Однородность магнитного поля систем правильных многоугольников с током

Генерирование однородного магнитного поля является необходимым условием как для проведения многих физических и биологических экспериментов, так и для калибровки различных физических устройств. Наиболее часто для этих целей служат системы катушек с током, позволяющие достаточно легко поместить исследуемый объект в пространство с магнитным полем. В зависимости от назначения были разработаны различные конструкции систем катушек, отличающиеся друг от друга формой, количеством и пространственным расположением. Наиболее широко исследованы круглая и квадратная геометрия катушек в конфигурации Гельмгольца. В меньшей степени - треугольная и многоугольная геометрия.

В данной статье представлено сравнительное исследование однородности магнитного поля для круглых, квадратных, треугольных и шестиугольных катушек Гельмгольца вдоль оси симметрии.

Магнитное поле системы двух правильных многоугольников с током

Используя закон Био-Савара-Лапласа, рассчитаем магнитное поле осесимметричной системы двух правильных р -угольников (витков) со сторонами равными Ь, током I и лежащих в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии и находящихся на одинаковом расстоянии l от центральной точки на оси z = 0. Ограничимся проекцией вектора магнитной индукции на ось z. В результате расчета получаем (рис. 1).

Bz(z) = р   1Ь- ctg - [----------------------1                       +

• ^{-     Р} ((z + D² + 4ctg² -) ^С^У^^^^^

]■

((z — I)2 +brctg2 -) j(z — iy+^(1 + ctg2-)

Отметим, что при р ^ го и Ь ^ 0 (рЬ ^ 2nR) получается выражение для проекции магнитного поля двух круглых витков с током [1]

Bz(z) = ^-IR² [--------¹------- 3 +--------¹------- 3 ] ■                       (2)

• ²     L((z + l)² + R²) 2    ((z - l)² + R²) 2 J

Здесь R — радиус витков (колец).

б

Рис. 1. Система двух соосных эквивалентных круглых (а) и квадратных (б) проводников с током

Введем безразмерные переменные и рассмотрим магнитное поле на оси в пространстве между двумя р -угольниками с током z         b     R

—1<1

Bz(z) = P5"jd'2ctg17V—                   1

27 l       р / z

--------------------------- ■ +

+ 1)2 + d2ctg27) J(y+ 1)2 + d2 (1 + ctg2 77)

((f-D2 +

S_z⁽0) = B_o = p—^-d²ctg-

77 l         р

]-

— 1)² + d²(1 + ctg²⁷)

(1 + d²ctg² 7) J1 + d² (1 + ctg²P)

В указанной области разложим в в центре системы (z = 0) выражение для проекции магнитной индукции в ряд Тейлора поz/l до четвертой степени. Очевидно, что нечетные степени в разложении зануляются, вследствие симметрии системы Тогда имеем

Bz(z) = Bz(0) +

1d²Bz(0) ₂

--7. L

2! dz2

+

1 d4Bz(0), z x z4 ।

4!  dz4Z

Чем больше младших производных в разложении можно занулить, тем однороднее магнитное поле в центре системы. Пусть вторая производная от проекции вектора магнитной индукции (3) по z равна нулю. Получаем кубическое уравнение вида d6 (3ctg6 — + 5ctg4 — + 2ctg2 —) — d4 (6ctg4 — + 10ctg2 — + б) — d2 (21ctg2 — + 15)

- 12 = 0 (5)

Данное уравнение имеет аналитическое решение для произвольного р. В таблице 1 приведены численные значения d(p') для первых десяти правильных многоугольников (и окружности) и приведенный радиус описанной окружности г(р) для сравнения размеров этих многоугольников в поперечном направлении. Выражения (1,2) и значения таблицы 1 совпадают с аналитическими результатами работ [2, 3], где были рассмотрены круглые (р = го) , треугольные (р = 3) и квадратных (р = 4)

многоугольники с током с учетом замены I = h/2,b = 2а, М =1 где h — расстояние между многоугольниками, 2 а —длина стороны многоугольников или диаметр окружности, М —число витков с током в каждом многоугольнике.

При занулении второй производной разложение магнитной индукции в ряд Тейлора начинается с четвертой степени (не считая нулевой). Такие системы называются системами (кольцами) Гельмгольца [4].

Таблица 1.

Отметим, что в работе [3] для сравнения однородности магнитного поля систем круглых, треугольных и квадратных витков рассматриваются системы с одинаковыми сторонами 2 а, которые имеют приблизительно одинаковые поперечные, но разные продольные размеры, т.е. находят- ся на разном расстоянии h(a) друг от друга. Магнитное поле изучается на одном и том же отрезке вдоль оси z вокруг центральной точки z = 0. В результате имеем [3]:

для круглых витков

32n5z0            /z                      йо^

Bz(z) = -^° [1 — 1,152 (-)4], h = a,    BZO=^N, для треугольных витков

₅ (z) =-----3^65z0      [1 — 6,0254 (^Z)⁴]

, h = 0,6536a,

1.3204V4.3204a            va -I для квадратных витков

5z(z) =

165zo

1.2965V2.2965a

[1 — 0,8068 (|)4], h = 1,0890a.

Рис. 2. Распределение магнитного поля система двух соосных: a) квадратных (1), круглых (2) и треугольных (3) проводников с током имеющих одинаковые а длины сторон; б) квадратных (1), круглых (2) и треугольных (3) проводников с током находящихся на одинаковом расстоянии Z друг от друга.

б

z/Z

На основании приведенных выше выражений и расчета, приведенного на рисунке 2а в работах делается вывод, что магнитное поле системы треугольников с током гораздо менее однородно, чем поле системы квадратов и круглых витков с током.

Нам представляется более правильным другой подход. Сравним магнитные поля систем, имеющих одинаковые продольные размеры, т.е. находящихся на одинаковом расстоянии Z друг от друга, но разные поперечные. В результате имеем:

для круглых витков

Bz(z) = ^Ц [1—97 (Z)4] = ^ 0.3578[1 - 0,0720 (Z)4], Z 3      125 Z         Z                            Z для треугольных витков

Bz(z) = p0.3411[1

- 0,0687 (Z)4],

для квадратных витков

Bz(z) = ^-0.3528[1 — 0,0709 (Z)4], для шестиугольных витков

Bz(z) = ^0-0.3567[1

- 0,0662 (Z)4],

и т.д. Если на рис.2а для каждой из кривых ограничится интервалом по оси абсцисс

h(a)

--:

а то мы получим по оси ординат значения аналогичные значениям, приведенным на рисунке 2б.

Заключение

На основании закона Био-Савара-Лапласа получено выражение, позволяю- z h(a) а — а , щее рассчитать магнитное поле вдоль оси симметрии систем Получено выражение, позволяющее. Таким образом, на основании полученных выше уравнений и расчетов, приведенных на рисунке 2б, можно сделать вывод о, практически, одинаковой однородности магнитных полей систем ком, имеющих одинаковые продольные правильных р - угольников (и колец) с то- размеры.