Обычные решения необычной задачи

The article deals with two approaches of resolving of the most difficult problems of C6 type from USE-2012 in Mathematics, which are close to the method of drawing up a simple mathematical model of a texted problem that is usual for 7-8 grades of a secondary school. In the present case the two linear inequalities are the mathematical core of the model.

В статье приведены два способа решения одной и той же задачи С6 из ЕГЭ-2012 по математике. При этом первый способ повторен дважды: сначала так, как автор бы его рассказывал на уроке или на лекции, а во второй раз так, как автор бы его записал на самом экзамене, т. е. в лаконичном виде. Есть две причины, по которым, на наш взгляд, стоит обсудить эти способы решения. Во-первых, решение, предложенное Федеральной предметной группой в материалах ЕГЭ, производит впечатление некоторого трюка и зачастую непонятно даже довольно образованным людям. Во-вторых, оно создает иллюзию того, что для решения заданий С6 на ЕГЭ-2012 надо было приложить некие суперинтеллектуальные усилия. Решения в этой заметке выдержаны в том стиле, в котором в обычной школе обычно решают длинно-текстовые задачи: все переменные обозначить буквами, записать условия в виде уравнений или неравенств и после этого работать с построенной математической моделью. Все ходы этих решений, за исключением одного момента в каждом из решений, являются обычными преобразованиями линейных неравенств, которыми занимаются на обычных уроках математики. Но для начала процитируем условие задачи.

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что 4

в театре мальчиков было не более т— от обще го числа учащихся группы, посетивших театр, а в 2

кино мальчиков было не более - от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

• а)    Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе

было 20 учащихся?

• б)    Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

• в)    Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Начнем с самого сложного, с пункта в): ведь мы собираемся решить и его. Введем обозначе ния для чисел мальчиков и девочек, которые посетили только кино, кино и театр, только театр:

	Только кино	И кино, и театр	Только театр
Мальчики (М)	X	У	z
Девочки(D)	а	ь	с

Первый способ решения

Наша задача состоит в отыскании наименьше, D п го значения дроби-------. Для начала запишем М + D условия задачи через введенные переменные. В театр сходили y + z мальчиков и и + С дево- чек. В кино сходили X + у мальчиков и а + Ь девочек. Поэтому у + Z < —(у + Z A-b + с) и "      2             13

X + у < —(x А- у A-a A-b\

He очень понятно пока, что можно сделать с этими неравенствами. Но совершенно ясно, что стоит их упростить (привести подобные). Да-„                  9          4

ваите это сделаем: _z_^y_\__z^< Тт(& + с)

3         2     13"    ' 13'    '

У + Z < — (Ь + с) - мальчики слева, девочки справа.

Дальше преобразовывать нечего и для решения нужно что-то новое. А что самое простое можно сделать с двумя неравенствами? Сложить их! Давайте попробуем:

O + .y) + (T + z)< ^(b + c)+^a + b),

, ~      , 2 ЛО, 4

xA-zyA-z < — aA--DA c.

y 3    9    9

И что дальше? Вот тут присутствует один, действительно нетривиальный ход в решении. Вернемся к тому, что нас интересует по условию задачи: к соотношению между числом девочек (D) и числом мальчиков (М). В левой и правой частях полученного неравенства

, ~      , 2 ЛО, 4

XA-ZyA-Z < — аА--ЬА--С у 3    9    9

есть что-то похожее на М = X А- у A- z

D = а + Ъ + С . Есть, но не то. Однако ничего луч- ше у нас нет, и точно не будет. Запишем то, пока получается:

M = XA-yA-Z

< ^aA-^-bA- ^-с < э 99

что

£>+6+с)=^■<•>

Значит, М SУра, что-то, кажется, выходит:

M + D<^-D + D.

'.id^d.

D 9

M + D-19

Возможно ли равенство __^.

M + D 19

Только, если М =     • А последнее возможно только, если в (*) все неравенства на самом деле являются равенствами. Но это происходит только тогда, когда у = 0, а = О, С = 0 : если бы одно из этих чисел было положительным, то в (*) появилось бы строгое неравенство.

Итак, пример ищем в ситуации:

	Только кино	И кино, и театр	Только театр
Мальчики (М)	X	0	Z
Девочки(D)	0	D	0

D

Чтобы достичь равенства

-----= — ?

M + D 19

стоит попробовать D = 9, М = X + Z = 10, а из

4 / ,      . , . х                 4 , .

y + z=—(y + z + 6 + с)или z=—(z + 9)

получаем z = 4. Соответственно, X = 6, и тогда

m

е

х + у = —(х + у + а + Ь) или 6 = ^(6 + 9) •

Ответ: — .

с m

Краткая запись решения

в) Пусть в группе М мальчиков и D девочек, распределенных так:

и

	Кино	КиТ	Театр
м	X	У	z
D	а	ь	с

По условию

К

о

y + z<-(),+z+b+c),

/X                   Д                            Д

^(Т + ^)^(£ + с)-Т + ^^(£ + с)-у + z < — D, хА-у< у (х + у + а + 6) , ^х^у^<^а*Ь^, х + у<^{а + Ь\ x + y<^D.

Значит, 7l/ = x + y + z<(x + y) + о о

S

+ (y + z) < ^D + ^-D , М <—D И ⁷      3      9    '        9

D_>9_^{у   у}

М A- D ^— 19 •^{Если или} Т > 0, или а > О,

илие>0,то^<^Д и —>5-. 9 M + D 19 о              D    9 Значит, равенство ——— = — возможно толь-M^D 19 КОприу=а=с = 0. Вот пример:
м	6	0	4
D	0	9	0
б) и а) Так как Л/+ Z) = 20

11 - х< ^(11 - х + 9 - а) • Значит, х > 7

и11>11-^ = (11-х-у) + ^>7 + 5.

Противоречие, т. е. случай М = 11 невозмо-

жен.

Аналогично

проверяются

случаи

М = 12,13,...

Ответ: б) 10.

Приведенное решение б) легко

перевести

и D>0,9M,to20>1,9M и М<^,

М< 10. Вот пример, когда М = 10,

4    4    6 ^2

в нем-----< —, -----< —:

4 + 10 13 6 + 10 5

м	6	0	4
D	0	10	0

Ответ: а) может; б) 10; в) _2_.

В приведенном способе решение б) использует решение в). Можно привести решение б), независимое от в). При этом решение а) получается, как и в образце от Федеральной предметной группы, подбором.

Второй способ решения

• а)    Все условия выполняются при распределе

нии:

	К	КиТ	т
м	6	0	4
D	0	10	0

Ответ: может.

• б)    Пусть 11 мальчиков и 9 девочек распределены так:

	К	КиТ	т
М	X	у	11-х-у
D	а	ь	9-а-Ь
Тогда Х + у	.2,        „ <— (х + у + а + Ь),

3 ,      .   2 ,     „            2 ,

^x-vy^^a-vby х + у<^(а + Ь),

И

Х + у<|.9 = 6. Значит И-х-у >5.

в общий случай и получить второй способ решения в). Вот он.

в) Пусть учащиеся распределены так:

	К	КиТ	т
м	X	у	М-х-у
D	а	ь	D-a-b

Тогда х + у < —(х + у + а + Ь),

<2 " 5 ¥

Значит, М-х- y>M~D.

Аналогично, М - X < ^(М - X+ D - а),

M-x<^(D-a)<^D.

Значит^ > М-^D и М>М-у = (М-

-х-+х> М--D + М--D. 39

.-I       Л/Г Ю _nD

9 M^D 19

п

Пример достижимости равенства= —

М + D 19 находится, как и выше.

В заключение отметим, что общая техника обсуждаемых решении несколько напоминает то, как в высшей школе решаются простейшие экономические задачи, задачи линейного программирования.

Аналогично,

11-л<|(9-а)<4,

^(Ц-т)<А(9-«),