Оценка коэффициента гидродинамического сопротивления в энергетической модели верхних дыхательных путей человека

Исследование движения воздушных потоков внутри полостей носа, представляющих сложную нерегулярную структуру каналов и пазух, открывает путь к пониманию сложных процессов в дыхательной системе человека. Внутренняя архитектоника носа определяет проходимость носовых каналов. Нарушения ее сечений являются проявлением ряда серьезных заболеваний, таких как риниты, в том числе аллергические, синуситы, полипы и др. [4]. Важную роль в определении проходимости верхних дыхательных путей ринология отводит оценке коэффициента носового сопротивления, объективно отражающего нарушения аэродинамики дыхательного цикла. Коэффициент носового сопротивления является аналогом коэффициента гидродинамического сопротивления крови, предложенного французским физиологом Пуазейлем для ламинарного течения крови в сосуде постоянного сечения, и определяется по величине перепада давления и расхода внутри трубки, подводимой к органам дыхания. Проведенные исследования, например [3; 6], показали, что движение воздуха внутри полостей носа и околоносовых пазух не является однозначно ламинарным и сопровождается наличием на некоторых участках турбулентных вихрей. В этой связи возникает необходимость привлечения новых, более чувствительных к турбулентному потоку моделей. Кроме того, важность представляет оценка коэффициента на различных участках внутреннего сечения носа, что, в связи с особенностями строения носа, возможно только при применении моделирования.

Предлагаемая вниманию читателя вычислительная модель основана на применении закона сохранения энергии при распределении воздушных потоков внутри полостей носа человека. Необходимые в расчете коэффициента скорости воздушного потока на различных участках полостей носа, а именно — в области преддверия носа, хоанах, верхнем, среднем, нижнем и общем носовых ходах, были определены в процессе моделирования движения воздушных потоков внутри натурной модели носа [5]. Коэффициент носового сопротивления в вычислительной модели заменен на коэффициент гидродинамического сопротивления, являющийся безразмерной величиной и обладающий аналогичным физическим смыслом [2]. Внутренняя полость носа рассмотрена как система, состоящая из последовательного и параллельного соединения каналов (рис. 1). В энергетической модели принято:

• •    в области преддверия носа, в некоторой точке, удаленной от входа в нос, центральная струйка тока делится на четыре части;

• •    после некоторого неравновесного положения образовавшиеся струйки центрально распределяются внутри общего, верхнего, среднего и нижнего носовых ходов (в этих местах были расположены анемометры внутри натурной модели носа для определения скорости воздушного потока);

• •    при дальнейшем движении воздуха внутри полости носа происходит объединение струек в одну, также центральную для области хоан;

• •    та же картина перераспределения повторяется при обратном движении воздуха от области хоан к области преддверия носа.

Рис. 1. Нос как система последовательно и параллельно соединенных каналов Индексы при расходе G соответствуют: 1 — общему носовому ходу, 2 — среднему носовому ходу, 3 — верхнему носовому ходу, 4 — нижнему носовому ходу. Индексы при площади поперечного сечения канала F соответствуют: 11 — в области преддверия носа, 21 — в общем носовом ходу, 22 — в среднем носовом ходу, 23 — в верхнем носовом ходу, 24 — в нижнем носовом ходу, 33 — в хоанах

На рис. 1 величина G соответствует расходу вдыхаемого и выдыхаемого воздуха, величина F соответствует площадям сечения внутри каналов. Общее гидродинамическое сопротивление системы можно представить формулой:

^Z общ = ^Z 11 + ^Z 2 + ^Z 33 ,                               (1)

где ζ 11 — коэффициент гидродинамического сопротивления области преддверия носа, ζ 2 — суммарный коэффициент гидродинамического сопротивления областей среднего, нижнего, верхнего и общего носовых ходов, ζ 33 — коэффициент гидродинамического сопротивления области хоан.

Для двух сечений центрального положения струек тока выполняется закон сохранения энергии:

m' ®i    Pi_L + J.m + m.g.z1 + m.cv . T1 +E=

2 ρ                                                       (2)

• m . й к ² p-.

—2^— +   . m + m. g. z~ + m. cv. T + E   ~ + AH = N. t

2 ρ            2 ^v 2    тепл 2

В этом уравнении масса относится к единице объема отдельно взятой струйки, и, так как плотность воздуха при его движении внутри объема не меняется, ее можно считать одинаковой в сечениях 1-1 и 2-2. Отношение N∙t отражает работу легких и является произведением силы дыхательных движений легких («мощности легких») на время, затрачиваемое на переход из сечения 1-1 в сечение 2-2. ΔH выражает энергию, преобразующуюся m «222 Pi в дополнительное тепло при диссипации. Произведения: ——i— , —-^ • m, m ■ g • z;, m ■ cv ■ T 2ρ             i i характеризуют кинетическую энергию, статическое давление, долю потенциальной энергии и внутреннюю тепловую энергию в i-том носовом ходе соответственно. Поскольку размеры модели невелики, доля потенциальной энергии внутри носовых ходов не меняется, поэтому в дальнейших вычислениях она не рассматривалась. Количество теплоты, подводимое к единице массы в каждом сечении, зависит от температуры нагретых стенок, которая постоянна для всей полости носа

^E тепл = J ^TdS .

Поэтому можно считать, что E тепл 1 =E тепл 2 и в дальнейших вычислениях не рассматривать. Тогда уравнение Бернулли с учетом изменения скорости, температуры и давления внутри сечений:

/

J pl+

F ₁

„2             )

-1^ +- + p^c v • T 1 ■ «■ dF =

V

J ^P 2 +

F ₂

V

2             A

p- «2

2  + p-cv ■ T

«■dF + AN общ

,

где ΔN общ — общая мощность, теряемая на участках 1-1, 2-2 и характеризующая величину механической энергии, превращаемой в теплоту, Вт. В общем случае, коэффициент гидродинамического сопротивления может быть определен из соотношения:

^Z общ

2AN , общ

p- F1 ■ «1

Гидродинамическое сопротивление внутри модели можно рассчитать по формулам (3) и (4), приняв следующие допущения:

• 1)    скорость воздушного потока максимальна в центре потока, следовательно, при условии расположения анемометра в этой области при моделировании дыхания максимальное значение поверхностной и временной скоростей совпадут, тогда средний поверхностный интеграл изменения скорости внутри рассматриваемого сечения можно заменить осреднением по времени:

t+- i. |JF ^^dF = ^f+T2todt;

F^r- ^                T^t

• 2)    долю кинетической энергий можно вынести за знак интеграла, т.к. плотность среды постоянна;

• 3)    температуру воздуха внутри модели можно считать примерно одинаковой и равной температуре среды, тогда значения внутренней энергии в сечениях 1-1 и 2-2 можно считать одинаковыми и при расчете коэффициента гидравлического сопротивления не рассматривать;

• 4)    статическое давление в сечении зависит от скорости воздушного потока. Его, как и скорость, можно принять как некоторую усредненную величину. (В экспериментальных исследованиях не рассматривалась).

Введя среднюю скорость

T t+ 2

to =

T J_,

t

T

—

где Т — промежуток времени, называемый периодом осреднения, уравнение Бернулли можно представить как следующее соотношение:

р ■ ет ^² р - ^

2 + АН ,

где р — массовая плотность воздуха, кгс²/м⁴; О—,———— средние скорости воздушного потока в выбранных сечениях рассматриваемого и последующего за ним каналов, м/с .

Коэффициент гидравлического сопротивления ζ i :

г АН л 2Л2 zi=------'   1-.

р-ет^      ет2

Коэффициент гидродинамического сопротивления в области преддверия носа, нижнем и верхнем ходах и в области хоан был оценен через отношение:

Z = 2zS2-,(7)

ρ ²

где z — гидравлическое сопротивление, определяемое через расход

G = ^p .(8)

Для нижнего и верхнего носовых ходов расход определялся по формуле:

А G = G3 + G4 = G - G1 - G2,(9)

где G — расход в области преддверия носа, а также в хонах, G 1 — в общем носовом ходу, G 2 — в среднем носовом ходу, G 3 — в верхнем носовом ходу, G 4 — в нижнем.

Общее гидравлическое сопротивление при рассмотрении носа как системы последова-

тельно параллельно соединенных каналов (рис. 2):

^Z общ ^Z npedde ⁺

^Z пох ■ С псх ■ ^Z нижн , верхн

^{+ Z} хоаны

^V ^Z ncx " ^Znox ⁺ д/ ^Z ncx " ^Снижн , верхн ⁺ д/ ^Z nox " ^Снижн , верхн

Рис. 2. Блок-схема гидравлических сопротивлений внутри полостей модели носа

Обобщенное сопротивление для нижнего и верхнего ходов ζ нижн , верхн были найдены че-

рез площадь, равную сумме площадей этих каналов.

Обобщенное сопротивление «преддверие — общий ход — ζ пох », можно найти как сум-

му сопротивлений «преддверие — общий ход — ζ преддв-общий », «общий ход — хоаны —

ζ общий-хоаны

»:

ζ пох

^Z преддв - общий

+ Z

’ общий - хоаны

Также можно найти обобщенное сопротивление «преддверие — средний ход», ζ псх :

ζ псх

^Z преддв - средний

+ Z              ,

^средний - хоаны ’

где ζ преддверие-средний — коэффициент гидравлического сопротивления области «преддверие — средний ход», ζ средний-хоаны — коэффициент гидравлического сопротивления области средний ход — хоаны.

Результаты оценки гидродинамического сопротивления в энергетической модели верхних дыхательных путей представлены в таблице ниже.

Таблица 1

Оценка коэффициента гидродинамического сопротивления внутри модели носа через отношение энергий

	ζ, вдох	ζ, выдох
Область преддверия носа	0,27	0,28
Область преддверия — общий ход	0,75	0,29
Область преддверия — средний ход	0,83	0,28
Общий ход — хоаны	0,07	0,94
Средний ход — хоаны	0,15	0,80
Верхний и нижний ходы	0,04	0,04
Хоаны	0,20	0,20
Общее гидродинамическое сопротивление	0,49	0,50

Сравнение коэффициентов гидродинамического сопротивления показало:

• 1.    При вдохе воздушный поток испытывает минимальное сопротивление в области верхнего и нижнего носовых ходов, поэтому основной поток вдыхаемого воздуха должен устремиться именно в эти каналы.

• 2.    Величины гидродинамического сопротивления при переходе из общего и среднего носовых ходов в хоаны оказались меньше, чем при переходе воздушного потока из области преддверия носа в эти носовые ходы, поэтому при выдохе движение воздушного потока по носовым ходам не будет испытывать такого сопротивления, как при вдохе. Возможно, что такое движение воздушного потока способствует обогащению пазух носа, которые в основном выходят в средний носовой ход, теплым выдыхаемым воздухом.

• 3.    Величина общего гидродинамического сопротивления при вдохе оказалась равной величине общего гидродинамического сопротивления при выдохе.

Дополнительно к проведенному исследованию добавим, что нами в работе [1] показано наличие ярко выраженной вихревой природы для потока вдыхаемого воздуха. Отмечено, что наиболее сложные траектории движения получены для нижнего носового хода. Минимальное значение гидродинамического сопротивления в области нижнего носового хода при наличии вихрей [1] способствует увеличению контакта вдыхаемого потока воздуха со стенками носа, что обеспечивает согревание воздуха в носу.