Оценка количества ансамблей новых многофазных ортогональных сигналов

Существующие и перспективные беспроводные телекоммуникационные технологии предполагают использование широкополосных каналов связи со сложными шумоподобными сигналами (СШПС) [1]. Использование данного подхода обеспечивает ряд преимуществ [2-3]:

– высокую помехозащищенность систем связи;

– эффективную борьбу с искажениями сигналов в канале связи;

– одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот за счет кодового разделения каналов (КРК);

– совместимость передачи информации с измерением параметров движения объектов;

– более эффективное использование спектра частот на ограниченной территории.

Применение полученных ансамблей многофазных ортогональных сигналов (АМФОС) возможно не только в радиоканале, но и в оптическом канале. Например, в [8] разработано устройство, позволяющее передавать М -арный символ с псевдослучайной перестройкой интенсивности свечения фотоэлемента. Следовательно, при его использовании возможна передача полученных многофазных сигналов, интенсивность свечения которых будет определяться значением фазы.

В случае использования достаточно представительного количества ансамблей СШПС требуемого объема вполне возможно реализовать их стохастическое применение, которое позволит повысить структурную скрытность данных сигналов [4]. Одной из разновидностей СШПС являются ансамбли ортогональных сигналов (АОС), которые могут быть получены различными способами, в том числе путем моделирования собственными векторами (СВ) эрмитовых матриц (ЭМ) [5].

Для стохастического применения АОС в телекоммуникационных системах, помимо спектральных и корреляционных свойств, большое значение имеет количество используемых ансамблей. Объемы АОС, представленные последовательностями Уолша и псевдослучайными хаотическими последовательностями (ПСХП), оценивались в [3,5-7], а количество получаемых вариантов АМФОС, описываемых СВ бидиаго-нальной ЭМ, не оценивалось.

Задача статьи – разработка подхода к оценке количества получаемых вариантов АМФОС, опи- сываемых СВ бидиагональной ЭМ. Целью статьи является определение верхней границы количества АМФОС, описываемых СВ бидиагональной ЭМ.

Расчет числа АМФОС

Расчет числа АМФОС осуществим на примере ЭМ четвертого порядка ( N = 4) для простоты заключений. Также для расчета уникальных АМ-ФОС, получаемых в результате моделирования СВ ЭМ, необходимо:

– определить диапазон значений фаз коэффициентов ЭМ, при котором возможно получение уникальных АМФОС;

– определить значения СВ бидиагональной ЭМ, описываемой выражением (1), позволяющие получить для каждого значения фазы коэффициентов ЭМ (360°) ансамбль из N сигналов.

В ЭМ вида (1) диагональные коэффициенты являются комплексными числами, то есть содержат модули и аргументы

Л =

/    0 Л1Д ■ е^2    0        °\

= Л2Д ■ е^   0   Л2-3 ■ е^О

.

\ О      О   Л43-е^о /

Модули диагональных коэффициентов второй диагонали ЭМ симметричны относительно ее главной диагонали, то есть            Опреде ленные значения амплитуд и фаз коэффициентов ЭМ позволяют получить модель ортогональных сигналов, описываемую СВ ЭМ, вида:

Х =

(х_1Д ■ е^м х_1;2 ■ e¹’⁴^-х_1т

= х2Д • е^д х2>2 • еЬ(Р2,1...х2 т

\ V и ‘ФиДу „ ■ р ^'Фп,2 ... у

■ е

. ^"Ф2,т

• р1'Фп,т

Определим общее количество АМФОС, получаемых при изменении фазы одного коэффициента ЭМ, с учетом вышеописанных условий по формуле где K – общее число АМФОС при изменении фазы одного коэффициента ЭМ; N – порядок ма- трицы; D – количество используемых фаз диагонального коэффициента ЭМ.

С учетом (3) получим к = 4 ■ 360 = 1440.           (4)

В таблице 1 представлены АМФОС, полученные при значении фазы Ф = 15° коэффициента А_1,2. Для коэффициентов А_2,3 и А_3,4 Ф = 0⁰.

Таблица 1. АМФОС, полученные при значении фазы ф = 15° коэффициента А_1,2

№	Значения сигналов SI — S4
S1	0,01-е''88	-0,06-е1-(-10б)	0,68-е1'0	-0,67 •е1'179
S2	0,68-•е10	-0,67-е1179	-0,01- ■е7 ("92)	0,06-е1'74
S3	0,01-•е1’88	0,06-е1'74	0,68-е1'0	0,67-e-(-D
S4	0,68-•е10	0,67-ei(-D	-0,01- ■е7 ("92)	-0,06- _ei- (-106)

Рис. 2. Модели сигналов S3-S4 при значении фазы Ф = 15° коэффициента А_1,2

На рис. 1-2 представлены АМФОС, визуализированные по данным из таблицы 1. Фазы единичных элементов сигналов имеют различные значения, что показано разной штриховкой (см. рис. 3). Однако следует учитывать, что возможно одновременное изменение фаз оставшихся коэффициентов ЭМ (А2,3, А3,4).

Рис. 1. Модели сигналов S1-S2 при значении фазы Ф = 15° коэффициента А1,2

Для определения количества комбинаций таких изменений воспользуемся известной формулой сочетаний [9]

71!

С" = /с! (и -/с)! , (5)

где С – число сочетаний; n – число коэффициентов в ЭМ; k – число коэффициентов ЭМ, фазы которых подвергаются изменению в экспериментах.

Рис. 3. Штриховка фаз единичных элементов

В нашем случае n = 3; k = 1 и 2. Из вышеописанного следует, что количество комбинаций изменения фаз коэффициентов ЭМ, дающих АМ-ФОС в комплексном виде

7=^ + ^ = 6.          (6)

Тогда формула (3) примет вид:

К = N DT,             (7)

где Т – количество возможных комбинаций изменения фаз коэффициентов ЭМ. Общее число АМФОС равно

К = 4 ■ 360 ■ 6 = 8640.         (8)

При данном подходе возможно получение сигналов Sj, которые по сути являются инверсными по отношению к Предположим, что они тождественны друг другу, поскольку имеют одинаковую структуру, а разница заключается в начальной фазе.

Таким образом, чтобы рассчитать количество уникальных АМФОС, необходимо:

– определить количество фаз, при которых появляются ансамбли инверсных многофазных ортогональных сигналов (АИМФОС) – один сигнал является противоположным по отношению к другому;

– рассчитать общее число АИМФОС.

Для решения первой задачи используем формулы:

Сравним полученную оценку АМФОС с оценкой объема ансамбля L псевдослучайных хаотических последовательностей – 3 (ПСХП-3) из [7]. Как известно из [7], при N = 64 объем ансамбля сигналов ПСХП-3 не превышает 118 последовательностей, а для предложенных АМФОС – 2,078-10 . Расчет «выигрыша» предложенного способа генерации уникальных АМФОС выполним по формуле

∆ = Q – L , (15)

где ∆ – преимущество в количестве уникальных АМФОС; Q – число уникальных АМФОС, предложенных авторами; L – число уникальных ПСХП-3.

Подставив вышеуказанные значения, получим: А = 2,124 ■ 1022 .

6 = 2л — ф,                 (10)

где θ – значение фазы в градусах, при которой появляется АИМФОС; Е – соответствует 180° на тригонометрической окружности; φ – значение фазы коэффициента А_1,2 ЭМ в градусах.

Из (9)-(10) следует, что количество фаз, при которых появляются АИМФОС, равно С = 270. Расчет общего количества АИМФОС выполним по формуле

W = С NT,(11)

где W – общее количество АИМФОС. Результаты расчета:

W = 270∙4∙6 = 6480.(12)

Количество уникальных АМФОС

Q = K – W = 2160.(13)

Аналогичным образом можно рассчитать число уникальных АМФОС для ЭМ более высоких порядков. В таблице 2 представлены результаты расчетов для матриц порядков N = 8; 16; 32; 64.

Таблица 2. Результаты расчетов числа уникальных АМФОС

Порядок матрицы, N	Число уникальных АМФОС, Q
4	2,16-Ю3
8	9,072-104
16	4,718-Ю7
32	6,185-Ю12
64	2,125-Ю22

Рис. 4. Зависимость числа уникальных АМФОС Q и ПСХП-3 L от порядка ЭМ N

На рис. 4 изображена зависимость числа уникальных АМФОС Q и ПСХП-3 L от порядка ЭМ N .

Таким образом, сравнительный анализ полученных и представленных в [7] результатов показал, что общее число уникальных АМФОС Q при одинаковом значении N в предложенном способе генерации АМФОС больше, чем в [7], что свидетельствует о возможности их стохастического применения.

Заключение

Получены формулы для оценки количества вариантов АМФОС, описываемых СВ бидиаго-нальных ЭМ разных порядков. Определена графическая зависимость количества уникальных АМФОС от порядка ЭМ. Поскольку количество сигналов, которое можно получить, используя данный подход, достаточно большое, то можно сделать вывод о возможности их стохастического использования для передачи информации в радио- и оптическом каналах с целью повышения защищенности информации в них. В результате сравнительного анализа количества АМФОС и ПСХП-3 выявлен «выигрыш» предложенных сигналов A = 2,124 ■ 1022 .