Оценка вероятности обнаружения мультимедиаконтейнеров при пространственно-временном распылении информации

Постановка задачи

При скрытой передаче информации методом пространственно-временного распыления [1] злоумышленник может перехватить передаваемое сообщение. Одной из проблем, с которой столкнется криптоаналитик, будет необходимость обнаружения Web-страницы, содержащей конфиденциальное сообщение.

В качестве примера рассмотрим процесс обработки новых Web-страниц поисковыми системами в сети Internet. Для индексации страниц применяются специализированные программы - поисковые роботы [2]. Нет опубликованных данных о том, с какой частотой роботы выполняют опрос узлов и за какое время они находят новые серверы, так как эти сведения являются коммерческой тайной владельцев поисковых систем. Допустим, что вычислительные ресурсы злоумышленника позволяют ему использовать собственный поисковый робот, который в случае обнаружения нового узла сети (сервера или сайта) включит его в список (индексирует) для последующей проверки на наличие обновлений.

Пусть на промежутке [0; ,τ] с интенсивностью λ в сети размещается (публикуется) на короткое время ∆ t << τ Web-страница (контейнер) с конфиденциальной информацией ( λ – математическое ожидание числа появлений страницы в единицу времени). В силу стационарности, ординарности и отсутствия последствия можно считать, что появления в сети этого контейнера образуют пуассоновский поток с интенсивностью λ . Робот сканирует узел сети с периодом T >>∆ t за короткое время (близкое к нулю), и момент сканирования является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0,τ]. Требуется определить: с какой вероятностью робот обнаружит эту Web-страницу.

Решение

Если мультимедиаконтейнер может с равной вероятностью появляться в одном из m каналов стегосистемы, то это означает, что при многоканальной передаче информации интенсивность λ нужно разделить на m , то есть достаточно рассмотреть модель с одним каналом и интенсивностью λ / m .

Пусть X – случайная величина, равная числу появлений Web-страницы за время [0; τ]. Согласно распределению Пуассона

P{X^k> = ^Ur/ е”^Лт.           (1)

1        ' kl

Рис. 2. Фрагмент предыдущей фигуры

Обозначим через q _k вероятность события A , состоящего в обнаружении контейнера роботом при условии, что за время τ контейнер появился (был размещен в сети) k раз. Тогда по формуле полной вероятности будем иметь:

Найдем площадь заштрихованной фигуры (см. рис. 2):

„ 2x-KtJl Kt Kt 1,.

8,„= ------у = х-^=--(Д/) .

VW = t^e-*'_qi.        (2)

к=А К '

Таким образом, задача сводится к отысканию величины q _k. Рассмотрим вначале частные случаи.

Рис. 1. Иллюстрация к определению вероятности при k = 1

Для заштрихованных трапеций стороны х определяются выражением:

х = rV2,(r-T + К^41,...,^т-пТ + Kt\j2.

Суммарная площадь заштрихованных фигур составляет:

S = Kt^c + (г -Т + А/) + ... + (г-иГ + А/))- ^й + 1 (AZ)² =

— ((и + 1)г--- —T^Kt + z?(A?)"-— (Az) —

=(»+i)(r-^m+^(A/)2.

Отсюда

^ = 4 - 4 (« + l)(r - у Т)Kt + 44 (AZ) =

A/ + O((AZ)2). (3)

1. Контейнер размещается в сети за время наблюдения один раз ( k = 1). В этом случае отыскание q ₁ ведется из геометрического определения вероятности и иллюстрируется следующим рисунком.

Заштрихованные области соответствуют неравенствам:

2. Контейнер размещается в сети за время наблюдения два раза ( k = 2). Страница появляется дважды – в моменты времени t _1,1 и t _1,2. Значит, площади, соответствующие первому и второму появлению, не будут пересекаться, если выполнено условие

О 2—^1

|z, ₂-t_} J > A/(modT).

О < h - (Zi - и 7) < А/,

где t₁ – время появления контейнера в сети, а t₂ –

время первого захода робота на страницу. Здесь

и =

т

Т

– число заходов робота на стра-

ницу за промежуток времени длительностью τ

(квадратные скобки означают взятие целой части

числа).

В этом случае события обнаружения роботом первого и второго контейнера несовместны. При выполнении условия (4) мы получим, что q₂=2q₁. Найдем вероятность выполнения условия (4). Если моменты появления заявок распределены по равномерному закону с плотностью:

/и^Р'е[0'г1;

O,Z^ [О, г], то случайная величина (–t1) так же распределена по равномерному закону на интервале [0; τ] с плотностью

^   ^, ₃__t] ,|>A/(mod7-)^) ' ^0 ^?1,2 ^Zl,l

>^mo^Pv^       |<

/ю=

-,^e[0, г]

i т

Az(modT)) = —

г

Т

т-

L L

Т 2

AZ

0,Z ^[0,г]

2                   2 f т

О- — Д0 + О((А/)") = — — +1

т

- - A/ + O((AZ)²). Т 2

Разность величин t₂ – t₁ распределена на интервале [–τ; τ] с плотностью

Аналогично при произвольном k можно показать, что

7(0=(/*/хо = j/w/o -^=j/w/o -^=

A A

+ 1 T-

AZ + O((Az)2).(5)

= Л \fU - ^dx = ^ j f(u)du = 0

Из формул (2) и (5) получаем решение нашей задачи в виде:

т — t,t е [0, г]

г+ Z,Z е [-г,0] = 0,Z £ [-г, г]

г —|z|,Z g [-г, г]; 0,Z g [-г, г].

Л^)=- - r\ T

t^J^ k\

eATk^O(W\

или же

Поэтому (см. рис 3):

1,2 М

f^dt =

А/

Г+А/ _

О

Т-Ы

пТ+^ _

J 7(0^ ^

пТ-Ы

т

_ _А Az( т V т Т ЛЛ=— — +1 м— ■

Г\ Т Д Г 2

г( I

и, окончательно,

- ЯгУ-

к=О

М^+^2),

Р<А>- - +1 т--- AN+О^МП (6) т \ Т Д Т 2

т

2      2

< —пМ< —Az.

т

т

Вероятность выполнения (4) будет не меньше, чем — AZ.По формуле полной вероятности будем иметь:

При практическом применении формулы (6) слагаемое O((AZ)2) отбрасывается, и мы получаем приближенную формулу [3]. Данная формула имеет высокую точность при малых 2AZ.

Для удобства расчетов за единицу времени можно выбрать сутки. Если положить τ = 1, то, например, при условии, что Web-страница размещается в сети на время, равное трем минутам, будем иметь Az =------—---, Я – среднее число появлений

20-24 480

Рис. 3. Иллюстрация к определению вероятности при к = 2

контейнеров в сутки, T – период захода робота на страницу, измеряемый в сутках, и формула (6) примет вид:

W)=

л

Последняя формула при 2 = 2; Г = 0,25 дает значение вероятности обнаружения роботом размещенной в сети Web-страницы Р(Л) = 0,01.

Были произведены расчеты вероятности обнаружения контейнеров для различных периодов опроса роботом страницы, интенсивности ее демонстрации

Рис. 6 Вероятность обнаружения контейнера при ∆t =1 мин

и продолжительности размещения страницы в сети. На рис . 4 представлен график зависимости вероятности обнаружения роботом страницы от числа ее появлений в сутки λ и времени демонстрации страницы ∆t, при опросе роботом узла сети один раз в сутки.

Рис. 4. Вероятность обнаружения контейнера при T = 1

сутки

Рис. 5. Вероятность обнаружения контейнера при λ = 1

На рис. 5 отображена зависимость вероятности обнаружения роботом контейнера при изменении длительности демонстрации страницы ∆t и периода опроса роботом страницы Т.

На рис. 6 показано влияние на вероятность обнаружения контейнера интенсивности размещения страницы в сети и периодичности посещения роботом страницы.

Анализ полученных данных показывает, что для снижения вероятности обнаружения контейнера нужно уменьшать время демонстрации страницы и интенсивность его публикации.

Для снижения интенсивности демонстрации страницы предлагается применять многоканальную передачу, за счет чего можно уменьшать частоты появлений контейнеров в каждом канале.

Выводы

Полученные результаты показали, что для уменьшения вероятности перехвата скрытно передаваемых данных следует снижать до минимума время нахождения контейнеров в сети и использовать множество каналов передачи данных, тем самым снижая частоту их демонстрации.