ОБОСНОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НА ПРОГРАММНОМ ПАКЕТЕ ИЗЛУЧЕННОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ

При изучении поведения жидкости или газа при их движении под воздействием сил различной природы обычно пользуются системами различных связанных между собой уравнений. Так, например, если движение жидкости сопряжено с электрическими силами, то привлекается дополнительно система уравнений электрогидродинамики (см., например, [1–3]). Особенностью таких систем разнородных уравнений является необходимость их совместного решения в силу связанности описываемых ими физических полей. Решение таких систем аналитически, как правило, невозможно в силу сложности взаимосвязанных уравнений системы, нетривиальности геометрии рассматриваемых в задаче краевых условий и т.д. Поэтому, как правило, такие задачи приходится решать численно с привлечением специализированных вычислительных пакетов, в частности пакета COMSOL Multiphysics — программного пакета для анализа, решения и моделирования методом конечных элементов для различных физических и инженерных приложений, особенно связанных мультифизичных явлений.

В арсенале пакета можно выбрать физические модели различной сложности. Основная задача предметного специалиста при этом выбрать компромиссный набор физических моделей, исходя из критерия "цена – качество", т.е. выбрать наиме- нее сложную физическую модель при приемлемой точности получаемого решения.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

В настоящей работе обосновывается возможность использования простейшей гидродинамической модели вязкой, несжимаемой, теплопроводящей жидкости для расчета параметров электроосмотического течения в пористой среде, наполненной жидкостью, в условиях приложения к этой среде постоянного и переменного электрических полей.

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Допущение о несжимаемости жидкости

Далее приводится полная система уравнений гидродинамики для вязкой сжимаемой жидкости. Эту систему в работе необходимо максимально упростить в рамках приемлемой точности для решения задачи расчета акустического поля элек-трокинетического излучателя.

Наиболее общим гидродинамическим уравнением ламинарного движения вязкой жидкости является уравнение Навье – Стокса для сжимаемых жидкостей (см., например, [1, с. 73]):

dv / p ^+(vV) v =

( п 1

-Vp+nAv+1 Z + j |W-v + F. (1)

К нему добавляется уравнение непрерывности для сжимаемой жидкости

-- + ^V- ( p v ) = 0                 (2)

и общее уравнение переноса тепла [1, с. 273]

^{p T} la^{+vV 1}

= V- ( K V T ) + D ,

а также уравнение состояния, связывающее давление p с плотностью среды ρ и с энтропией s (см. [4, с. 10])

p = p ( p, s ) .                          (4)

Система (1)–(4) является полной и содержит шесть скалярных соотношений для определения шести полей: трех компонентов вектора скорости v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) , давления p , плотности жидкости ρ и энтропии единицы массы жидкости s .

Функцию D в правой части (3), определяемую равенством n dv dvk 2         I

D = -    + —k--^divv I + ^(divv) ,(5)

2 dx, оx,    3

ki называют диссипативной функцией. Она характеризует необратимые потери в вязкой гидродинамической системе (1)–(4).

Выше в (1)–(4) приняты обозначения: η и ζ — соответственно динамическая и объемная вязкости жидкости; κ — коэффициент теплопроводности (в уравнениях (1) и (3) эти величины постоянные); F — сила, действующая на единицу объема жидкости, в частности в электрогидродинамических задачах это пондеромоторная сила, которую в электроосмотических задачах обычно ограничивают силой Кулона F = p e E , где p e — объемная плотность электрического заряда в жидкости; E — вектор напряженности приложенного к жидкости электрического поля.

Система (1)–(4) является достаточно сложной и трудоемкой при ее моделировании на вычислительных пакетах. Однако при некоторых допущениях она может быть значительно упрощена. Эти допущения касаются поведения трех полей: поля плотности среды ρ , поля скорости среды v и температурного поля среды T .

Так, при допущении о несжимаемости жидкости p = const                 (6)

упрощаются уравнение движения Навье – Стокса (1), уравнение непрерывности (2), а также выра- жение для диссипативной функции (5) в уравнении переноса тепла (3) и уравнении состояния (4). При допущении о малых вариациях температуры T = T0 + T , где T0 — средняя температура среды, T' — ее вариация, т.е. при условии T0 ≫ T' , упрощается также уравнение переноса тепла (3). Из условия о малом числе Маха M = |v| / c « 1, где c — скорость звука в среде, следует допущение (6) о практической несжимаемости жидкости.

Далее подробно остановимся на деталях этих допущений, а пока выпишем измененный вид системы (1)–(4) после принятия этих допущений.

Уравнение движения (1) трансформируется к уравнению движения для несжимаемой жидкости [5, с. 73]

ρ

— + (vV) v dt v 7

= -V p + n A v + F .

Уравнение непрерывности (2) также сводится к виду, соответствующему несжимаемой жидкости [5, с. 73]:

V- v = 0. (8)

Общее уравнение переноса тепла при условии малости числа Маха и условии о малых вариациях температуры сводится к виду [5, с. 277]:

d v d Vk I

—i +    I

(a x k a x )

-T + v V T = x A T + — d t                 2 C p

где v = n / p — кинематическая вязкость; x — коэффициент температуропроводности, x = к / p ; с_p — теплоемкость среды при постоянном давлении.

Таким образом, система (7)–(9), содержащая пять скалярных соотношений (векторное уравнение (7) распадается на 3 скалярных), является полной для определения пяти полей: ( v , p , T ) .

Далее подробнее приведем условия, при которых жидкость можно считать несжимаемой при ее стационарном и нестационарном течении. Эти вопросы подробно рассмотрены в работе [5].

Стационарное течение жидкости

Согласно [5, с. 41], вариация изменения плотности ρ в стационарно движущейся жидкости имеет такой порядок

А Р ~ O ^p v 2_r l ^c J

Здесь Ap — вариации плотности среды; v — скорость течения жидкости, c — скорость звука в жидкости.

Жидкость можно считать несжимаемой при условии, что вариации плотности среды малы: ρ ≪ 1. Что, согласно (10), равносильно условию ρ v ≪ c,                    (11)

означающему тот факт, что скорость течения должна быть много меньше скорости звука.

Условия (11) достаточно только при стационарном движении жидкости. При нестационарном движении необходимо выполнение еще одного условия.

Тогда для воздуха получаем оценку с 340

f « - = —= 34000 Гц.          (14)

^- 2

Нестационарное движение жидкости

Пусть τ и l величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости и промежутки времени соответственно испытывают заметное изменение.

Производной плотности жидкости ρ по времени дР              к ( можно пренебречь (считать плотность ρ под t стоянной во времени) в случае [5, с. 42]

Таким образом, согласно (13) и (14) для воздуха справедливо при изучении процессов электроосмоса применять приближение несжимаемой жидкости до частот 8–10 кГц и более.

Далее рассмотрим те же ограничения для жидкости, в качестве которой рассмотрим воду. Скорость звука в воде примерно 1500 м/с.

Определим величину колебательной скорости в воде из следующего соображения. Примем, что в воде имеется акустическое давление с амплитудой, равной амплитуде давления в воздухе, и равное p ₀ :

p воды

p воздуха    p 0 .

l τ ≫ .

c

Приведем некоторые оценочные данные применительно к электроосмотическим явлениям в воздухе, а также и в жидкости, а конкретно в воде.

Вначале оценим характерные амплитуды колебательных скоростей жидкостей в воздухе. В работе [6, с. 41] приведены характерные величины колебательных скоростей в воздухе. Так, на болевом пороге при воздействии мощного звука в воздухе амплитуда скорости частиц достигает всего лишь 1 м/c. Скорость звука в воздухе равна примерно 340 м/c. Таким образом, первое условие (11) для воздуха выполняется с запасом:

v ≪ c .

Рассчитаем границы справедливости условия (12) для воздуха при нестационарном режиме течения. Рассматриваем гармоническое звуковое поле с периодом колебаний T , что соответствует частоте f = ^ . Тогда в качестве т в (12) следует принять период т = T = 1/ f . Подставляя последнее выражение в (12), получаем неравенство

f ≪ ^c _l .

Принимаем, что толщина мембраны, в которой осуществляется процесс электроосмоса, составляет l = 10 ^{- 2}м, что с запасом отражает реальность.

При давлении p0 амплитуда колебательной скорости в воде v воды будет равна v воды = Рво ы .

z воды

После несложной цепочки тождественных преобразований находим

v воды

p воды

z воды

p воздуха     z воздуха p воздуха

z воды

z воздуха

z воды

z воздуха p воздуха

z воды

z воздуха

zвоздуха vвоздуха . zводы

p

Здесь через z = — обозначено удельное акустиче ское сопротивление соответствующей среды, равное отношению амплитуд давления и колебательной скорости.

Найдем отношение воздуха , подставляя соот-zводы ветствующие величины. Так, zвоздуха = 417 Па с/м, zводы = 150 -104Па с/м (см. статью в Википедии "Удельное акустическое сопротивление"). Окончательно имеем

z воздуха

z воды

150 - 10⁴

= 2.78 - 10 ^{- 4}.

Таким образом, из (15) получаем, что при одинаковой амплитуде давления в воде и воздухе, колебательная скорость воды является величиной примерно четвертого порядка малости по сравнению с колебательной скоростью в воздухе.

Неравенство (12) для воды примет следующий вид:

f « ci ⁼40^ 2 0" = 1.5'Ю 5 Гц.        (16)

Это равносильно тому, что для воды верхняя граница по частоте достигает, по крайней мере, величины частоты звука порядка 1.5 104 Гц.

ВЫВОДЫ

Приведенные соображения и факты подтверждают возможность использования приближения несжимаемой вязкой жидкости при оценке электроосмотических процессов в воде и воздухе в достаточно широком диапазоне частот.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Особенности реализации электроосмотического течения в вычислительном пакете

COMSOL Multiphysics

В упомянутом пакете ранее был реализован следующий вариант моделирования электроосмотического течения (см. [7]). Решалась задача (7), (8). Стеклянный круговой капилляр, заполненный воздухом, имел размеры: длина 1 мм, радиус капилляра 10 мкм. В первичной постановке к торцам капилляра должно было подаваться суммарное постоянное и переменное электрическое поле. Однако в пакете COMSOL эта задача решалась иначе. А именно вместо неоднородного уравнения (7) решалась задача (7) при нулевой внешней силе Кулона F = 0. В качестве альтернативы внешней силе на границе воздуха и внутренней стенки капилляра указывалось не условие прилипания воздуха на границе со стенкой капилляра, а наличие ненулевой скорости воздуха на этой границе, равной электроосмотической скорости, вызванной приложенным к торцам капилляра суммарным постоянным и переменным электрическим полем. Эта скорость определяется уравнением [8, с. 10]

(Uo + U) = ^°Z (Eo + E). η

Здесь E0 и E — амплитуды векторов электрической напряженности соответственно постоянного и переменного (гармонического) электрических полей (вектора электрических полей направлены вдоль оси капилляра); ε0 — электрическая постоянная; ε — относительная диэлектрическая про- ницаемость; ζ — дзета-потенциал;

U ₀ = ^^ ° ZE ₀ = const; U = ^^ ° ZE .

ηη

Работа выполнена в ИАП РАН в рамках Государственного задания 075-00780-20-00 по теме № 007420210013 Министерства науки и высшего образования .