Обзор математических моделей, описывающих процесс транспорта примесей и одиночных частиц в потоке жидкости

Одной из важнейших задач научного приборостроения является выделение компонентов в жидких смесях. В этой связи представляют интерес закономерности транспорта дисперсных смесей в гидродинамическом потоке растворителя. Настоящая работа посвящена обзору математических моделей, описывающих процесс транспорта примесей и одиночных частиц в гидродинамическом потоке.

ДИСПЕРСНЫЕ СМЕСИ

Как правило, среды, встречающиеся в природе, не являются однородными. Их называют многофазными (гетерогенными) средами (смесями). К ним можно отнести газовзвеси, аэрозоли, суспензии, эмульсии, жидкости с пузырьками газа, композитные материалы, насыщенные жидкостью и газом, грунты и т. д. Они характеризуются, в отличие от гомогенных смесей (смесей газов, растворов, сплавов), наличием макроскопических (по отношению к молекулярным масштабам) неоднородностей или включений. В гомогенных же смесях составляющие перемешаны на молекулярном уровне. На границах раздела фаз в гетерогенных средах возможны фазовые переходы и химические реакции. Различия свойств отдельных фаз играют важную роль в динамике таких сред.

Основой для описания течений в гетерогенных средах является гипотеза взаимопроникающих континуумов, предложенная Х.А. Рахматулиным [1]: многокомпонентная гетерогенная среда представляется совокупностью N сплошных сред, каждая из которых описывается своей скоростью, плотностью, удельной внутренней энергией, давлением, температурой и т. д. Это положило начало использованию методов механики сплошных сред для описания различного рода смесей с привлечением идеи механики взаимопроникающих (многоскоростных) континуумов и определением взаимопроникающего движения составляющих смеси. Близкие результаты были получены К. Труссдел-лом в 1957 г. [2, 3].

Далее в работах Р.И. Нигматулина, в частности [4–6], эта идея последовательно развивается. Отметим также некоторые другие работы [7–12], посвященные этой тематике, библиография которой весьма обширна и достаточно полно приведена в упомянутых работах.

Динамика среды при таком подходе изучается с помощью систем уравнений сохранения массы, импульса и энергии для компонент смеси.

Согласно работам [4, с. 9] и [5, с. 15], наиболее изучены двухфазные дисперсные среды, одна из фаз которых, называемая дисперсной , — капли, пузырьки или твердые частицы. Различают следующие виды дисперсных смесей:

– суспензии — смеси жидкости с твердыми частицами;

– эмульсии — смеси жидкости с каплями другой жидкости;

– газовзвеси — смеси газа с твердыми частицами.

Окружающая несущая фаза (жидкость или газ) называется дисперсионной фазой .

В литературе наряду с динамикой многофазных сред рассматривается и динамика одиночных частиц в потоке жидкости. Изучение динамики одиночной частицы в потоке жидкости важно для описания дисперсной среды в целом и представляет самостоятельный интерес [10]. Известно [12, с. 5, 6.], что траектория частицы в общем случае не совпадает с траекторией жидкой (лагранжевой) частицы из-за эффекта инерции. Если (массовая) концентрация С частиц достаточно мала (C < 10-2) и не происходит процессов перехода одной фазы в другую и химических реакций, то воздействие частиц на несущую жидкость осуществляется благодаря силе трения, возникающей из-за наличия проскальзывания, т. е. отличия скорости отдельно взятой частицы от локальной скорости жидкости.

Начнем с описания динамики одиночных частиц.

а ij

= Ц

д U - д и , --+ —- дx,    дx.

ji

где µ — динамическая вязкость жидкости.

Далее используется гипотеза о несжимаемости жидкости. Поля скорости и давления U ( r , t ) и p ( r , t ) удовлетворяют уравнению Навье— Стокса, которое в координатной записи имеет вид

ρ f

Vй+и k U1 ( д t       дхк )

д Р ,   л Гт ,

-— + Ц^и, + рfg,, дx,

i = 1,2,3,

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ОДИНОЧНОЙ ЧАСТИЦЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

где р f = const — плотность жидкости; по повторяющемуся индексу к = 1,2,3 осуществляется суммирование. Поле скорости жидкости удовлетворяет условию несжимаемости

Теория

Изложенная ниже теория движения одиночной частицы в несжимаемой вязкой жидкости, а также подробный обзор публикаций приведены, например, в работе [12]. Изложим в общем виде строгую математическую постановку задачи о движении одиночной частицы в несжимаемой вязкой жидкости (попутно исправляя опечатки оригинала). Полагаем далее, что в отличие от [12] частица не обязательно является сферической.

Рассматривается частица с границей Sp , плотностью ρp , с координатой rp (t) , движущаяся со скоростью dry = V( t). (1)

d t

Пусть U ( r , t ) и p ( r , t ) — невозмущенные скорость течения и давление, которые имели бы место в однофазной жидкости, а U ( r , t ) и p ( r , t ) — соответствующие поля, возмущенные наличием частицы. Уравнение для скорости частицы имеет вид

—

V- U = 0.

Граничные условия для поля скорости U на поверхности твердой частицы задаются условиями непроскальзывания (прилипания) жидкости

UI = V . (5)

I s = S p

На расстояниях от поверхности частицы, многократно превышающих ее поперечный размер, скорость и давление равны

U| = и, pl = p, Ir ,/ ' lr >v где U и p — невозмущенные поля течения при отсутствии частицы, удовлетворяющие системе уравнений

ρ f

д U.     д U,

+ U_k— ^{д x}k

v д t

i = 1,2,3,

д p

^-^ + ^Ц^ ^U - ^{+ P} f^g- ,    /7 4

дx ,                f          (3 а)

V- U = 0.                  (4а)

dV mp — = mpg- + dt

f n , ^{( - p} 5 + < r , )d $ .

S p

Здесь i, j = 1,2,3, x = x, x2 = y, x3 = z; mp — масса частицы, легко рассчитываемая по ее плотности и объему; gi — i -я компонента ускорения силы тяжести; — производная вдоль траекто-dt рии частицы; n — вектор внешней нормали к поверхности Sp. Тензор вязких напряжений т, равен

Частица привносит локальное возмущение в течение жидкости благодаря условию прилипания на ее поверхности.

Принимаются следующие представления

U - U = U d , p - p = p ^d .

Здесь поля ( U ^d , p ^d ) представляют собой соответствующие возмущения исходных полей без частицы ( U , p ), вызванные наличием частицы. Тогда поля U ^d и p ^d удовлетворяют следующей системе уравнений:

ρ f

—

r^i +u- U-

_V d t         d x k

- ^p- + ц А U,^d ,

5 x i

+ U k^{d U} + U k ^d x k

k

d U ^{d d} x k

= P f

^ U^- + U k U + U ^d ^ U ^+ u V a t        a x k

k

a x k

k

a u ,^d a x k

Подстановка (9) в (2) с учетом последних равенств приводит к итоговому уравнению

V- U ^d = 0,      U ^d|     = 0,     p^d\    = 0.      (7)

r ^^                lr ^^

Далее вычисляется поверхностная сила f nj (—p5, + С, )ds в (2), действующая на частицу: Sp f n,(—p 5 + <7 , )d$ = f nj(—p5 y + ay )d$ +

S p                               S p

⁺ f n j ^{( — p 5 + c )d s} ,   (8)

Sp где соответствующие тензоры вязких напряжений равны

<7

ij

= Ц

U +№, dx,   dx ji

(aud audy) + dx,     ax.

ji

После применения теоремы Гаусса—

Остроградского к поверхностным интегралам в (8)

dV pp It" = p f

⁺ ^ -^{( p} p ^{— p} f ^{) +} F ^d L

для решения которого необходимо нахождение полей ( U , p ) и ( U ^d , p ^d ) из соответственно краевых задач (3а), (4а) и (6), (7).

Одним из случаев, когда решения граничной задачи для поля возмущения U ^d и p ^d (6), (7) и выражение для силы F ^d (11) могут быть найдены аналитически, является случай, когда движение частицы происходит в стоксовом режиме, а это означает здесь, что наряду с условием малости диаметра частицы ( d / L ^ 1) должны выполняться следующие условия [ 13 ] :

– число Рейнольдса частицы в относительном потоке мало получаем

f n , ^{( — p} 5 , + ^c ij )d $ = J ^—| p + ц ^{А u}, I d V +

S p                     n p V ^d x          )

+ f⁽ —+ Ц А u d V , (8а) Q p V ^d x          )

где Q _p — объем частицы. Далее, используя пред-

р     V o — U 0L1

Rep = dJ---------1 < 1, pν

– отношение ε квадрата диаметра частицы d2 к квадрату характерного масштаба пограничного νL слоя в окрестностях частицы мало

положение о том, что размер частицы много меньше характерного пространственного размера несущего течения L (для сферического включения диаметром d это условие имеет вид d / L ^ 1), из (8а) получено

U d ²

s = —— <<  1, Lν

^n , ( — p5 j + < г ij )d 5 = Q p ( F , + F ^di )    .     (9)

S p                                                                        r p

Здесь r _p — геометрический центр частицы.

где U0 и V0 — характерные масштабы скорости жидкости и частицы соответственно. При этом UL Ud числа Рейнольдса несущего течения 0 и 0 νν могут быть немалыми.

Решение задачи (6), (7) получено в работе [ 13 ] .

Выражение для F ^d имеет вид

Из (3а) и (6) находим

Fd

F , =—| p + ц А U , = p _f d x ,

—

gi

^{— P} 2^L d t ^{( Q ( r (} t ) - t ⁾⁺ d o ^{A U} )- ^— 18 ^?^ v ^{Q ( r (} t ) , t ^{) —} 9 5^ ^| x

Fd =—^p_ + цА Ud, = ii dx, xJ ^(Q(r(t') ■ t')) т

где

Q ( г ( t ) . t ) = V ^— U ( r ( t ) . t ) ^— d^ A U ( r ( t ) . t ) . ⁽¹⁶⁾

Слагаемые в правой части (15) соответствуют в порядке следования силам присоединенной массы, вязкого трения Стокса и силе Бассе (о силе Бассе см. в [14, с. 131, 132]).

Для анализа решения уравнения движения частицы (12) его удобно переписать в безразмерных переменных, например, нормированных на масштаб скорости и времени U 0 и T = L I U 0 . в виде

смещение относительно линий тока несущей жидкости. Из (17) также следует, что характерное время, за которое происходит это смещение, оценивается как T 111 — 5 |.

Если произведение s5 ~ 1. то сила инерции частицы сравнима с силой вязкого трения и тяжести. В этом случае движение частицы определяется ее инерцией и силами вязкого трения и тяжести.

dV so — _ s

d t

D U         ε d

IE ^{+( o} - 1 ) ^{g —} 2d t ⁽ V - U )

—

—

9 (V — U)—2 ^

X

X

[ A (v—и (r i dt'(       (

(t'). t'))

d t '

t

—

t '

,

где

Рассмотрение частного случая

В работе [16, с. 116, 117] рассматривается одномерное движение сферической частицы радиусом a в следующем виде:

^{4 n} a³ P p dV ^{_ —} 6 ^п Ц ^а V + F ext . (1 9) 3 d t

Здесь V ( t ) — скорость частицы; — 6пца V — сила вязкого сопротивления Стокса при движении частицы со скоростью V ; F_ext — некоторая внешняя сила. В предположении того. что F ext _ const и V| t _ 0 _ 0. в [16] получено следующее решение:

⁵ = P p I P f ; g ' = ^s gd ² / ( vU о ) ;

D U =5 U. + ( и .v ) и

Dt   dt V ’ или в тензорной записи

V ( t ) _ -ext^ 6пца	( 1 — exp I	( — V	9 Ц ) 2 P p a 2 A
F __      ext 6 πµa	J — exP	^ V —	t )) — . т ))

DU, d U,     d U,

---L = —L + Uk —*-.

Dt    5 t      5 x_k

( x , . x ₂ . X 3 ) = ( x . y . z ) .

Далее следуют некоторые результаты анализа уравнения (17), заимствованные из [15].

Диаметр частицы предполагается достаточно малым (см. условие (13)), что позволяет считать

поправки, пропорциональные

d2 AU ~ Uo4

0 L 2

Конкретизируем уравнение (19). Примем допущение о том, что частица находится в стационарном плоском потоке жидкости, двигающемся с постоянной скоростью U . Тогда силу F_ext можно принять равной соответствующей силе Стокса, воздействующей течением на частицу

^Fext ^_ 6 ⁿ ^a ^U .

в формуле (16) (поправки Факсена), пренебрежимо малыми. Время релаксации частицы в стоксовом

или после подстановки этого выражения в (19) получаем

режиме определяется так:

. _ do p _ 18v "

V (t)_ UI 1 — exp I —

t

τ

(20а)

Из анализа (17) следует. что при 5 _ O (1) сила вязкого трения (сила Стокса) преобладает над инерционными силами (связанными с градиентом давления и эффектом присоединенной массы). Это означает, что скорость частицы быстро за время релаксации т_p <<  T подстраивается под скорость окружающей жидкости. В общем случае плотности частицы и несущей жидкости не равны p p ^ р f и инерция частицы обусловливает ее

В работе [16] показано, что фигурирующее

в решении (20) время релаксации т _

2 ρ_pa ² 9 µ

, харак-

теризующее стабилизацию процесса при ρ_p , при-

мерно совпадающей с плотностью воды ρ_f , и a ~ 5 мкм равно т _ 5 мкс. Тогда из (20а) следует. что через время T ~ 2.т _ 10 мкс частица практически достигает стационарной скорости течения V _ U .

Как видно из изложенного, уравнение (19) аппроксимирует общее уравнение (12) в стоксовом режиме при 5 = p p I p f = O (1) и малом радиусе частицы, когда сила вязкого трения (сила Стокса) преобладает над инерционными силами (первый член справа в (12)), а также, когда в (15) можно пренебречь эффектом присоединенной массы и силой Бассе, а в (16) поправкой Факсена. Кроме того, в (19) не учитывается поле силы тяжести, что, впрочем, легко устраняется.

Таким образом, при выполнении соответствующих условий, сложное уравнение для траектории частицы (12) вполне аппроксимируется упрощенным уравнением (19).

МЕХАНИКА МНОГОСКОРОСТНЫХ КОНТИНУУМОВ

Согласно [1–9 и др.], описание методами механики сплошной среды различного рода смесей, и гомогенных, и гетерогенных, связано с введением понятия многоскоростного континуума и определением взаимопроникающего движения составляющих смеси.

Согласно, например, [4], многоскоростной континуум представляет собой m континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или компоненте) смеси и заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Для каждого из этих составляющих континуумов в каждой точке определяется обычным образом плотность (приведенная) ρ_i (масса i -составляющей в единице объема среды), скорость v i ( i = 1,..., m ), а затем и другие параметры, относящиеся к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким образом, в каждой точке объема, занятого смесью, будет определено m плотностей ρ_i , m скоростей v _i и т. д.

Вводятся также параметры, характеризующие смесь целиком, а именно плотность смеси ρ и среднемассовая скорость смеси v :

mm

Р = Z P i ,    Р ^v = Z P^v i .         ⁽²¹⁾

i = 1                                    i = 1

Вводятся диффузионные скорости W _i , представляющие собой скорости движения составляющих относительно центра масс смеси m

W = v i - v ,   ( Z P , W , = 0).        (22)

i = 1

Механика смесей строится на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Дифференциальный закон сохранения массы каждой составляющей имеет вид [4, с. 15]

dp-m

— + V-(Pivi) = ZJi,      i =1,-,m .

d t

Здесь J_ji характеризует интенсивность перехода массы из j -й в i -ю составляющую (или наоборот из i -й в j -ю; тогда J i <  0). С учетом (21) и (22) закон сохранения массы (23) записывается так [4, с. 15]

m

• -p- + V- ( p i ( v + W i ) ) = Z J j, , i = 1,..., m . (24) ^d t                                j = 1

Если просуммировать (23) или (24), учитывая (22), то получается закон сохранения массы смеси в целом, имеющий обычный вид, как в односкоростном случае [4, с. 16]

• d p + V- ( p v ) = 0.             (25)

Закон сохранения импульса в дифференциальной форме для i -й фазы имеет вид [4, с. 16] (здесь и далее в отличие от оригинала в качестве массовой силы рассматривается только сила тяжести)

(dv p —L + (v, -V) v, = ‘

m

• =-V- °“+pg+Z(Pji- Jj-v i )•

j = 1

Здесь P _ij — интенсивность обмена импульсом между j -й и i -й фазами; σ_i ^kl — тензор поверхностных сил (напряжения) i -й фазы; g — вектор ускорения силы тяжести. m

Если принять с т = Z o i , то после суммирова- i = 1

ния (26) по m получаем уравнение импульсов среды в целом [4, с. 17]

(d v z z A p l — + ( v, -V ) v, =

(d t         i J

m

• = -V- o k + p g - Z V- ( p , W , W i ) .      (27)

i = 1

Здесь W _i W _i — аффинор и операция вычисления дивергенции, определяется так:

• V- ( p - W , W , ) = V- ( p , W , ) W i .

Уравнение импульсов среды в целом уже в отличие от уравнения неразрывности среды в целом зависит от относительного движения составляющих.

Закон сохранения энергии i -й фазы сводится к выражению [4, с. 18]

d

ρ i _{d t}

к

u, +v i2

= V'( ci

- qi) + Pig • vi+

m

+z

j = 1

f      V²'

Eji - Ъ U +1

к        ².

Здесь E_j — интенсивность обмена энергией между -й и j -й фазами; u — внутренняя энергия единицы массы i -й фазы; v i = |v i |; c i — вектор плотности поверхностных сил (напряжений); q _i — вектор плотности потока тепла в i -й фазе. После суммирования в (28) по всем фазам получается уравнение энергии смеси в целом [4, с. 18]:

m

P+Zv-(WP.Ei)=

m

= V • (c - q) + Pg • v + g • ^(WiPi), i=1

где

v 1 ^m

E = u +1^^

2 P

^ρ i^Wi ²

,

m c = Z c, i=1

m q=E q i,  Wi = IW I- i=1

Как видно, решение задачи определения взаимопроникающего движения составляющих смеси методами механики сплошной среды с введением понятия многоскоростного континуума представляет собой очень трудоемкую задачу решения системы связанных (в том числе нелинейных) уравнений в частных производных (23)–(25), (27) и (29). Ситуация существенно упрощается для так называемых бесконечно разбавленных растворов [17]. В этом случае система указанных уравнений сводится к уравнениям неразрывности (25) и На-вье—Стокса (27) для растворителя, уравнение сохранения энергии (29) трансформируется в уравнение теплопереноса, а закон сохранения массы примеси (23) трансформируется в уравнение мас-сопереноса. Обо всем этом подробно написано в работе [18].

Отметим, что теория разбавленных растворов обладает многими аспектами, которые лишь слегка видоизменяются в более общей теории концентрированных растворов [17, с. 276].