Общая теория динамики микрополярных упругих тонких пластин и оболочек

— — T - Tj,)+—— + — — (Sji + Si,)+ AA da      JJ A, 8a, AA, Sa, Ji J iji     jj ijj

N_a   „ , d² u,  / ₊      \

⁺=² ph      ⁽ P‘ ⁺ p^

R i          8t

1 d M

A d a.

1   ⁵ A

+-- j

Aa j da i

⁽ Mu ^{- M}jj ⁾⁺

^d H

A j da j ^{- N} 3 i =

+

—— ( H ,+ H ) -AA , da / ^Ji     ^1j!

M-    - _h ( p +

3     d t ²

—

—

Pi

Рассмотрим оболочку постоянной толщины 2 h как трехмерное упругое тело. В основу примем уравнения трехмерной динамической задачи микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (Nowacki W., 1986). Предположим, что толщина оболочки 2 h весьма мала по сравнению с характерным радиусом кривизны и срединной поверхности, т. е. 2 h<. В работе (Sargsyan S.H., 2012) на основе трехмерной динамической теории микрополярной упругости асимптотическим методом построены внутренняя задача (которая двумерна) и погранслои, изучена задача сращивания этих двух итерационных процессов.

Установленные качественные результаты асимптотического анализа позволяют в основе построения прикладной двумерной динамической модели микрополяр-ных упругих тонких оболочек формулировать следующие адекватные достаточно общие предположения (гипотезы):

• 1.    Нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к срединной поверхности оболочки, остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной срединной поверхности, свободно вращается на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины. При этом тангенциальные компоненты вектора свободного вращения постоянные функции по толщине оболочки, а нормальная компонента–линейная функция.

• 2.    В физических соотношениях для y i силовое напряжение т₃₃ можем пренебрегать относительно силовых напряжений o -i ; аналогичным образом, в соотношениях для x i ₃ , моментное напряжение д можем пренебрегать относительно моментного напряжения д-3 .

• 3.    При определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, для силовых напряжений c_3i и моментного напряжения д₃₃ сначала примем т з ,- = ^ 3i ( a i , a 2 ,t ), д зз = д -з ( a _Y, a - ,t ) ^{( а} 1 , ^а 2 ^- криволинейные ортогональные координаты в срединной поверхности оболочки). После определения указанных величин, значения т_3- и д₃₃ окончательно определим, как сумму этих значений и результата интегрирования по а₃ соответствующих уравнений движения, требуя условия, чтобы усредненные по толщине оболочки их величины были равны нулю.

На основе этих гипотез построена асимптотически точная общая прикладная теория динамики микрополяр-ных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений:

Уравнения движения:

T 11    T     1   fd ( A 2 N ,3 )   d ( AN 23 )

R 1    R ₂    A 1 A ₂ L  d a ,        d a ₂

= 2 ^{P h} 7^" -⁽ P 3 + ⁺ P —⁾’ О t

- ^ + _±_ A ( L ii - L_M ) + - " + — ' ( Д + L_tJ ) + L +

A ^da i A A 8 /^X        A j ^da j  A A Г и. у ¹ R

+ ( - 1 ) ^J ( N j3 - N 3 j ) = 2 Jh  ° - (mt + m i ^-)

^L 11

R 1

^L 33

—

L 22      1

R 2    A 1 A 2 L

L Г д ( a 2 L 13 ) , d ( A 1 L 23 ) '

d a ,       d a ₂

L Г д ( A Лэ ) , d ( A .A- ) '

^A i ^A 2 _

da

da

- ( S„ - S ,) = 2 Jh      - ( m +' + m, - )

12     21                2         3       3

d t

- ( H„ - H .) + 2 ^{p h} -^- T = h ( m ₃⁺- m ₃" ) 12       21                  2          3       3

Соотношения упругости:

N i 3 = ² h ( д ^{+ a ) r} i 3 ^{+ 2} h ( д ^{- a ) r} 3 i , N _3j = 2 h ( д + a ) Г_3/ + 2 h Д - a ) Г₃

2 Eh                2 Eh ³

^Ti = j,.'! '   ⁺ v ^Г JJ ^{] , M} i = ;.-  .  / ^K i ⁺ v^K i ^{] ,}

1 - V                    3(1 - v )

S j = 2 h [( ^ + a ) Г + ( д - a ) ^ , ]

^Hij = 2 h -[ ⁽ д ^{+ a} ) K j ⁺⁽д - ^a ) K ji ] ^{, L}i 3 = ^{2 h} 4 ^^K i 3 ^, 2 h ³ 4ys ,

^Л i 3 = ~;         l i 3

3 у + e

^L ii = ^{2 h [(} ^ ⁺ 2 Y К ^{+ e(K} j ⁺ z ^{) ]} ’

^L 33 = ^{2 h [ ( в +} 2 YУ ^{+ в ( к} 11 ^{+ K} 22 )] ⁽⁴⁾

L i = ^{2 h [(} Y + ^{e ) K} ii ⁺⁽ Y - ^{e ) k} j, ^] Геометрические соотношения:

г ii

Г = ij

1 8 u,     1    8 A

A i d« i    A i A j 3a j

1 d и ,    1   d A

—

A i ^{d a}i   ^AA J ^da J

u, + " , ^j    R i

ui

^{- (-} 1 ) ^J ^ 3

1 d y   1   d A

K i =+ ^L W i ’

A d a   AA d a_y^J

K j =

1 S y ,    1   a A

-

^Ai ^{a   A}i^AJ ^da J

у . ^-(- 1У <

Гз = -Д +(-1Упг Г3 i = v -(-1)j Qj,

^κ ij ⁼

ϑ i	1 d w	u    .      1 di
	■ —            +     , l з =            (5) Ai ∂ α i   Ri       Ai ∂ α i
	1 dQ, =       i +	—5Д n.Q , A A ∂ α     R
κ
и	Ai ∂ α i
1	dQj    1	d Ai n        1 5Q3 Q i к = 3 -
Ai	∂ α   A A	∂ α j          A i ∂ α i

Ω i R i

Здесь T , S j , N i 3 , N з , , ^м _й , H j , L , L j , L 33 , L i3 , ^л i з -усредненные усилия, моменты и гипермоменты от силовых и моментных напряжений; Г , Г -, Г ₃, Г₃., K_t , K^ ■, к _й, K j , K i ₃ , l i ₃ - изгибы-кручения, a u_t , w,Vi , Q_z, Q₃ , i - перемещения, прогиб, повороты и интенсивность свободного поворота точек.

К системе уравнений (3)-(5) микрополярных упругих тонких оболочек присоединим “смягченные” граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки (например, при а 1 = const ):

T11 = T1 или u = U,*, S12 = S*2 или и2 = и*, N13 = N*3 или w = w*,

M 11 = M 1*1 ^или V 1 = V 1 ’ H 12 = H 12 ^или V 2 = V 2 ’ L _u = L *! или Q 1 =Q * (6)

*            ^*  -.--.-*             „*

^L 12 = ^L 12 или ^Q2 =^Q2 ^, L 13 = L 13 или ^Q 3 = ^Q 3 ^,

Л13 =Л13 или i = i

Следует присоединить также соответствующие начальные условия при t=0 для w , d w/dt v , d v /d t , Q_z , 5QJ5 1 , i, dl d t.

На основе построенной теории изучены задачи о свободных и вынужденных колебаниях шарнирно-опертых микрополярно-упругих прямоугольных и круглых пластин и цилиндрических оболочек; определены частоты собственных колебаний, амплитуды вынужденных колебаний и условия резонанса. При помощи численного анализа выявлены основные специфические стороны динамических характеристик указанных микропо-лярных тонких тел.