НпСыИнС^фтСх, yz w) e”10^,

• - ® m_zn где                                                                                   (6)

I_nCoj) = И Kx_z у, ш)ф_й(Хх y_z co)dxdy_z — CD

J(xz yz u) = /i(xz yz tie^^dt. — 00 Измеряемая пространственным фотоприемником (например, регистрируемая фотоэмульсией) интенсивность gj(xz yz t) определится как g^x, Xz t) = z                                 (7)

где знаком О обозначено усреднение во времени (считаем фотоприемник линейным, пространственно инвариантным и имеющим оптическую передаточную функцию, равную единице в интересующем диапазоне пространственных частот) . Спектры распределения мгновенной интенсивности и амплитуды связаны (в соответствии с теоремой о свертке) как

Gi(xz у, со)

Е H*"(w) 1п (со) фтСхЛ yz w)®2 Н? (-со) I. С-о^фл (xz yz со) mzn                                    i,j J J

Е н"(со) 1п(со)фт(х, yz со) * Е н1 (to) I. (со) ф. (xz yz со) mzn                                 izj J 3

где знаками ® и * обозначены интегральные операции свертки и корреляции по пе ременной со.

Соответственно, соотношение (7) приводится к виду со

9j(xz у, t) = < /

— 00

2 Н^Ссо) I n CooD фт С X , у, т, п

со)

5 Н (со) I j (со)ф. (xz yz со) е

-iot

Таким образом, при наличии временной и пространственной когерентности поля, создаваемого источником, то есть наличии корреляции коэффициентов 1к(ш), определяемых интегральными соотношениями (6), выражение (9) описывает структуру спекл-поля, формируемого на выходе световода. В частности, для близкого к моно хроматическому источника с поперечной корреляционной функцией Г(х, yz x

составляющая суммы в выра-

и световода со слабой связью мод (Нр(со) = 0 при p^q)

женин (9) с индексами nz j определится из (6) через изменение корреляционной функции

В случае некогерентного источника, возбуждающего равномерно моды световода со слабой связью мод или возбуждающего световод с сильной связью мод, выражение (9) сводится к суммированию интенсивностей, формируемых различными модами, без их интерференции в силу обращения в ноль членов Gj(xz у, to0)nzj при n^j . Вследствие этого формируемое поле не имеет тонкой структуры и описывается тривиальным, так называемым равновесным, распределением интенсивности мод.

Дополнительная пространственная модуляция поля источника транспарантом с амплитудным пропусканием s(x, у) не вносит существенных изменений в полученные выражения для распределения интенсивности, требуя соответствующей замены в соотношении (6) и выведенных с его использованием (9)z (10) спектральной функции J(xz у, to) на произведение s(xz у) - J(xz уz со).

Конкретный практический интерес представляет использование предложенного описания передаточных характеристик световода для случая временной модуляции источника, создающего поле i(xz yz t) сигналом s(t), и регистрации поля на выходе световода фотоприемником, интегрирующим по пространству.

Сохраняя ранее введенные обозначения, определим распределение комплексной амплитуды поля на выходе световода:

СЮ

g(xz yz t) = И Н^(о)1®(со)фт(хЛ yz to) e‘1G)tdto,                         (11)

• -® m_zn где

со

I_n(to) = ИШх, >/, ш-Е) S (Е)6Еф_п(х, у, o))dxdy;                            (12)

— ОО

S(oo) - спектр сигнала.

С учетом полученного выше выражения для интенсивности поля, регистрируемого пространственным фотоприемником (9), реакция системы излучатель-световод-фото-приемник в пренебрежении зависимостью квантового выхода от to и неравномерностью чувствительности по полю принимает вид gi е(1 3)

• -® m_zn                         i_zj ^J

Проводя интегрирование по (х, у) с учетом ортогональности базиса модовых функций {фп(х, у, 0))} ®                                             1 m = n

//Фп(х, yz ш)ф*(х, yz to)dxdy = '(14)

• -°00 m^n

получаем g_(t) = < / [Е H^(to) 1^(й))]*[Е H^(to)P(to)]e‘lQtdto>.(15)

mzn

Поскольку модулирующие частоты много меньше частот источника, выражение С15)

приводится к виду

ОО00

gz(t) = /sa(t-T)-< /[Е Н^(оо) Inz (16)

-®           -® mzn                mzn '

где

Нф(ш) - передаточная функция фотоприемника;

In(w) определяется соотношением (6) .

Таким образом, уравнение, описывающее регистрируемую интенсивность, принимает вид интеграла свертки сигнала'по интенсивности sa(t) с импульсным откликом по интенсивности hj(t) системы излучггтель-световод-фотоприемник, однозначно определяемым через обобщенную передаточную модово-частотную матрицу hx(t) = [в Н^(о)1п<й>)]*[Е Н^шИиОоф^е’^ба^.             <17)

• -О» Ш,П                ^т*^п

В заключение определим конкретный вид импульсного отклика, описываемого соотношением (17) для известного частного случая световода без связи мод и затухания, возбуждаемого некогерентным источником с малым диапазоном излучаемых частот. Если время когерентности источника существенно меньше времени усреднения, импульсный отклик принимает вид h|(t) = ~- // EIa(co*) pnexp{-i [d)t-(₽п (со'-со)+ВП <о)')) z]} dto'dco,              (18)

• ¹    Е -« n

где

1а(со) - спектральная плотность мощности источника, являющаяся Фурье-образом функции корреляции;

рп - приведенный коэффициент возбуждения моды (часть общей энергии, переносимой модой п) .

Разложение постоянных распространения 0п(со) в ряд Тейлора в окрестностях шо и последующее интегрирование позволяют получить упрощенное выражение

t-z

Э р р (со)

Эоо

2nz

ЗаРпСсо)

й)=6) о

Эсо2

<о=со0

совпадающее с ранее полученными теоретическими и экспериментальными оценками [1. ч.

Как показывает проведенный анализ, предложенное описание световода при помощи детерминированной модово-частотной передаточной матрицы и обобщенного импульсного отклика позволяет сформировать удобное и адекватное аналитическое представление распределений интенсивности излучения на выходе световода, возбуждаемого модулируемым и немодулируемым источником, и, следовательно, может быть с успехом использовано при решении задач оптимизации передаточных характеристик световодных систем и апостериорной обработки сигналов на выходе световодов как до, так и после фоторегистрации.