Одна кристаллографическая задача

Номер кристалла	206Pb c , %	Содержание, мкг/г			232 Th/ 238 U	Изотопные отношения		КК*	Возраст, млн лет
		U	206 Pb*	Th		206Pb*/238U ± %	207Pb*/235U ± %		206 Pb/ 238 U	207 Pb/ 206 Pb
1.1	0.13	566	28.7	753	1.37	0.05904 ± 0.66	0.439 ± 2.4	0.269	369.8 ± 2.4	368 ± 53
1.2	0.09	1311	66.6	2156	1.70	0.05904 ± 0.46	0.4391 ± 1.6	0.290	369.8 ± 1.7	368 ± 35
1.3	1.19	537	27.5	835	1.61	0.05892 ± 0.75	0.44 ± 5.8	0.131	369.1 ± 2.7	376 ± 130
1.4	0.36	635	32.4	801	1.30	0.05912 ± 0.64	0.441 ± 2.9	0.219	370.3 ± 2.3	376 ± 65
1.5	0.21	1403	63.8	2371	1.75	0.0528 ± 0.49	0.3908 ± 2.3	0.213	331.7 ± 1.6	358 ± 51
1.6	1.92	1596	73.9	3079	1.99	0.05285 ± 0.59	0.388 ± 8.1	0.073	332 ± 1.9	341 ± 180
1.7	0.13	1073	49.5	1237	1.19	0.05364 ± 0.59	0.3946 ± 2.1	0.290	336.9 ± 2	344 ± 44
1.8	1.77	554	26	702	1.31	0.0537 ± 0.92	0.397 ± 7.5	0.123	337.2 ± 3	353 ± 170
1.9	0.17	918	43.2	1339	1.51	0.05467 ± 0.65	0.4048 ± 2.1	0.303	343.2 ± 2.2	359 ± 46
1.10	2.28	41	1.35	41	1.03	0.0375 ± 3.1	0.265 ± 24	0.128	237.2 ± 7.1	257 ± 550

* КК — коэффициент корреляции.

быть связано с сильным метаморфизмом пород; некоторые из цирконов, вероятно, являются чуждыми, т. е. захваченными в момент внедрения магмы из ниже- или вышележащих толщ;

• • эти данные подтверждают позднедевонский возраст сопчинского доле-ритового тела, определенный ранее по геологическим и радиологическим данным.

Т. 5. Сыктывкар, 1978. С. 31—36. 3. Оста-щенко Б. А. Петрология и оруденение цен-трально-пайхойского базальтоидного комплекса. Л.: Наука, 1979. 113 с. 4. Устриц-кий В. И. О соотношении Урала, Пай-Хоя, Новой Земли и Таймыра // Геотектоника, 1985. №1. С. 51—61. 5. fiшкин Н. П. Опыт среднемасштабной топоминералогии. Пай-хойско-fiжноновоземельская миʜepaлоги-ческая провинция. Л.: Наука, 1980. 376 с.

ОДНА КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАfl ЗАДАЧА

Однажды, читая воспоминания К. П. flнулова об Осипе Марковиче Ан-шелесе, один из нас (fi. П.) обратил внимание на интересную кристаллографическую задачу. Ниже приводим отрывок из текста Кирилла Паскалье-вича:

«…Один из сотрудников кафедры минералогии обратился то ли ко мне, то ли непосредственно к Осипу Map-ковичу (во всяком случае, я пpи сем присутствовал) c ʙoпpocoм o возможности аналитического определения координат оси симметрии по координатам граней неюстированного кристалла, т. е. кристалла, измеренного нa гониометре в случайном положении. В известной книге О. М. Аншелеса «Вычислительные и графические методы кристаллографии» (1938) такой задачи нет. «Надо подумать», ответил он. Затем Осип Маркович пpигласил меня к себе домой решать предложенную задачу. Должен признаться, что моя «активная роль» ограничилась иcпpaʙлe-ʜиeм знака перед величиной тригонометрической функции. Все же осталь-ʜoe ʙpeмя я лишь наблюдал, как Осип Маркович выискивает и решает сферические треугольники, да пo мepe надобности находил в таблицах нужные значения тригонометрических величин.

На следующий день я пpиʜec решение. К сожалению, текста решения задачи у меня не сохранилось, а сам Осип Маркович eго не опубликовывал…»

Отдавая должное знаниям и умениям наших предшественников, мы подумали: а сможет ли кто-либо из наших коллег решить эту задачу? И, как это часто бывает, решили сначала выяснить это между ʜaми «ʜa cпop». Какого же было наше удивление, когда pe-шение задачи в общем случае (для всех кристаллографических осей симмет-pии) ʜaм удалось найти очень быстро (даже неудобно об этом писать — за 20 минут).

Почему же такая, казалось бы, пpo-стая задача потребовала целого вечера напряженной работы двух выдающихся кристаллографов?

Конечно, мы знаем, что математика как многогpaʜʜaя наука paсполaга-ет множеством инструментов для pe-шения одной задачи. Из школьного курса математики известно, что практически любую алгебраическую задачу (по крайней мepe, ʙ рамках школьного курса) можно решить с помощью геометрических методов, а с другой стороны, геометрическую задачу можно решить алгебраически. Так, древние греки, к пpимepy, решали все задачи геометрически, и впервые к проблеме иррациональности числа «пи» они подошли через геометрию в задаче «квадратуры» круга. Известно также, что Омар Хайям в свободное от других занятий ʙpeмя решал кубические ypaʙ-ʜeʜия тоже геометрическим методом. Сейчас нам уже не понятно, как это им удавалось, — ʜaпpимep, решение квадратного ypaʙʜeʜия c помощью циркуля и линейки?

Мы решили, что нам повезло и мы нашли самый короткий и быстрый способ решения задачи. Метод сферических треугольников, использованный для этого О. М. Аншелесом, относится к классическим пpиeмaм стереомет-pии, применяемым в геодезии и картографии, и, вероятно, не самый скорый способ решения данной задачи. Мы для достижения этой цели избрали векторную алгебру, которая широко используется в физике.

По правде говоpя, можно допустить и такой ответ — мы ошиблись и решение нами не найдено, но в это как-то не хочется верить. Приводим ниже pe-шение задачи, отвечая, таким образом, на невысказанную просьбу Кирилла Паскальевича.

Задача. Определить координаты оси симметрии кристалла по коор-

динатам граней неюстированного кристалла.

Предположим, что три грани произвольно закрепленного в двукружном гониометре кристалла принадлежат одной простой форме и размножены осями симметрии третьего , четвертого или шестого порядков. Заметим, что если нам даны координаты только двух граней для нахождения оси симметрии третьего , четвертого или шестого порядков, то решение задачи становится неоднозначным.

Итак, для трех нормалей к симметричным граням измерены на гониометре два угла в сферических координатах { 9 i , ф i }, где i = 1, 2, 3. Перейдем в декартовые координаты, вычислив направляющие косинусы нормали к i -той грани по формулам:

, bi = sin 9i sin фi,         (1)

ci = cos 9i, а направляющие косинусы оси симметрии обозначим через a0, b0, c0.

Заметим, что для направляющих косинусов всегда справедливо уравнение нормировки

V a i + b i ² + C i ² = 1,        (2)

где i = 0, 1, 2, 3. С другой стороны, можно заметить, что (ai, bi, ci) представляют собой проекции единичных векто- ров, ориентированных по направлениям трех нормалей, и оси симметрии. Тогда скалярные произведения любого i-того вектора с «нулевым» (вектора, направленного по оси симметрии кристалла) будут равны между собой:

a о a 1 + b o b + c о c 1 =

= a о a 2 + b о b 2 + c о c 2 = (3)

= a о a 3 + Ь о b 3 + c о c 3 .

Система из трех уравнений, два из которых записаны в двойном равенстве (3), а третье — уравнение нормировки (2), позволяет однозначно найти три неизвестных величины ( a ₀, b ₀, c ₀) по известным направляющим косинусам трех симметричных граней, выраженных формулами (1).

Ось второго порядка, как известно, проявляется двумя симметричными гранями с координатами { 9 i , ф i }, для нормалей к которым также необходимо вычислить направляющие косинусы по формулам (1).

Вектор ( a ₀, b ₀, c ₀) направленный по оси симметрии второго порядка, лежит на биссектрисе угла между единичными векторами ( a ₁, b ₁, c ₁) и ( a ₂, b ₂, c ₂). Поэтому векторные произведения «нулевого» вектора с каждым из двух векторов равны.

Отсюда легко найти три уравнения, выражающие равенства проекций двух полученных векторов (результатов век- торного произведения) на координатные оси:

,

,     (4)

Из трех последних линейных уравнений (4) находятся неизвестные направляющие косинусы ( a ₀, b ₀, c ₀) оси симметрии второго порядка.

По найденным значениям направляющих косинусов ( a ₀, b ₀, c ₀) нетрудно найти сферические координаты оси симметрии, выполнив обратные формулам (1) преобразования:

Ф о =

^b 0     _.

V¹ - ^c о

Таким образом, задача нахождения сферических координат оси симметрии неюстированного кристалла, по существу, сводится к решению систем из трех уравнений с тремя неизвестными, что делается совсем просто. После нахождения координат оси симметрии кристалла можно отъюстировать его на двукружном гониометре необходимым образом. Предлагаем читателям решить эту задачу другим способом. Возможно, будет найдено и утерянное решение О. М. Аншелеса.

Д. г.-м. н. В. Ракин, с. н. с. П. fiхтанов

к. г.-м. н. академика               к. г.-м. н. а. г.-м. н.Е. А. Голубева Н. П. Юшкина         Д. А. Бушнева О. К. Баженову лауреатов гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук и их научных руководителей.

Желаем новых творческих достижений!