Один способ получения оценок скорости сходимости для некоторых аппроксимаций с монотонными операторами

В настоящей работе доказываются оценки скорости сходимости некоторых аппроксимационных схем. Основу этой работы составляют результаты диссертации автора [4]. Используя эти оценки, можно получить оценки скорости сходимости для схем метода фиктивных областей для уравнений с эллиптическими операторами и некоторых вариационных неравенств.

В работе предполагается, что операторы А, Ғ, Ғі и Ғ2 действуют из вещественного сепарабельного рефлексивного банахова пространства Е с нормой || • || в сопряженное с пространством Е пространство Е * и являются радиально непрерывными, ограниченными и монотонными. Оператор А является сильно монотонным. На пространстве Е заданы непрерывные полунормы тф), р(^), q(-) с выполнением следующих условий подчинения: р(^) 6 С || • ||, тф) 6 С1р0 с постоянными С, С1.

Ниже используются следующие обозначения:

(у, ж) - значение линейного непрерывного функционала у Е Е* на эле менте ж € Е;

ип ^ и - сильная сходимость последовательности {иП} С Е к элементу и Е Е \ иП ^ и - слабая сходимость последовательности {и„} С Е к элементу и Е Е \

К   {и Е Е : Ғи = 0}.

Функция т (и,и)  : Е х Е ^ R+ такая, что: т (и,и) > 0 при и = и, lim т (и, и) \ |и — и| = +то при |и| ^ +^ при фиксированном и Е Е и при этом выполняется условие, если иП ^ и и т (ип,и) ^ 0, то иП ^ и.

Всюду lim обозначается как lim.

П^^

Определение 1. Оператор А : Е ^ Е* называется монотонным, если ^и,и Е Е выполняется неравенство (Аи — Аи,и — и) > 0;

сильно монотонным с константой т >  0, если V и, и Е Е выполняется неравенство (Аи — Аи, и — и) > тЦи — и|²;

сильно монотонным, если V и, и Е Е выполняется неравенство (Аи — Аи, и — и) > т(и, и);

радиально непрерывным, если Vи, и Е Е функция ^(t) = (А(и + tи),и) непреръівна по t на отрезке- [0; 1].

Теорема 1 ( [1]) Уравнение' Аи = 0 имеет сдинсте>еннос решение' ио

Теорема 2. Уравнение

Ғи + еАи = 0, е> 0                            (1)

имеет единственное решение и = и_е ии_Е ^ и₀ при е ^ +0, г де и₀ - единственное решение ВН:

В теореме 3.7 книги [2] на с. 108, по существу, содержатся заключения теоремы 2. Отметим некоторые отличия в формулировках этих теорем: в указанной теореме 3.7 [2] коэрцитивность предполагается у оператора Ғ , а в теореме 2 оператор А является коэрцитивным. Условие коэрцитивности в [2] используется для доказательства непустоты множества К, которое в предложенной теореме 2 является условием. Кроме этого, коэрцитивность операторов в этих теоремах используется для установления ограниченности множества {и*}. Сильная сходимость и* к ид доказывается в [2] с использованием условия (S ) оператора А, которое является следствием сильной монотонности оператора А в теореме 2. Однако указанные отличия в формулировках теорем 2 и 3.7 [2] не являются существенными при их доказательствах.

Теорема 3 ( [5]) Пусть 1) мномсество К = {и Е Е : Ғи = 0} непустое;

• 2)    Ғ = Ғ1 + Ғ₂ и для любого и из Е найдутся три такие элемента из Е; и⁺, и^- и и*, что и = и⁺ + и^-. (и⁺ — и*) Е К 11 (Ғ₂и,и ⁺ — v) > 0 при всех v из К.

Тогда 1) уравнение (1) имеет единственное решение и = и* и и* ^ ид пр и е ^ +0;

• 2)    ид - единственное решение ВН (2);

• 3)    справедлива оценка:

(Ғіи*,и* — ид) + (Ғ2и*,и-) + ет(и*,ид) 6 —е(Аид,и* + и-).             (3)

Доказательство. Заключения 1, 2 теоремы 3 вытекают из теоремы 2, т.к. ид Е К, то

(Ғи* — Ғид, и* — ид) = (Ғи*, и* — ид) =

• = (Ери*,и* — ид) + (Ғ2и_е,и+ — ид) + (Ғ2и*,и-) >  (Ери*,и* — ид) + (Ғ2 и*,и*-).

Так как ид является решением ВН (2), то

(Аид , ид — и*) = (Аид, ид — и⁺ + и* ) — (Аид,и* + и-) 6 —(Аид, и* + и-).

Кроме этого, из уравнения (1) получим Ғи* — Ғид + е(Аи* — Аид) = —еАид. Объединяя эти соотношения и используя сильную монотонность оператора А, получим неравенство (3). Теорема 3 доказана.

Сформулируем и докажем несколько следствий из этой теоремы.

Следствие 1 ( [5]) Пусть 1) выполняется условие 1 теоремы 3;

• 2) для произвольного и Е Е имеет место разложение и = и⁺ + и^-, где и⁺ Е К и для всех v Е К выполняется неравенство (Ғи,и⁺ — v) >  0.

Тогда справедливы заключения 1, 2 теоремы 3 и оценка

• (Ғи*,и-) + ет(и*,ид) 6 — е(Аид,и-).                         (4)

Доказательство этого следствия непосредственно вытекает из теоремы 3, если в ее условиях положить Ғі = 0, и* = 0.

Следствие 2 ( [5]) Пусть 1) выполняется условия следствия 1;

• 2)    числа т Е [0; 1). р > 0. т >  0 и С₂ >  0 такие, что для любых и. v из Е выполняются неравенства

(Ғи,и^- ) > др² (и^-),

(Аи — Аv, и — v) > т^и — v||²,

|(Аид, v)| 6 С2Р1^-Т (v) |v|^T.

Тогда справедливо следующее уточнение оценки (4):

р(и-) 6 С2(е/д)(2-Т)/2 (1/т)Т/2,                                (5)

||и* — ид| 6 С2(е/д)(1-т)/2 (1/т)(1+т)/2.                            (6)

Доказательство. Введем обозначения х = Ддр(и-), у = Дт|и* — ид |, а = С₂(1/д)^(1-т)/2 (1/т)^т/2.

Тогда неравенство (4) запишется в виде ж² + еу² 6 Еаж^1-Т у^т, т.е. ж² 6 Еах^1-Т у^т и у² 6 аж^1-т у^т . Из первого неравенства получим ж 6 (еау^т )^1/(1+т). Подставим эту оценку во второе неравенство, тогда у 6 аЕ^(1-т)/2 и, следовательно, ж 6 аЕ^(2-т)/2, что с учетом введенных обозначений совпадает с неравенствами (5) и (6). Следствие доказано.

Следствие 3 ( [5]) Пусти 1) выполняются условия теоремы 3;

• 2)    числа т Е (0; 1], а >  0, А >  0 у у, m, С₂, С3, С4 - поломсителиные числа такие, что для любых и, v из Е выполняются неравенства

г(и^- ) 6 т(и).

Р(и-) 6 Р(и)- т(и*) 6 т(и).

р(и*) 6 р(и).

q(и*) 6 С2т(и).

(Ғ1и, и — ио) >  а г²(и) + Ар²(и).

(Ғ 2 и, и^-) > yq²^^-).

(Аи — Av, и — v) > m ||и — v^².

а для элемента ио выполняются соотношения:

М = 0.

|(Аи о , v)| 6 Cзq(v) +С 4 Т^2-т (v)р^т(v).

Тогда справедливо следующее уточнение оценки (3):

• 1)    при а >  0, А > 0, т Е (0:1) имеем

г(и_£) 6 2еС5Д/а, р(и_е) 6 2EC5/VА, q(и-) 6 2еС _ь / ^ У, \1и_е — ио| 6 \/ЁС5Д/т;

• 2)    при а >  0, А = 0, т Е (0:1) имеем

г(и_£ ) 6 2е^{(2 т)/2}Сб/^а, qK ) 6 2е ^{(2 -т )/2}Сб/ТУ,                                  (8)

|и_£ — и о | 6 2е^{(1 - т 2}С_{£ x}m:

• 3)    при а > 0, А > 0, т = 1 имеем

Va т(и_е) 6 еС ₇ ,

р(и_е) 6 2еС 7 / ^ А,, q(и-) 6 2еС 7 / Д Д,

\\ие — ио| 6 еССчІ^тл где л !(С2С3+2С4)2    С2    (1-т)2(1-г)/тт2С2

• ^С5 = V      4 а     ⁺ 4ц ⁺        А        ,

_г _  / ( С 2 С з +2 С ^т С4 )² , С'2 , (1 -т ) ^{2(1-т )/т}т2С^2тС2

• ^С6   V      4а       ⁺ 4ц ⁺         m        ’

р _  ^/ ( С1С2С3 +2 С4 )² , С²

• ^С7 = \      4 А      ⁺ 4ц .

Доказательство. 1) пусть ж = т(ие), у = р(ие), z = q(и-'), w = \ие — ио|, тогда неравенство (3) с учетом условия 2 следствия 3 примет вид аж2 + А у2 + у z2 + е m w2 6 е (Cзz + 2 С4 ж1-т ут + С2Сзж).

Рассмотрим теперь случай с т Е (0; 1).

Неравенство Юнга (см. [3], с. 61) для произвольных положительных чисел а,Ь,5 и 3 Е (0; 1) дает аЬ 6 да¹/³ + (З/д)¹³/^(1-13^(1 — 3 ) Ь^1/(1-,3\

Положим /3 = 1 — т, 5 = е ⁷, а = ж^{1 т}, b = у^т. Тогда последнее неравенство примет вид ж^1-т у^Т 6 ЖЕ- + (1 — т )^(1-т)/тт Е⁷(^1-т)/т у.

Используя последнее неравенство, перепишем исходное в виде аж2 + А у2 + цг2 + е m w2 6

6 е (Сзг + (С-2 С-3 + 2 С-4 е ^{- 7} )ж + 2 С4 (1 — т)^(1-т)/ттЕ^^(1-Т)^^Ту);

• 2)    пусть а >  0, А > 0, у = 0, тогда, выделяя полный квадрат в левой части последнего неравенства, получим

(Даж — е (С2Сз + 2С4)/2Да)2 + (САу — е С4 (1 — т)^(1-т)/т т/СА)²+

+ (ДД г — е Сз/2Дц)² + Е m w² 6

6 Е2 ((С2 Сз + 2 С4)2/4а + (1 — т)2(1-т)/т т2 С2/А + С2/4ц), из этого неравенства следует (7);

• 3)    пусть а >  0, А = 0, т Е (0; 1), у = т/2, тогда, используя соотношение р(п_е) = р(и_е — по) 6 С ||п_е — по|, получим

аж² + д г² + е m w² 6

6е (Сзг + (С2 Сз + 2 С4 Е-т/2)ж + 2 С С4 (1 — т)(1-т)/ттЕ7(1-т)/2w), из этого неравенства так же, как и в 2), получим неравенство (8);

• 4)    пусть а >  0, А > 0, т = 1, тогда

аж2 + А у2 + д г2 + е m w2 6 е (Сзг + (2 С4 + С1 С2 Сз )у), что дает (9). Следствие 3 доказано полностью.