Обратные коэффициентные задачи в механике
Автор: Ватульян А.О., Плотников Д.К.
Статья в выпуске: 3, 2019 года.
Бесплатный доступ
Представлены основные постановки и методы исследования коэффициентных обратных задач. Приведена классификация коэффициентных ОЗ в зависимости от реконструируемых объектов. Выделено три класса задач: конечномерные задачи, задачи об определении одномерных функций, задачи о восстановлении многомерных законов. Обсуждены основные подходы при исследовании ОЗ каждого типа. Описаны схемы исследования конечномерных ОЗ, в том числе и метод Прони, позволяющий упростить схему решения нелинейной ОЗ. В качестве примера конечномерной ОЗ приведен способ определения линейных законов неоднородности полосы, состоящий в построении приближенной модели индентирования и использовании метода Прони на начальном этапе определения параметров модели. Приведены основные схемы исследования коэффициентных ОЗ по определению одной или нескольких функций при анализе установившихся колебаний в различных постановках. В первой постановке в качестве дополнительной информации заданы компоненты физических полей внутри тела. В качестве примера приведена задача об определении переменного модуля Юнга балки при анализе изгибных колебаний, которая сводится к задаче для линейного операторного уравнения с компактным оператором. В качестве второго типичного примера коэффициентных ОЗ в первой постановке приведена задача об определении переменных коэффициентов Ляме при анализе колебаний прямоугольника, исследование которой сводится к решению задачи Коши для системы уравнений в частных производных первого порядка. Во второй постановке задано поле смещений на границе тела в некотором частотном диапазоне, что значительно усложняет задачу, поскольку приводит к существенно нелинейной некорректной проблеме. На примере задачи об определении модуля Юнга, модуля сдвига и плотности для функционально-градиентного консольно закрепленного стержня постоянного сечения при анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний построен итерационный процесс, приводящий к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода для нахождения поправок на каждом шаге. Обсуждены вопросы единственности восстановления искомых характеристик.
Обратная задача, некорректность, метод прони, итерационный процесс, регуляризация, интегральное уравнение фредгольма, функционально-градиентный материал, установившиеся колебания, приближенная модель, контактная задача
Короткий адрес: https://sciup.org/146281948
IDR: 146281948 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2019.3.04
Inverse coefficient problems in mechanics
The main statements and methods for studying coefficient inverse problems are presented. The classification of coefficient inverse problems is given depending on the objects being reconstructed. Three classes of tasks are highlighted: finite dimensional tasks, problems on determining one-dimensional functions, problems of multidimensional functions restoring. The main approaches in the study of each type of inverse problems are discussed. Finite-dimensional inverse problems research methods including Prony's method that allows to simplify the solution scheme for a nonlinear inverse problem are described. As an example of a finite-dimensional inverse problem, a method for determining the linear laws of strip inhomogeneity is given. Basic technics for the study of the coefficient inverse problems by the definition of one or several functions in the analysis of steady-state oscillations in various settings are given. In the first setting, the components of the physical fields inside the body are specified as additional information. As an example, the problem of determining the variable Young's modulus of a beam in the analysis of bending vibrations is given. It reduces to a problem for a linear operator equation with a compact operator. As the second typical example of coefficient inverse problem in the first formulation, the problem of determining the variable Lame coefficients when analyzing rectangle oscillations is given. It is reduced to solving the Cauchy problem for a system of partial differential equations of the first order. In the second formulation, the displacement field at the boundary of the body is given in a certain frequency range. It leads to a significantly non-linear incorrect problem. Using the example of the problem of determining the Young's modulus, shear modulus, and density for a functionally gradient cantilever rod of the constant cross section, an iterative process is developed for the analysis of longitudinal, bending and torsional vibrations. At each step, a solution for a system of Fredholm integral equations of the first kind is constructed. The issues of the uniqueness of restoring the desired characteristics are discussed.
Список литературы Обратные коэффициентные задачи в механике
- Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 287 с.
- Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. - М.: Наука, 1984. - 261 с.
- Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988. - 288 с.
- Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. - Новосибирск: Наука, 1988. - 168 с.
- Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. - Новосибирск: Наука, 1988. - 184 с.
