Оценки энтропийных чисел диагональных операторов

Обозначим £ "< V - пространство

всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства Х в банахово пространство Y, где Z ■■". .' < 1 и неравенство треугольника имеет ш А' 1 А а А |_л- :; } |а |а для всех .. у = /. Важной характеристикой компактности оператора Г У У /.' V яв-

ляются его энтропийные числа. Для а = г." а - энтропийное число у " опе

ратора ■ - ^ "< '.' определяется как точ ная нижняя грань множества всех чисел , для которых существуют элементы у: у: .  -у-.-. = / такие, что образ за мкнутого единичного шара 3-, где Sy - замкнутый единичный шар в

. Энтропийные числа для операторов в банаховых пространствах обладают следующими свойствами [1], [2]:

для S, 7 £^ ?: V и S = ^ V S'

(I)

С.)             уу?ГЬе„у5у, уу 5 W;

(iii)

В данной статье получены оценки энтропийных чисел диагональных операторов: в случае 0

Пусть          . Множество всех последовательностей        ,      , для которых конечна квазинорма

образует квазибанахово пространство, в случае же     ,   – банахово пространство.

Пусть        – ограниченная последовательность, положим,

В случае                   получаем, что               . Ясно, что

.     Последовательность

KM) называют невозрастающей перестановкой        .

Пусть , . Пространство Лоренца состоит из всех последовательностей , имеющих конечную квазинорму

При      получаем.

Для пространств Лоренца справедливы следующие вложения [Leoni]:

• 1)               , если             ,и

• 2)                 , если,

Лемма 1. [Пич] Пусть - . -- .■■ - мерное вещественное банахово пространство. Тогда

.        (1)

Лемма 2. Пусть 2- < У: с -, 3 < i ^ -, -. — " - мерное вещественное банахово пространство и тождественный оператор ". -.—-.. Тогда

,            U, где положительная константа < зависит только от ." и 5 :

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что

Используя оценку леммы 1, получаем

Итак,

что приводит к оценке

Пусть               , тогда           и                              .

Лемма 3. Пусть '^:< /: < -, S < J < v.

Тогда

,

где С - положительная константа из леммы 2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 2 для действующего в

-мерном банаховом пространстве оператора          имеем

Зададим операторы вложения                    и положим        .

X      X                       ft Д       И         р       Q                      ее       Ге Ге

По свойству энтропийных чисел

Применяем неравенство Гельдера с показателями ,      и лемму 2, получаем

11к(/„:^ -^ )}||^ ^ 11(е^ -^)}|^      ^ Сл^

Далее рассмотрим диагональный оператор                           который порождается последовательностью ,      ,

DkJ = {х^},  bj e 1^     (2)

Не ограничивая общности, можно считать, что kt I > k2l > — > о

Определим канонические операторы/_n6B(^i_p), Q„ e ъд^), согласно формулам

и положим

W_n = Q_nDJ_n.

Очевидно, что 11У„11 = 11<2„11 = 1.

Теорема 1. Пусть О < у < oc и 1 = f Z ⁺7: .

Тогда для оператора (2) выполняется оценка

||{a_n}||^< dsup,^ se_n(D).     (3)

В частности, при у = 1 неравенство (3) имеет вид llk„}||^^ 6sup„n4e„(D).     (4)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим оператор тождественного вложения ^n : ^oo ~* ^T и представим его в виде композиции следующих отображений:

где ^n"   ^—* ^p определяется формулой

W„{xJ’L1 = «Ча?:,.

Поскольку kJ > k2l 5 - kJ > °, то выполнена оценка l|WJ| < kJ-1.

Известно (см. [1] 12.2.1), что e«a.:^-»^)21n.    (5)

Из неравенства Йенсена (поскольку q < 1) следует, чтоk^4hi, а также прямое вычисление влечётk=^^

Используя неравенство (5) и мультипликативность энтропийных чисел, имеем к < en(Z„ X -* < ) = enQn QnDJ^I, ) ^e„(/71QnD/„:^^<)-|| WJ„:^^^|| S ||/n:^ -<||- II

Следовательно,

Далее, умножая полученное неравенство на n1^" , получаем

Отсюда sup nr k„ I < 6 sup„ n 4 en(D), n что в результате даёт требуемую оценку

||{an}||^< 6supnnr ^e„(D).