Оценка параметра сигнала, выделенного из шума, на основе применения непараметрического критерия

В работах [1,2] представлены результаты исследований по применению непараметрического критерия Уилкоксона [3] для оценки параметров различных сигналов на фоне воздействия помех (шума). Суть работы алгоритма заключается в следующем. Выбирается шаблон размерности N, в котором первые N/2 позиций рассматриваются как позиции X, а вторые – как позиции Y. Шаблон накладывается на случайную выборку размерности М, при этом первый элемент выборки для анализа имеет координату N/2. В результате первые N/2 случайных элементов рассматриваются как выборка X, а вторые N/2 - как выборка Y. Далее все элементы ранжируются и вычисляется сумма рангов R выборки Y. Данная процедура производится для всех последующих случайных значений выборки М. В результате этого формируется случайная ранговая функция f (R) с числом значений M-N+1 и которая имеет экстремумы. Для прямоугольного импульса при N = 10 максимальное значение R для Y выборки равно 40, минимальное значение - 15. Для прямоугольного импульса R = 40 означает его начало (фронт), а R = 15 означает его окончание (спад). Расстояние между данными отсчетами есть длительность импульса. Также можно вычислить и период следования импульсов. Очевидным является, что точность оценки местоположения начала импульса и его окончания зависит от соотношения сигнал/шум.

В случаях, когда известно, что сигнал представляет собой последовательность (в дальнейшем прямоугольных) импульсов и известны длительность импульсов и период их следования, то возникает задача определения и оценки их амплитуды. Оценка амплитуды будет производиться по случайным значениям сигнала, расположенными между экстремумами ранговой функции. Для дальнейших исследований была выбрана выборка размерности М = 10. Такая выборка считается малой с вытекающими отсюда результатами в оценке точности амплитуды сигнала.

В таблице 1 представлен вариант случайного сигнала, полученного в результате моделирования. У исходного сигнала два уровня амплитуды: 4 и 7. Всего в модели использовалось 30 отсчетов. В модели в качестве шума был выбран Гауссов шум с параметрами N (0,1). В данном случае отношение амплитуды сигнала (четыре) к трем сигма (3 σ) равно 1.333.

Таблица 1 – Вариант реализации случайного сигнала

Значения амплитуды исходного сигнала
4	4	4	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	4	4
Сигнал с шумом
3.27	3.27	3.44	7.29	8.59	7.02	7.42	8.17	6.84	6.04	3.98	6.22	6.16	3.70	2.64
6	0	4	1	2	8	2	7	1	0	2	0	4	3	0
Ранговая функция
31	37	40	38	32	29	23	16	16	17	19	18	15	17	22
Номера отсчетов сигнала
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22

Для фильтрации сигналов существует большое количество алгоритмов и методов. В данной работе для исследований были выбраны следующие:

• -    метод наименьших квадратов (сглаживающий полином) [3];

• -    метод на основе применения локальных кубических сплайнов [4];

• -    метод оценки математического ожидания на основе суммирования полусумм значений в случайной последовательности.

Метод наименьших квадратов.

Для прямоугольного импульса в качестве сглаживающего полинома подходит уравнение прямой линии (линии аппроксимации) вида:

Y(x) = ax + b, где а – угловой коэффициент, b – начальное значение прямой при x = 0.

На первоначальном этапе исследований при оценке амплитуды сигнала вычисляемый угловой коэффициент «а» всегда был отличен от нуля, то есть вершина импульса была не горизонтальна. Это закономерно в связи с малой выборкой сигнала. В последующем для горизонтирования данной прямой и, следовательно, оценки амплитуды импульса было предложено производить поворот прямой линии относительно центрального (пятого из десяти) отсчета выборки по следующим зависимостям:

B 1 =b – 5x, для a < 0;

B 2 = b+5x, для а > 0.

Для оценки точности применения предложенной методики была разработана программа моделирования с амплитудой исходного сигнала, равной 7, и Гауссова шума с параметрами N(0,1). Производилось 5 серий испытаний, в каждой серии соответственно по 1000 испытаний. Среднии зачения математического ожидания выборок (амплитуды сигнала) представлены в таблице 2, где: МО1- среднее значение математического ожидания сигнала с шумом; МО2 – среднее значение математического ожидания в точках отсчета на линии аппроксимации; МО3 – среднее значение математического ожидания в точках отсчета горизонтальной линии аппроксимации.

Таблица 2 – Значения математических ожиданий по методу наименьших квадратов

Математическое ожидание	Среднее значение математического ожидания	Отклонение (%)
МО1	7.0021	0.030
МО2	7.0021	0.030
МО3	7.0039	0. 056

Анализ результатов показывает, что применение непосредственно метода наименьших квадратов дает более точную оценку амплитуды сигнала, в тоже время с точки зрения сохранения формы сигнала возможно применение методики горизонтирования без существенного снижения точности оценки сигнала.

Метод на основе применения локальных кубических сплайнов.

В работе [4] для сглаживания (фильтрации) зашумленных сигналов предлагается использовать метод на основе примения локальных кубических сплайнов. Текущее значение сглаженной функции в точке i определяется следующей зависимостью:

Fi= Xi-1/6 + 4Xi/6 +Xi+1/6, где i =2,3,………,n.

Важным условием для применения данной зависимости является равенство нулю первого и последнего значения функции F, что не удовлетворяет условиям нашего исследования. Однако интерес представляет использование других коэффициентов для задачи повышения результативности и точности фильтрации сигнала. При моделировании были использованы выше указанные параметры сигнала (случайной последовательности) и шума. Результаты исследований представлены в таблице 3. Как и ранее были проведены 5 серий испытаний по 1000 испытаний в каждой серии. В таблице представлены среднии значения оценки амплитуды сигнала по результатам 5 серий. Таким образом, в результате проведенных исследований набор коэффициентов 0.125/0.75/0.125 дает лучший результат при фильтрации сигнала.

Таблица 3 – Значения результатов оценки математических ожиданий в зависимости от значений коэффициентов метода локальных кубических сплайнов

Значения коэффициентов	Среднее значение	Отклонение (%)
0.12/0.76/0.12	7.013	0.18
0.125/0.75/0.125	6.9984	0.023
0.13/0.74/0.13	6.9976	0.035
0.1428/0.7144/0.1428	6.9972	0.04
0.1666/0.6666/0.1666	6.9916	0.12
0.2/0.6/0.2	6.9946	0.08

Метод оценки математического ожидания на основе суммирования полусумм значений в случайной последовательности.

Для детального анализа сигнала и его фильтрации может быть применено преобразование Хаара [4]. В рамках данной работы интерес представляет использование полусумм отсчетов сигнала. В отличие от преобразования Хаара, в данном случае свычислялось среднее значение суммы полусумм первого значения случайной выборки со всеми последующими. Это искусственная попытка увеличить размерность выборки. Результаты исследований представлены в таблице 4. Как и прежде производилось 5 серий испытаний по 1000 испытаний в каждой.

Таблица 4 – Значения математических охиданий метода суммирования полусумм

Математическое ожидание	Среднее значение	Отклонение (%)
МО1	6.99724	0.040
МО2	6.9955	0.065

В таблице МО1 – среднее значение исходной случайной выборки (сигнала), МО2 – среднее значение предложенного метода суммирования полусумм значений выборки. С учетом того, что число вычислительных операций по сравнению с вычислением среднего значения выборки больше, а точность оценки ниже, использование данного метода является нецелесообразным.

Таким образом, в результате проведенных исследований для оценки амплитуды зашумленного сигнала (малой случайной выборки) из предложенных методов наиболее результативным является метод на основе применения локальных кубических сплайнов.

Применение даного метода в совокупности с применением непараметрического критерия Уилкоксона позволяет оценивать следующие параметры прямоугольных импульсов: длительность импульсов; период следования импульсов; амплитуду импульсов. Очевидно, что для последовательности импульсов полученные оценки могут быть усреднены.