Общие уравнения распространения электромагнитных волн в ограниченном пространстве

• 1.    Введение

• 2.    Теоретический анализ

Применение ферритов позволило в наиболее чистом виде реализовать случай взаимодействия электромагнитных волн (ЭМВ) с ферромагнитной непроводящей средой. Этот случай представляет технический интерес, связанный с возможностью использования «магнитооптических явлений» в радиотехнике сверхвысоких частот (СВЧ). Важной областью практического приложения ферритов являются электрически регулируемые системы. Зависимость параметров этих сред от напряженности внешнего магнитного поля позволяет создавать системы, свойства которых можно быстро менять во времени [4].

Распространению электромагнитных волн в круглых волноводах с ферритовым заполнением посвящены фундаментальные труды [2, 4, 6]. Работы по анализу эллиптических волноводов посвящены в основном случаю с изотропным заполнением [7, 8]. В связи с этим возникает необходимость строгого анализа ферритовых эллиптических волноводов, так как они являются общим случаем круглых. Это является основной задачей нашего исследования. Статья посвящена анализу распространения ЭМВ в эллиптическом волноводе с ферритовым заполнением при продольном подмагничивании.

Будем рассматривать устоявшийся во времени процесс, т.е. без наведенных токов и зарядов. Рассмотрим волны, движущиеся только в положительном направлении оси Z. Их зависимость от коорди-jZ наты Z описывается выражением e , где - постоянная распространения.

Обычно форма поперечного сечения определяет выбор системы координат. Следовательно, данный волновод жестко связан с эллиптической системой координат, которая представляет собой семейство софокусных эллипсов и гипербол. Тензор кривизны описывает кривизну в поперечной плоскости по обеим поперечным осям. Координаты 2^ и ф изменяются в пределах 0 < 2^ < оо, 0 <  ф < 2тт и связаны с прямоугольными координатами: X — e* ch (2^), У = e • sh (^) , где e - фокусное расстояние.

Уравнения Максвелла с учетом принятых допущений принимают вид:

D rotH        0; divD0

at;;

B rotE + B 0; divB 0 ,

.      at;v , где E , H - соответственно напряженности электрического и магнитного полей; D , B - соответственно электрическая и магнитная индукции.

Система (1) дополняется материальными уравнениями среды:

D =HE; B H, где Ikll – тензор диэлектрической проницаемости, а ц^ц - магнитной.

В общем случае тензор магнитной проницаемости феррита имеет вид [5]:

	Ц 11	Ц 12	Ц 13
=	Д 21	/7 22	Д 23
	-^31	Д 32	Д 33

.

В системе (1), разлагая rot по осям, получаем:

₂ H ₃ + ^j 7 H 2

jw £E 1 ;

1 H 3 + ^j 7 H ₁      jw s E 2 ;

H    H   jw £E ;

2 E 3+j7E2     jw( ц11H1 + //12H2 + ZZ13H3);

₁ E ₃+ ^j 7 E ₁    jw ( Ц 21 H 1 ^Ц ₂₂ H ₂ + Ц 23 H 3 );

1E2    2E1     jw(Ц31 H1 + Ц32H2 + Ц33H3 ), где

Vi1       , hi 5qi ,

1   (

¹J J ^d1 =^l^+ ^Г h ₁<8 q ₁

i

1J —

,о2 = --h Г h2 Isq2    1

12 ;

; Г ^{2    1    h} 2    1     ¹ -⁸h 1

²¹ h ₂ q ₁    ¹² h ₁ q ₂₁

–

символы

Кристоффеля (их всего 27); h_i - коэффициенты Ламэ; w - циклическая частота; q_i - обобщенные криволинейные координаты; j - мнимое число; i =1,2.

Из выражений (4) и (5) определяются поперечные компоненты ЭМВ.

При продольном подмагничивании ось Z эллиптического волновода совпадает с внешним подмагничивающим полем. В этом случае тензор магнитной проницаемости примет эрмитовый вид [5]:

Ц jk

jk

Ц 0

Ц||

где k, Ц, p. || - компоненты тензора; j – мнимое число.

Из выражений (4) и (5), с учетом (6) получаем следующие выражения для поперечных компонент ЭМВ эллиптического волновода с ферритовым заполнением при продольном подмагничивании [1]:

E     ja 2   1	Ez   w q 2 Hz    jw 2 k		EH	г V z	г;
g 2 g 2 ed	a 2            a 2		w
E       j a 2   1	Ez   w q 2 Hz    jw 2 k		EH z	z	;
g 2 g 2 ed	a 2            a 2		w	9 )
					(7)
j a 2   1 H	w  E   H   jw 2 k zz	wE H zz		;
g 2 g 2 ed	2 a 2	V Г	5^ ^Ф
j a 2   1 H	w  E   H   jw 2 k zz	wE H
Ф          2   2     7 gg e	1          _                 2 a 2	17	' дф д^ v	,

22  2

где a = w ер,— у ,

g2 = w'sp + w2ek- у1, g2 =w"sp-w2ak- /2,  d = ^ 7ch(2^) -cos(2<^),

22    k  2

q = w 8--у , e - фокусное расстояние.

Подставив поперечные компоненты (7) в третьи уравнения систем (4) и (5) получим волновые уравнения ЕН - обыкновенной и НЕ - необыкновенной волн в эллиптическом волноводе с ферритовым заполнением при продольном подмагничивании. После математических преобразований волновое уравнение ЕН волны примет вид [1]:

2E    2E zz

2 _Hz

2 _Hz

^{g g} e ²( ch 2   cos2 ) E   0;

2 a ^{2                         z}

Волновое уравнение НЕ- необыкновенной волны имеет вид [1]:

2 _Hz    2 _Hz

² E z

дф

2 _E

^{|| g g} e ²( ch 2   cos2 ) H    0;

2 c ^{2                           z}

z

0,

22   ^k

где c w

Анализируя (8) и (9), видим, что при продольном подмагничивании распространяются чистые Е и Н - волны.

Рассмотрим решение волнового уравнения ЕН - обыкновенной волны. Для решения волнового уравнения (8) применим метод разделения переменных [4]. Будем искать решение в виде Ez = Е^Еф, где Ez - функция двух переменных ((1,ф ), Е^ - функция одного ^, а Еф - функция одного ф. Из пер-

вого уравнения (8) получаем два дифференциальных уравнения второго порядка: d2E           2  2 b g g e2cos2  E   0; d 2         2a2 d 2Е   Г      2 2                                                   (10) dE b g g e2ch2  E   0, d 2         2a2 где b - постоянная разделения.

gg 2

Введем обозначение: q        e . С учетом введенного обозначения выражение (10) принимает

4a2

следующий вид:

_d 2 _E d ² d ² E d ²

b 2 q cos2 E 0;

b 2 qch 2 E 0.

Выражение (11) представляет собой уравнение Матье в канонической форме с действительными b и q. Первое уравнение (11) известно как обыкновенное уравнение Матье, а второе – как модифицированное уравнение Матье [4].

Представляя решение в виде произведения функций E_z E E , имеем [3]: E ce_m или se_m или одной из этих функций с постоянным множителем, а E Ce_m или Se_m . Здесь ce_m ,se_m - соответственно четная и нечетная периодические обыкновенные функции Матье целого порядка m с действительными b и q.

Формальным решением (11) будет:

Ez = ZCmCem (^ q)cem (

+ Z SmSem (^ q)sem (

где C_m,S_m - произвольные константы.

Для любого m имеется два типа решений (четное и нечетное): c ^E zm = C m Ce m ⁽^ Я^)ce m ⁽⁽P- Я ) c^Os(wt - z) )

s Ezm = SmSem (£ , q)sem (

Пусть q_m,r и q _m,r - соответственно r -е корни этих уравнений для данного m

c Ezm = Cm,rCem (^ qm,r )cem (Ф, qm,r ) COS(wt " ^) , m ^ 0

s Ezm = Sm,rSem (^ 4m,r )sem ((P, Чп,,r ) COs(wt ~ Z)) , m 1 r 1 •

Граничное условие для ЕН - волны заключается в том, что E z =0 на внутренней поверхности волновода, где ξ= ξ 0 . Поэтому имеем:

Ce m <0 ,C =0 , Se m <0 ,C =0.

Объединяя выражения (15), (16) и (7) для ЕН – волны, получаем следующее распределение полей:

F= =

E

уa    1  Cm,rCe m ((i,qm,r )cem(V,qm,r )

2 g2 ed pm>r

gg

Se'm ( , qm,r )sem ( , qm,r )

sin( wt z )

E z

E

W 2 ² kk 1 J C g 2 g 2 ^ed I S

C

S

m,r

m,r

m,rCem ( , qm,r )ce'm ( , qm,r ) m,rSem ( , qm,r )se'm ( , qm,r )

Cem ( ,qm,r )cem ( ,qm,r ) Sem ( ,qm,r )sem ( ,qm,r )

cos( wt   z )

cos(wt  z)

№   1  Cm,rCem(f, qm,r )cemOP,qm,r)

g 2 g 2 ed Sm,rSem( , qm,r )se m ( , qm,r )

sin(wt z)

W kk 1 Cm,rCem(^,qm,r)cem(ф,qm,r) g g ed Sm,rSe m ( , qm,r )sem( , qm,r )

cos(wt  z)

HГ"

a ²

w8 Cm,rCem( , qm,r )ce'm ( Ф, qm,r )

g g ed  Sm,rSem( , qm,r )se'm ( Ф, qm,r )

> sin(wt   z)

w3 8 k 1 Cm,rCe'm ( , qm,r )cem( Ф, qm,r ) g g ed Sm,r Se'm ( , qm,r )sem(Ф, qm,r )

cos(wt  z)

Hф -

a2  w 8 Cm,rCe'm ( , qm,r )cem( Ф, qm,r )

g2g2 ed  Sm,rSe'm ( , qm,r )sem(ф, qm,r )

w3 8 k 1 Cm,rCem( ^, qm,r )ce'm ( Ф, qm,r ) g g ed Sm,rSem( , qm,r )se'm ( , qm,r )

sin(wt  z)

cos(wt  z)

H z 0 .                                         (24)

''

Здесь Cm,r и Sm,r - константы; Sem  ,qm,r   и Cem V,qm,r  - соответственно первые произ водные нечетных и четных модифицированных периодических функций Матье целого порядка m с ''

действительными b и q ; sem V,qm,r и cem V,qm,r - первые производные нечетной и четной обык- новенных периодических функций Матье целого порядка m с действительными b и q .

Теперь рассмотрим решение волнового уравнения НЕ- волны. Как и для случая ЕН- волны, первое уравнение системы (9) решается методом разделения переменных:

d ² E dф ² d ² E d § ²

+ b  2 q cos2 фEф = 0;

b 2 qch 2 E f = 0.

Это уравнение совпадает с выражением (11), только здесь значение q отлично от случая ЕН - волны и имеет вид:

q

^ || g ² g ²

4 c ²

e ²

.

Граничное условие для НЕ - волны:

H z

^-^0

Поступая как для случая ЕН - волны получаем:

H z

Cm,r Ce m ( ^,qm, p )cem (ф,qm, p )

cos( wt z ) .

Sm,rSem ( ^,qm, p )sem (ф,qm, p )

где m 0 для Ce_m , ce_m и m 1 для Se_m , se_m и p 1 .

Применяя к соотношению (28) формулы системы (7) для НЕ – волны, получаем следующее распределение полей:

E    q2 w g2g2 ed 2wk 1 g2g2 ed Cm,rCem( ,qm,p )ce'm ( ,qm,p ) sin(wt  z) Sm,rSe'm ( ,qm,p )se'm ( ,qm,p ) (29) Cm,pCe'm ( ,qm,p )cem( ,qm,p ) S    Se'  ( ,q    )se ( , q    ) g g ed Sm,pSem ( ,qm,p

q 2 w E   g 2 g 2 ed 2 wk 1 g 2 g 2 ed	C m,p Ce' m ( ,q m,p )ce m ( ,q m,p ) S m,p Se' m ( , q m,p )se m ( , q m,p ) C m,p Ce m ( ,q m,p )ce' m ( ,q m,p ) S m,p Se m ( , q m,p )se' m ( , q m,p )	sin(wt z) cos(wt   z);	(30)
	E z =0 ;		(31)
a 2   1 H g 2 g 2 ed w 2 k 1 g 2 g 2 ed	Cm,pCe'm ( ,qm,p )cem( ,qm,p ) Sm,pSe'm ( , q m,p )sem( , q m,p ) Cm,pCem( ,qm,p )ce'm ( ,qm,p ) Sm,pSem( , q m,p )se'm ( , q m,p )	sin(wt z) cos(wt z);	(32)
a 2   1 H   g 2 g 2 ed w 2 k 1 g 2 g 2 ed	Cm,pCem( , qm,p )ce'm ( ,qm,p ) Sm,pSem( , q m,p )se'm ( , q m,p ) Cm,pCe'm ( , qm,p )cem( ,qm,p Sm,pSe'm ( , q m,p )sem( , q m,p	sin(wt z) ) cos(wt z);	(33)

H z

C_m,pCe_m( , q_m,p )ce_m( , q_m,p ) S_m,pSe_m( , q _m,p )se_m( , q _m,p )

cos( wt z ).

Здесь q m , p и   q m , p - p -е корни уравнений, C m , _p и S_m , p - константы.

Вследствие того, что волновое уравнение решается методом разделения переменных, необходимо, чтобы поперечные волновые числа:

K2 K2  K2,

где K ² b 2 qch 2 , K ² b 2 q cos 2 , a ² w ^{2 2} , а K ² - поперечное волновое число, т.е. выражение, стоящее перед E_z (для обыкновенной волны) или H_z (для необыкновенной волны).

Используя выражение (8), получим:

K ² K ^{2 g g} e ² ch 2    cos 2   .

2 a ²

Решая (36), получим дисперсионное уравнение ЕН - волны эллиптического волновода с ферритовым заполнением при продольном подмагничивании:

1 , 2

2 q w ²

e ²

4 q ² w ⁴ e ² k ²

e ⁴

.

Как и в предыдущем случае, используя выражения (35) и (9), получим следующее дисперсионное уравнение НЕ - волны эллиптического волновода с ферритовым заполнением при продольном подмагничивании:

z1,2

w ² ВЦ —

² E^q И _|| e ²

422  ⁴Л/ ² q ²

ws ² k ²

И | ² | ^{e 4}

4 w ² 8k ²

M _|| e ²

Выводы

Получены дисперсионные уравнения (37) и (38), определяющие связь между геометрией структуры и электромагнитными параметрами гиротропной среды. Обычно при анализе дисперсионного уравнения численно получают выражение для дисперсии волновода при различных параметрах. Также определяются частота отсечки, наиболее эффективно работающие моды, что позволяет построить эпюры распределения полей внутри волновода с помощью уравнений (19)-(24) и (29)-(34) для ЕН и НЕ – волн соответственно, найти наиболее опасные с точки зрения пробоя участки волновода.