Оценка нормы производной комплекснозначной функции с выпуклой областью изменения производной второго порядка

Пусть W означает класс заданных на всей числовой прямой R комплекснозначных дифференцируемых функций f(f) с абсолютно непрерывной производной / (?) на любом отрезке из R и существенно ограниченной производной второго порядка, причем

А = ||/|| = sup|/(?)|,

ess sup / (?)

Областью изменения комплекснозначной функции f^f) является центральный круг ||/||^^ радиуса К. Областью изменения производной второго порядка —2

функций класса W является некоторое выпуклое множество О, содержащее нача- Введем в рассмотрение сплайны Бер-ло координат.                             нулли

⁰⁰ Г* с I    "И ТГ / / I

/ \      /7    /       7\   7    /       7\   7 /                       ГК 1 Д)

s_r ^ - a(6_r+1 (с? -а^- b_rA (ct + d\ Ь_Г(1) = Д----СТА----- k=l ^К

(a, с, d - специально подобранные параметры под заданные ограничения функции), которые в случае г = 2 были использованы в [5] для доказательства точного неравенства между производными действи тельной дифференцируемой функции с несимметричными ограничениями на производную второго порядка. Рассмотрим также совершенные сплайны Эйлера,

E sin((2£ +1) t - тс г / 2)

А=0 ^к+V

(/ - специально подобранный параметр под заданные ограничения функции), примененные в [3] при доказательстве теоремы сравнения и точного неравенства между производными действительной дифференцируемой функции с симметричными ограничениями на производную и-го порядка. Ясно, что параболические сплайны Эйлера z.x 1 г         г ,,х   4 sin(2£ + 1)Z

г           ли (Д +1)

являются частным случаем приведенных выше сплайнов Бернулли

E cosfAt — Зтг/2)                „ _

-------Гз-------’                  <4) к=\ к при г = 2.

Для получения двусторонней оценки нормы производной ограниченной комплекснозначной функции с областью изменения производной второго порядка в виде некоторого выпуклого множества комплексной плоскости нам понадобится алгебраическая форма сплайнов Эйлера второго порядка:

/2(0 =

t К

кК^,

[-л72, тс/2)

[л72, 3^/2)

7Г2

где ^2 = — - константа Фавара. 8

Рассмотрим эллипс

/ 2    2х/ . х2 . 2 2    2/ 2 2х

(а -с Xй +с) v =а (а -с ), где я - его большая полуось, а с - расстояние от начала координат до фокуса. Пусть прямая v - ku проходит через начало координат и точки Wp w2 на этом эллипсе (см. рис. 1).

Ясно, что областью изменения производной второго порядка функции q>(t) = (p(t) -е'5, (5 = arctg к) будет отрезок [tOy, со2"\ (точнее, сами границы этого отрезка).

В [2] было доказано, что при любом к (или 5) справедливо равенство:

Ы+N Ы-Ы

= 2а

Это означает, что независимо от наклона прямой v = ku левая часть этого равенства сохраняет постоянное значение, равное диаметру эллипса. Следовательно, в качестве функций сравнения для получения оценок норм производных функций заданного класса можно использовать сплайны Бернулли, когда отрезок [й^, со₂ ] совпадает с диаметром эллипса, или сплайны Эйлера,

Рис. 2

когда этот отрезок лежит на мнимой оси Ov (см. рис. 1).

Рассмотрим два эллипса

Л): (и + q)2 /q2 + v2 /(q2 - q2) = 1,

/q : (w +c2 )2 / q2 + v2 /(q2 - c22)=1, где aA - большая полуось эллипса Д, q -расстояние от начала координат до фокуса этого эллипса, a q - большая полуось эллипса Е^, с2 - расстояние от начала координат до фокуса этого эллипса. Будем считать, что эллипс Ех наилучшим образом вписан в заданную выпуклую область О (например, по критерию ау —>тах, q —> min), а эллипс Е2 наилучшим образом описан вокруг области Q (например, по критерию ay > min, q —> max).

Необходимо оценить норму производной Li< f

Рассмотрим функции производной

<Р\(0 =

[-Ч/2,Ч/2)

[г| / 2, 3^ / 2)

где

1^1 = |'7i| = hl, q =2

Ф2<0 = ‘

^,2 к |(7-г₂)²

Г 1о /^\ [т₂ / 2, Зг₂ / 2)

где

В соответствии с рисунком 1 областью изменения функций

Ф1(0 = Ф^-е^1л'^г и

2(Z) =

ф₂^ -е^1Я'²

будут отрезки [?7ь 7?2 ] и [^bfel соответственно.

—2

Теорема. Пусть / g W такова, что 1ИНЙННИ- /'w^.

Тогда

Подсчитаем нормы производных функций ^(0 и ^>2(0 • Из (б) и (7) получаем:

W

Н(^-пХ

W Wt-T^Y

[-^/2,^/2)

Eq /2,3^/2)’ [-т₂/2,т₂/2) ^2 / 2, 3^2 / 2)

(Ю)

Отсюда

|Ы| ^Х—) = Н— = ^2(”) = l^l”-1г 1 н т 1 х 27 1 2 IIт2II т2 х 2 7 ~ 2

Подставляя ^и г2 из (б) и (7) в (8), приходим к следующим выражениям:

Из уравнений описанного и вписанного эллипсов Е2, Д нетрудно получить вы- ражения модулей комплексных чисел ту, ^ через размеры этих эллипсов:

9    9            2     2

(?!                а2

Таким образом, неравенство (8) в приведенной выше теореме с учетом (11) и (12) можно уточнить так:

2     2                         I 9     9~

Л                      II II У с»!           J               у           4

Если выпуклая область является кругом радиуса а, то приходим к известному неравенству Адамара [4]:

|[/"||< ЕКа.