Образующие и соотношения в обобщенных m-треугольных группах над ассоциативным кольцом. II

В этой работе мы продолжаем исследования, начатые в ее первой части. Поэтому сохраняя все определения и обозначения как раньше, и здесь мы R считаем произвольным ассоциативным ненулевым кольцом. Примем дополнительно еще следующие обозначения: для номеров i , k , 1 <  i <  k <  n , и аргумента e e R^o d ik ( e ) = d i ( e ) ° d k ( e ' ); [ x , y ] = x / ° y / - коммутатор элементов x , y e R⁰ , [ R⁰ , R⁰ ] - коммутант группы

R⁰ , т.е. подгруппа в R o , порожденная всеми ее коммутаторами (он образует в R⁰ , нормальную подгруппу);

ET 0m ( R ) = ( d ik ( e ), e e R o , 1 <  i <  k <  n ;

т.е.

ET»,m (R) подгруппа в  Tnomm (R)m по- рожденная всеми указанными там (элементарными) матрицами. Эту группу ET°m (R) мы и назовем обобщенной эле- ни n над кольцом R (отвечающей m-ой диагонали). Нашей целью в этой части работы является представление групп ET°m (R), n > 2, (1 < m < n),  в терминах образующих и соотношений. Наше представление производится совершенно одинаково (т.е. серийно) для всех указанных значений m и также использует метод x °трансформации, развитый еще в работах

[1-5]. Несмотря на кажущуюся близость, рассматриваемая здесь группа ET°_m ( R )

имеет существенные различия от ее предшественниц T_n^o , _m ( R ).

1.    Стандартные формы в ETo m (R ) tt(^)\ X eIR:jKm < i + иоказёйваю;)т      разложения d 1([em ^ I) = d 1/k (^ ° e) ° d 1 k(e) ° d 1 k (^)       и dk ([£/, ^/ ]) = d1k (e ° ^) ° d 1 k (e) ° d 1 k (^), 1 < k < n, одинарные матрицы dj (t), 1 < j < n, с аргументами t e [Ro,R0 ] являются некото- ментарной m-треугольной группой степе- рыми элементами из ET°m (R) . Для представления группы ET°m (R) мы изберем не порождающую ее систему, а более симметричный алфавит d.(Q)), £ е Ro, 1 < i < k < n; dq (ст), ст e [Ro, Ro ], 1 < q < n;

Ц ( A ), A e R , m <  i + m <  j <  n.                      (Eg)

И в этой части мы используем стандартные формы элементов из ET°m (R). Формы ступени i и здесь мы определим как f = П t((A) ), где k пробегает множе ство {i + m,...,n} (в произвольном порядке). В качестве же стандартных форм мы здесь объявляем всевозможные комбинации алфавита (Eg) вида d 1 n (£,) о ... о dn-1,n (£n-1 ) о dn (£) о fn-m о ... о f1,

( sf)

Относительно введенных форм имеет место

Теорема 1. Всякая матрица x из ET Om (R ), n >  2, (1 <  m <  n ), представляется в стандартном виде ( sf ), причем единственным образом.

Доказательство этой теоремы проводится без существенных изменений как в соответствующей теореме из первой части. Его мы воспроизводить здесь не будем.

Чтобы придерживаться единообразия в рассуждениях, и здесь мы при m=n в ( sf ) будем считать f_n - _m о ... о f 1 = 0.

2.    Система определяющих соотношений

Напишем в алфавите ( Eg ) следующие (легко проверяемые) соотношения группы El m ( R ) :

• 1.    d ik ^{( £ )} = d in ^{( £} ) ^{о d} kn ^{( £} /^{)m k} <  ⁿ ;

• 2.    ^d q ^(CT ) = ^d qn ^(ст ) ^{о d} n ^(ст ) ¹ <  q <  ⁿ ;

• 3.    d n ^{( ст ) о} d n ^{( £} ) = d n ^{( ст о £} );

• 4.    d in ^{( £} ) ^о d in ^{( ст} ) = d in ^{( £ о ст} ) ^о d n ^{([ £} / , ^ст /^]) ;

• 5.    d kn ^{( £} ) ^о di n ^(ст ) = d in ^{( ст} ) ^{о d} kn ^{( £} ) ^о d n ^{([ £ /, ст /]} ), ^k >  i ;

• 6.    d n ^{( ст} ) ^о d in ^{( £} ) = d in ^{( £} ) ^о d n ^{( £ о ст о £} / );

• 7. t in ( A ) о d n ( £ ) = d n ( £ ) о t in ( A + A£ );

• 8. t ik ^{( A ) о} d n ^{( £} ) = d n ^{( £} ) ^о tik ^{( A )} , ^k < ⁿ ;

• 9.    t ik ( A ) о d kn ( £ ) = d kn ( £ ) о t ik ( A + A£ );

• 10. t ik ( A ) о d_m ( £ ) = d in ( £ ) о t ik ( £ / A + A ), k <  n ;

• 11. t n ( A ) о d in ( £ ) = d in ( £ ) о t n ( A + A£ / + £ / ( A + A£ / ));

• 12. t in ( A ) о d_ra ( £ ) = d rn ( £ ) о t in ( A + A£ ^z);

• 13. t k ( A ) о d rn ( £ ) = d rn ( £ ) о ti k ( A ), k <  n , r * i , k ;

• 14.    t ik ( A ) о t ik ( a ) = t ik ( A + a );

• 15.    t ik ^{( A ) о} t kj^(a ) = t j^(Aa ) ^о t kj^(a ) ^о t ik ^{( A )} ;

• 16.    t ik ^{( A ) о} t rj^(a ) = t j^(a ) ^о tik ^{( A )} , i * ^j , к * r .

Чтобы    продолжить    дальнейшие слов алфавита    (Eg)    отношения рассуждения, вводим на множестве всех

• -^ , 1 <  i <  n - m , положив W \ V тогда и только тогда, когда слова W и V связаны между собой соотношением W = XV , где слово Х не содержит ненулевые транс-векции t_k .( * ), k <  i . Эти отношения являются рефлексивными и транзитивными.

И здесь верна вспомогательная (трансформационная справа)

Теорема2. Пусть fi-некоторая форма ступени i (1 < i < n - m) и х-ненулевая буква алфавита (Eg), для которой при x = tR (Л) считается выполненным неравенство p ≥ i . Тогда для них применяя соотношения 7-16 можно выполнить преобразования V = fx ^gt, где   gi-также некоторая (уже другая!)

форма ступени i .

Доказательство является комбинаторным и различает следующие случаи.

• I.    х - диагональная буква

Здесь мы применяя соотношения 7 - 13, 16 (и понимая под f ( * г ) форму без букв t_tг ( Л ), Л * 0),         будем         иметь

V = f^ r ) о ^[ t 1 г ⁽ * ) о x ^] = ^[ f , ⁽ * г ) О x ^] о t 1 г ⁽ * г ). Продолжая это перемещение х и далее, мы к требуемой форме приходим так

V = ( x о g 1 ) -^g 1 .

• II.    x = t_rj(X)

3.    Левые трансформационные преобразования

В этом случае преобразование

V = f о x S g^ проводится использованием соотношений 14 - 16 как в теореме 2 из первой части. Эти повторяющиеся подробности здесь мы также опускаем.

Этот пункт также является вспомогательным. Здесь нам нужен диагональный подалфавит dt(e), s e R°, 1 < i < k < n, d(ст), ст e [ Ro, Ro ], 1 < j < n.            (Ed)

алфавита (Ed). Вводим на множестве всех слов этого алфавита отношения <-, 1 < i < n - m, положив V ^-W тогда и только тогда, когда эти слова связаны соотношением V=WY, где слово Y не содержит ненулевые буквы вида dk(^s) (e * 0), k < i. Эти отношения также рефлексивны и транзитивны.

Ниже нам нужна и следующая

Теорема 3 (о трансформации слева).

Используя соотношения 1-6 всякое слово V алфавита (Ed) можно записать в виде d 1 n (s1) о ... о dn-1,n (sn-1) о dn (s).

( d )

Доказательство. Без потери общности рассматриваемое слово можно считать представленным в виде V = Y о dxn(*). Применяя к части Y соотношения 1 и 2, V можно считать состоящим только из букв вида dx „(s) и d„ (ст). Пусть теперь Y = Y о y т.е. у-последняя буква в Y. Применяя соотношения 4-6, далее мы бу дем иметь V = Y1 о [у о d 1 n (*)] <- Y1 о d 1 n (s), т.е. этой операцией мы добились сокращения длины Y. Продолжая эти сокращения и далее, мы приходим к записи V -~dx„(^ ).

i

Это по определению отношения ← означает, что V = dxп (s) о Хх, где Х-некоторое слово алфавита (Ed), не содержащее ненулевые буквы вида dx„(*) (* * 0). Аналогичным образом отщепляя из Х букву di nkei),         мы    будем    иметь

V = d 1 n (ex) ° d2 n (e2) о X 1, где Хi не содержит буквы вида dz„(*), * * 0, i < 2, и т.д. Описанный процесс отщеплений на (n-1)-м шагом приводит нас к разложению V = d 1 n (e1) ° ••• ° dn-1,n (En-1) ° Xn-2, где остаток Xn-2 не содержит буквы вида dк„(*), * * 0, k < n, т.е. состоит сплошь из одинарных букв dn (*).   Применением соотношений 3 теперь последнее приводится к виду dn (e) очевидным образом. Теорема доказана.

4.    Комбинаторное задание группы ET m (R )

Основной результат работы сформулируется как

Теорема 4. Обобщенная элементарная m -треугольная группа ET nO _m ( R ), n ^ 2, (1 <  m <  n ), над ассоциативным кольцом R * {0} в образующих ( Ed ) задается соотношениями 1 - 16.

Доказательство и здесь разбивается на две части.

• I.    Приведение к стандартному виду

В этом пункте мы покажем, что применяя соотношения 1 - 16, всякое слово W алфавита ( Ed ) можно преобразовать к его стандартному виду s ( W ). Как и в теореме 3, считая W составленным только из букв tj Д Я ), d_{x и}( е ), d_n (ст ) и повторяя с небольшими изменениями рассуждения теоремы 4 из первой части работы (т.е. соотношениями 1, 2 и 7 - 16), слово W можно записать в виде

W = D ° fn-m ° ••• ° f 2 ° f , где D-некоторое слово подалфавита (Ed). Применяя теперь к D только что доказанную теорему 3 (т.е. соотношения

1 - 6),    приводим его к виду

D = ^d 1 n ^{( Е} 1 ) ° ••• ° d n - 1, n ^(En - 1 ) ° d n ^{( e} )• Таким образом, равенство W = s(W) из соотношений 1 - 16 действительно может быть извлечено.

• II.    Полнота соотношений.

• 5.    Описание проективного фактора PET O m ( R )

Пусть теперь W=0-произвольное соотношение группы ET o (R) в порождающих (Ed). Применяя к его левой части результат п. I, заменим последнее с s(W)=0. Но по теореме 1 последнее возможно только при нулевых буквах слова s(W). А это уже означает выводимость соотноше- ния W=0 из 1-16. Теорема 4 доказана полностью.

Отправляясь от основной теоремы 4, мы здесь приводим комбинаторное задание фактора PET° m _m ( R ) = ET Om _m ( R ) / С элементарной группы ET°_m ( R ) по ее центру С = centET°_m ( R )• Случай m = n и здесь является тривиальным и для нас никакого интереса не представляет.

Считая всюду ниже m

Последнее дает нам, что e ° хи = хи ° e, 1 < i < n,                            (i)

имеют место и здесь. Далее, включения x ∈ AnnR и равенства

x λ = λx

(s)

(i< n - m, j > i + m) верны и показываются они как в первой части работы.

Таким образом, в центральной матрице х все ее угловые позиции xij обязаны попасть в аннулятор AnnR, а диагональные же ее элементы, наряду с (∈) должны удовлетворять также и условиям “скалярности” (s). А то, что матрица x = (Ху), удовлетворяющая всем перечисленным выше требованиям, попадет в центр С, теперь уже проверяется непосредственно. Взяв в качестве порождающих слов центра С квазитрансвекции tt(5), 5 е AnnR (< i, j > -угловые позиции) и “скалярные” слова dx (^ ) о ... о d„ (sn), мы можем здесь сформулировать следующий результат.

(здесь ^ & centR⁰).                         Monn (R), PMonn (R), n > 2, над ассоциа-

В заключение отметим, что аналогич-   тивным кольцом R ранее были решены в ные вопросы для мономиальных групп   работах [6] и [7].