Оценивание состояния электроэнергетических систем по неквадратичным критериям при ограничениях в форме равенств

Решение аналитических задач оперативного контроля и управления электроэнергетическими системами (ЭЭС) возможно лишь при наличии оперативной модели ЭЭС, формируемой в темпе процесса по данным измерительной информации о положении коммутационной аппаратуры и значениях параметров режима. Эта модель необходима для анализа надежности ЭЭС, оптимизации и коррекции режимов, проведения различных имитационных расчетов, связанных с проверкой различных прогнозируемых ситуаций и т.д. Ключевым этапом построения оперативной модели ЭЭС является оценивание ее состояния, подразумевающее нахождение статистических оценок параметров режима, удовлетворяющих некоторому критерию качества. Выбор критерия определяется предположениями о вероятностных свойствах и характеристиках ошибок измерений, неизбежно присутствующих в исходной информации. Традиционно в качестве критерия качества оценок используют минимум суммы взвешенных квадратов невязок измерений, полагая, что ошибки следуют нормальному закону распределения. Благодаря удобным для использования методов минимизации вычислительным свойствам квадратичной функции эта постановка получила самое широкое развитие в работах как отечественных, так и зарубежных исследователей [1-3].

В Отделе энергетики ИСЭиЭПС Коми НЦ УрО РАН разрабатываются методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям. В отличие от оценок наименьших квадратов, неквадратичные оценки обладают важным с практической точки зрения свойством робастности [4]: они малочувствительны к нарушениям исходных предположений о распределении ошибок, в том числе к появлению больших непредсказуемых ошибок, возникающих в результате отказов элементов или сбоев в системе сбора и передачи измерительной информации. Вместе с тем, вычислительные свойства задачи существенно отличаются от свойств задачи с квадратичным критерием. В работе [5] был представлен численный метод, демонстрирующий высокую скорость и надежность сходимости вычислительного процесса минимизации неквадратичной функции невязок измерений, основанный на модификации метода Ньютона и применении процедуры расчета оптимального шагового множителя. В данной работе выполнено развитие метода для решения задачи оценивания состояния ЭЭС с ограничениями в форме равенств.

Введение в задачу ограничений в форме равенств вызвано наличием в информации о режиме функционирования ЭЭС детерминированных компонент, таких как нулевые инъекции транзитных узлов. В этих узлах нагрузка и генерация отсутствуют. Таким образом, значения активной и реактивной мощности в них тождественно равны нулю, Pi ≡ 0 , Qi ≡ 0 . Большое количество ограничений-равенств возникает при разворачивании расчетной схемы ЭЭС до уровня коммутационных схем отдельных станций и подстанций, связи соединений в которых имеют сопротивление либо ноль (выключатель замкнут), либо бесконечность (выключатель разомкнут). Моделирование таких связей в задаче оценивания состояния ЭЭС соответствует заданию тождеств AUij = 0, А5у = 0 в первом случае и Ру = 0, Qy = 0 во втором, где AUij и АЗу - разность модулей и фаз напряжений по концам связи i-j, Pij и Qij – перетоки активной и реактивной мощности через выключатель [6].

Методы учета ограничений, излагаемые ниже, следуют подходу, основанному на использовании множителей Лагранжа. Эти методы хорошо себя зарекомендовали для решения задачи оценивания состояния ЭЭС по критерию наименьших квадратов [7, 8] и могут быть эффективно применены при использовании неквадратичных критериев. Представленный материал ограничен рассмотрением неквадратичного критерия Хьюбера. Обобщение на другие критериальные функции, имеющие непрерывную кусочно-линейную функцию производной, не представляет труда.

где a >  0 . В общем случае слагаемые под знаком суммы, как и аргументы функции (3), могут иметь различные весовые коэффициенты, улучшающие робастные свойства оценки в условиях неоднородности параметров сети и неравноточности измерений [4].

Решение задачи осуществляется итеративным путем. Переход к очередному приближению вектора состояния в соответствие с вычислительной формулой xk+1 = xk + tkpk , (4) где k – номер итерации, включает нахождение направления поиска pk и длины шага tk , с которым надо двигаться вдоль этого направления.

Расчет направления поиска

Формулировка задачи

Для известных топологии и параметров расчетной схемы ЭЭС модель измерения имеет вид:

y = y ⁽ x ⁾⁺ 5 .

где y – m -мерный вектор измерений, состоящий

Рассмотрим три варианта определения направления p_k , когда задача оценивания состояния ЭЭС содержит ограничения в форме равенств. Все они приводят к различным системам линейных уравнений относительно p_k .

Метод функции Лагранжа. Для задачи (1-2) введем функцию Лагранжа m

L ⁽ x • Л ) = E Р ⁽ r ^{( x )) —} ^с ^{( x} ) .

где λ ri(x )=(yi —

–

i = 1

вектор множителей Лагранжа,

yi ( x ))/ o i . Тогда необходимые условия

обычно из измерений перетоков активных P i-j и реактивных Q i-j мощностей по связям, активных P i и реактивных Q i мощностей нагрузки и генерации, модулей напряжений U i на шинах и др.; x – n -мерный вектор истинного состояния ЭЭС, в качестве компонент которого обычно рассматривают составляющие комплексов напряжений, а также перетоки мощности через выключатели; у ( x ) - m -мер-

оптимальности задачи записываются в виде условий Куна-Таккера:

^ = — H T R ^—V2 ^ ( r ) — C T X = 0, d x

‘

d L

6Х

—J

■ c ⁽ x ) = 0,

ная нелинейная векторная функция зависимости измеряемых параметров от вектора состояния x ; ξ – m -мерный вектор ошибок, обусловленных погрешностью измерительных трансформаторов, преобразователей, возникновением помех в каналах передачи и пр. Ограничения в форме равенств представляются в виде множества уравнений вида:

c (x) = 0 , где c(x) - 5-мерная нелинейная векторная функция.

Задача оценивания состояния ЭЭС заключается в нахождении оценок состояния вектора x ˆ , который минимизирует неквадратичную функцию взвешенных невязок измерений и удовлетворяет ограничениям c ( x ) = 0 , т.е.

m I V — V; (x) I минимизировать Ep ——i-^-1

i=1 I    °iJ при ограничениях      c(x) = 0 ,(2)

где H = d у ( x )/ d x и C = d c ( x )/ d x - матрицы Якоби уравнений измерений и ограничений соответственно, R = diag ( o i ²) - дисперсионная матрица ошибок измерений, ^ ( r ) = [^ ( r 1 ), ..., ^ ( r m ) ] T - вектор-функция, образованная из функций ^ ( r ) = p '( r )

Для решения системы нелинейных уравнений (5) применим модифицированный метод Ньютона [5]. Линеаризуем (5) в окрестности текущей точки x _k , полагая, что матрицы Якоби в процессе линеаризации постоянные, т.е. H ( x_k + p_k ) ^ H_k и C ^{( x} k ⁺ p k ) ~ C k ^:

V ⁽ x k ⁺ P k ) ~ V ⁽ x k ^{) +} H k P k ,

V(r(xk + Pk)) ~ V(r(xk))— D~kR-V2HkPk , c (xk+Pk)~c (xk)+CkPk, где D~ = diag(~i(r))»diag(p"(r)) и получим систему линейных уравнений

где σ_i – среднеквадратичное отклонение ожидаемой ошибки i - го измерения; p Q - неквадратичная функция Хьюбера:

r 2

p ( r ) -1г         при r ⁵ a,

|r | • a — a 2/2, при | r | >  a ,

Т 1 ~

HkR—1DkHk

Ck0

—

pk

4 t + 1

1Г H k R -'- > ( r ( x k )) J = L — c ( x . )

.

Замена функции второй производной p "( r ) неквадратичного критерия ее положительной аппроксимацией ~ ( r ) [5]:

d( r ) = .

1, a •a/r,

при | r | <  a , при | r | >  a ,

где 0 <  a <  1 , обеспечивает несингулярность матрицы коэффициентов при неизвестных p k и X k _{+ 1} .

Заметим, что матрица коэффициентов в (6) симметричная, но знаконеопределенная. Это исключает возможность непосредственного применения традиционных LDL^T -алгоритмов решения разреженных систем уравнений с предварительным символьным упорядочением, используемых при оценивании состояния ЭСС без ограничений, и требует применения специальных методов численной факторизации.

Метод модифицированной функции Лагранжа. Рассмотрим модифицированную функцию Лагранжа, расширенную за счет добавления квадратичного штрафа:

L ( x , ^{x )} = Е р ⁽ r ( ^{x ))- Xc ( x )+ 1 c} T ^{( x} ) R ^{- c ( x} ) .

i = 1 2

где R_c ¹ - положительная диагональная матрица

штрафных коэффициентов. В этом случае система нелинейных уравнений имеет вид:

d L ₌ _ H T R -V² ^r ) + C T R - c ( x ) - C T X = 0,

- c ( x ) = 0 d X

линеаризация которой дает следующую систему линейных уравнений:

иT P-1~ H -t c"--^-^c c t T n. H k ^R D k H k ^{+ C} k ^R c ^C k ^C k p k

. C k                        0 1" X k + 1

H T R ^4/ Mr ( X k )) - C k R c¹ c ( X k У

^{- c} ( x k )                -

Обозначим F_k = H_kR^l D_kH_k + c kT R_c^lC_k , тогда

матрица коэффициентов в (8) Kk = k	Г F,   cl 1 Fk  Ck	. Для
	_ C k    0 _

наблюдаемой ЭЭС F_k является положительно определенной матрицей, тогда как в методе функции Лагранжа она может быть вырожденной, если среди ограничений имеются критические по условию наблюдаемости ЭЭС. Эта особенность позволяет в полной мере использовать процедуры факторизации с предварительным символьным упорядочением, не опасаясь появления нулевых диагональных элементов в процессе численного разложения матрицы коэффициентов K_k . Запишем треугольную факторизацию K_k = LDL T в виде (индекс номера итерации опущен):

F CT L1 01 г D1 0 1Г lt T L3 _ c 0 . = [ L 3 L 2 _ 0 D2 -L 0 LT _ = L1D1LT _ L 3 D1L- L3D1L 3 + L1D1LT1 L 2 D 2 LT _ ,    (9) откуда получаем выражения для вычисления факторов:

F = L 1 DL - ,                     (10)

C = L DL - ,                   (11)

—

L 3 ^D 1 L T = ^L 2 ^D 2 L T .

Поскольку F положительно определенная матрица, разложение (10) существует. Из (11) находим L 3 = CL - ^TD 1 ^{- 1} . После подстановки в (12) имеем

T - T  - 1      - 1 - 1 T      - T  - 1 - 1   T       - 1   T

L ₃ D ₁ L ₃ = CL ₁ D ₁ D ₁ D ₁ L ₁ C = CL ₁ D ₁ L ₁ C = CF C и, учитывая, что матрица C имеет полный строчный ранг (ее строки соответствуют нулевым инъекциям в различных узлах), заключаем, что разложение (12) также существует.

Метод расширенной системы Хачтела. Задача (1-2) может быть сформулирована в виде:

минимизировать      Е р ( r )

i = 1

при ограничениях r = R~12(y - y(x)), c (x) = 0 .

Составим функцию Лагранжа:

^{L ( x} , ^X , ц ) = Е P ^{( r} i ) ^{- X} T ^{c ( x} ) ^- ц^{т ( r - R -v}2 ⁽ y ^- y

i = 1

где λ и µ – векторы множителей Лагранжа, соответствующие ограничениям (14) и (13), и запишем необходимые условия оптимальности задачи, вытекающие из условий Куна-Таккера:

<

|L = r - R ^{- 12} ( у ( x )- У ) = 0, d p

Ц = y( r)-ц = 0, д r

^ L = HTR

a ^x d L _d X

—I

—

¹² ц + CT X = 0,

■ c ( x ) = 0.

Система линейных уравнений, требующая решения на каждом шаге итерационного процесса (4), принимает вид:

D k 1	R "V2 H k	0	P k + 1		Г DMr k )
h - r -V2	0	C T Ck	P k	=	0	. (15)
0	C k	0	_ X k + 1 _		_ - c ( x k ) _

Матрицу коэффициентов в (15) называют расширенной матрицей Хачтела . Заметим, что если преобразовать систему (15) путем исключения множителя p k _{+ 1} , она становится идентична системе (6). Размерность (15) значительно выше, чем (6), однако обусловленность расширенной матрицы потенциально лучше, обеспечивая вычислительному процессу бόльшую численную устойчивость. Это связано с тем, что в (15) отсутствует произведение H T R ^{- 1} DH , число обусловленности которого равно квадрату числа обусловленности матрицы D ~ V2 R -V2 H .

Определение длины шага

При определении длины шага t_k в задаче оценивания с ограничениями значение целевой функции не может служить оценкой качества нового приближения как в [5]. Для оценки качества шага в

теории условной оптимизации используют функцию выигрыша ф ( x ) , значения которой отражают (обычно конфликтующие) стремления к уменьшению целевой функции и соблюдению ограничений. Это достигается добавлением к целевой функции слагаемых, чьи значения в недопустимой области положительны и имеют смысл «штрафов» за нарушение ограничений. В качестве функции выигрыша здесь принимается следующая:

ms ф = Z р( ri(x))+п Z cz( x),                       (16)

i = 1                  i = 1

где п > 0 — параметр штрафа. Отличительная особенность абсолютной штрафной функции в том, что существует конечное значение η , такое, что для любого п >п любое решение x* исходной задачи является точкой минимума функции выигрыша [9]. По этой причине функцию выигрыша вида (16) называют точной. В [9] доказано, что нижняя граница для параметра штрафа п = |XII„ = тах{л*|}, где X* — вектор множителей Лагранжа, соответствующий ограничениям c(x) = 0 в точке решения x* исходной задачи. Поскольку λ* заранее неизвестен, используется его оценка Xk+1, получаемая на к-м шаге итерационного процесса. Таким образом, значение параметра штрафа η в (16) задается как п=q Xk+11L,                      (17)

где q >  1 .

Шаг t_k , обеспечивающий максимальное убывание функции выигрыша (16) вдоль направления p_k , определяется в результате решения задачи одномерной оптимизации:

tk = argmin ф(),(18)

t где ф )=ф(xk+tpk )=Z p( Fi(xk+tpk))+п slct xk+tpk). i=1

Метод решения аналогичен предложенному в [5] и заключается в решении уравнения

Ф'(1) = K113 + K212 + K3t + K4 = 0 ,(19)

кусочно-постоянные коэффициенты которого определяются по формулам:

K1 = 2 Z Ai , i eQ

K 2 = 3 Z A i B i , i eQ

K 3 = Z⁽ 2 A Ч ( x k ⁾⁺ B ²^² a Z sgn г - ⁽ )) A + 2пIls sgn ^c i ^{( t} )) A i , ⁽²⁰⁾ i eQ                      i ^Q                 i = 1

^K 4 = Z B i ^r i⁽ x k ⁾⁺ a Z sgn ⁽ r iQ ^{)) B} i ⁺ п Z sgn ^{( c} i ^{( t} )) B i , i eQ              i ^Q                  i = 1

где Q = Q(t) = {i | r(t)< a} - множество индексов активных невязок измерений; Ai , Bi , Ai , Bi – коэффициенты разложения функции невязок измерений r(t) = r(xk + tpk) и ограничений c(t) = c(xk + tpk) в ряд Тейлора второго порядка, т.е. r(t) = r(xk)+Bit + Ait и Ci(t) = Ci(xk)+Bit + Ai21 соответственно. При использовании в качестве компо- нент вектора x действующих и мнимых составляющих комплексов напряжений, разложение для мощностей P и Q точное.

Путем решения (2m + s) квадратичных уравнений находим множество г = {t j | r(xk+т jpk )=± a, i =1,..., m; ci(xk+ т jpk )=0, i=1,-, s} точек 0<т1 <т2,^,0 . Решением кубического уравнения (19) находим наименьший действительный положительный корень, который принимаем за искомый tk . Если корень интервалу [tz-1,tz] не принадлежит, значит, в точке tz происходит смена знака невязки одного из ограничений. В этом случае решением (18) является tk = tz .

Заметим, что число арифметических операций при расчете длины шага сокращается, когда функции c i ( x ) линейные. В этом случае A ' = 0 . Поэтому уравнения (2) для транзитных узлов при расчете в прямоугольных координатах эффективнее записывать в форме баланса активных и реактивных токов:

I a ( U -, U > 0 , I_r ( U ', U > 0 .

Результаты численных экспериментов

Описание тестовых примеров. Характеристики четырех измерительных систем, сформированных для оценивания состояния четырех тестовых схем ЭЭС¹, содержащих транзитные узлы, представлены в табл.1. Для каждой схемы состав измерений, обеспечивающий наблюдаемость ЭЭС, сгенерирован случайным образом. К значениям измеряемых параметров установившегося режима добавлены случайные ошибки, распределенные по нормальному закону ^ -^ N ( 0,< r i ²) . Для моделирования не-равноточности измерений, дисперсия σ_i ² каждого

Таблица 1

Характеристики тестовых примеров

Характеристика	Схема ЭЭС
	IEEE-30	IEEE-118	IEEE-300	TVA-444
Узлов/ветвей	30/41	118/179	300/411	444/560
Состав измерений:
Всего	109	487	986	1891
Инъекций P/Q	7/7	19/18	56/50	100/91
Перетоков P / Q	40/40	214/186	400/400	696/704
Напряжений U	15	50	80	300
Число нулевых
инъекций P / Q	6/6	10/10	63/63	48/48
Число неверных
измерений	5	20	35	72

1 Параметры сети и режима каждой тестовой ЭЭС приведены на сайте Отдела энергетики ИСЭиЭПС Коми НЦ УрО РАН измерения была задана как псевдослучайное число из диапазона [о,25ст2 2,25аи2]. Величина ст„ устанавливалась в зависимости от класса напряжения сети ст„ = ином/200 . Таким образом, в сети низкого напряжения значения дисперсий задавались меньшими, чем в сети высокого напряжения. Например, в схеме IEEE-300 для параметров режима сети 0,6 кВ дисперсии ошибок измерений а, ® (0,3 + 2) х 10-5, тогда как в сети 345 кВ - а, ® 0,7+7. К некоторым измерениям были добавлены случайные большие величины из диапазона ±[10а, 50а,], имитирующие грубые ошибки.

Описание реализации методов. Используем следующую мнемонику для обозначения численных методов, в которых нулевые инъекции транзитных узлов обрабатываются как ограничения в форме равенств: a L57 - метод функции Лагранжа; a Lm - метод модифицированной функции Лагранжа; a H57 - метод расширенной системы Хачтела. Для сравнения рассматривается также метод, в котором нулевые инъекции транзитных узлов представляются как псевдоизмерения высокой точности ( ст , ² = 10 - 8 , i = 1,..., 5 ) и вводятся в целевую функцию наряду с имеющимися измерениями. Обозначим его как a GN.

Для LDL^T -факторизации знаконеопределенных матриц линейных систем (6) и (15) методов a L57 и a H57 использовалась программа MA57 версии 3.2.0 библиотеки HSL 2004 [10]. Исследование в [11] различных математических пакетов, предназначенных для решения разреженных симметричных неопределенных систем, показало, что MA57 на сегодняшний день является одним из лучших как по быстродействию и точности, так и по устойчивости факторизации. Код программы предоставлен разработчиками библиотеки².

Для разложения положительно определенных матриц, формируемых в методах a Lm и a GN, применялась стандартная LDL^T -факторизация. Предварительное упорядочение этих матриц, направленное на уменьшение числа ненулевых элементов в факторе L , осуществлялось с помощью программы AMD³ версии 2.0, реализующей приближенный алгоритм минимальной степени [12].

Следующие параметры использовались в расчетных исследованиях. Точка перегиба функции Хьюбера (3) a = 1,4 . Параметр а модификации метода Ньютона (см.(7)) на к -й итерации а_к = 0,5 e ^{- к 2} . Матрица штрафных коэффициентов модифицированной функции Лагранжа R ^- = I х 10 ^{- 2} . Коэффициент q в определении параметра штрафа (17) функции выигрыша q = 1,05 . Параметры настройки алгоритма МА57 – по умолчанию.

Оценивание состояния ЭЭС выполнялось в прямоугольных координатах переменных состояния.

В качестве начального приближения x0 использо- вался плоский старт и ' = ином, U " = 0. Уравнения (2) для нулевых инъекций транзитных узлов записывались в форме баланса мощностей. Итеративный переход (4) сопровождался коррекцией второго порядка [9]: Хк+1 = Хк + tkРk + Рк , где корректирую щая поправка pк = CT(cCT)1 c(хк + tkpk). Критерием останова служило выполнение условий f (Хк-1)- f (Хк) (1 + f (Хк))

^ ^е 1 ,

||^{c ( Х}к ) 1 ^ ^е 1

или K ₄ >  - е 2 , где

f (хк) - значение целевой функции на к-й итерации, е1 = 10 8, е2 = 10 6. Расчеты выполнялись на ПЭВМ класса Celeron 1.60 GHz.

Обсуждение результатов. Результаты исследования сопоставляемых методов на примере оценивания состояния тестовых ЭЭС представлены в таблицах 2-4. Их анализ показывает следующее.

Таблица 2

Обусловленность итерационных матриц, log10 ( cond )

Метод Схема ЭЭС IEEE-30 IEEE-118 IEEE-300 TVA-444 aGN 11 12 13 17 aL57 4 4-5 6 8-9 aLm        4

4-5           6           8-9

a H57        3           3          5          7-8

• 1)    Выделение уравнений фиксированных параметров режима (нулевых инъекций) в систему ограничений в форме равенств обеспечивает существенно более высокую численную устойчивость решения задачи оценивания состояния ЭЭС, чем их обработка в виде псевдоизмерений высокой точности. В последнем случае плохая обусловленность матрицы коэффициентов системы линейных уравнений (табл. 2) может приводить к потере точности вычисления направления p_k и отказу вычислительного процесса, что наблюдается при оценивании состояния системы TVA-444 (табл.3).

Таблица 3

Число итераций сходимости методов

Метод	Схема ЭЭС
	IEEE-30	IEEE-118	IEEE-300	TVA-444
a GN	8	12	14	отказ
a L57	9	10	15	19
a Lm	9	10	15	17
a H57	9	10	15	19

• 2)    Использование ограничений в задаче оценивания состояния ЭЭС не ухудшает скорость сходимости итерационного процесса. Число итераций сходимости всех методов практически одинаково (табл.3).

• 3)    Основное различие между методами a Lm, a L57 и a H57 проявляется в вычислительной трудоемкости выполнения одного шага итерации, которая заметно выше, чем в методе a GN (табл.4).

Таблица 4

Заключение

Соотношение вычислительных характеристик методов

	Схема ЭЭС
Метод	IEEE-30 “1 IEEE-1181 IEEE-300 —1   TVA-444

Размер матрицы коэффициентов

α GN	59 х 59	235 х 235	599 х 599	887 x 887
α L57	71 x 71	255 x 255	725 x 725	983 x 983
α Lm	71 x 71	255 x 255	725 x 725	983 x 983
α H57	180 x 180	742 x 742	1 711 x 1 711	2 874 x 2 874
Число ненулевых элементов матрицы коэ				фициентов
α GN	729	2 717	8 101	8 629
α L57	689	2 657	7 985	8 813
α Lm	961	3 065	10 171	10 125
α H57	1 191	4 807	11 490	18 199

Число ненулевых элементов L -фактора

α GN	422	1 818	5 422	5 838
α L57	445	1 844	6 153	6 377
α Lm	752	2 904	23 025	16 007
α H57	995	4 088	10 509	15 305

Время LDL^T -разложения, мс

α GN	0,06	0,27	0,85	0,85
α L57	0,34	1,38	4,98	5,75
α Lm	0,27	0,99	16,92	9,02
α H57	0,78	3,72	9,81	16,10

Причины увеличения времени счета различны. В методе α Lm повышение трудоемкости обусловлено увеличением числа ненулевых элементов фактора L из-за очень плотной матрицы L ₃ D ₁ L^T ₃ , факторизуемой в (12). В методах α L57 и α H57 в связи с необходимостью выбора ведущего блока применяется реализуемая в МА57 динамическая факторизация. Это приводит к увеличению числа логических операций и числа операций работы с памятью.

Из результатов сравнения следует, что при прочих равных условиях (обусловленность линейной подзадачи, скорость сходимости) метод α L57, основанный на функции Лагранжа, эффективнее метода α H57, использующего расширенную систему Хачтела. Учитывая, что время решения треугольных систем пропорционально числу ненулевых элементов матрицы L , преимущества первого возрастают. Тем не менее, представляется, что применение расширенной матрицы, как имеющей лучшую обусловленность, обеспечивает более высокую надежность сходимости итерационного процесса при расчете схем с сильно неоднородными параметрами сети и неравноточными измерениями.

Метод α Lm модифицированной функции Лагранжа использует типовой алгоритм факторизации c предварительным упорядочением, и это дает преимущество с точки зрения практической реализации. Наблюдаемое увеличение числа ненулевых элементов в процессе разложения (9), может быть преодолено разработкой более совершенных алгоритмов упорядочения, предназначенных для матриц такого типа.

В работе предложены численные методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям, обеспечивающие надежную и быструю сходимость вычислительного процесса. Это достигается за счет: 1) обработки детерминированных компонент исходной информации как ограничений в форме равенств; 2) модификации метода Ньютона при решении систем нелинейных уравнений; 3) использования разработанной процедуры оптимизации шага. Расчеты, выполненные на тестовых ЭЭС, показали, что лучшей численной устойчивостью обладает метод расширенной системы Хачтела. Менее трудоемким с точки зрения затрат машинного времени является оценивание состояния методом функции Лагранжа. Повышение вычислительной эффективности метода модифицированной функции Лагранжа связано с разработкой более совершенных алгоритмов упорядочения итерационных матриц.