Однородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим дифференциальные уравнения вида dy = f (Ax + By) dx

В данном уравнении A и B - константы, для того чтобы решить данное уравнение его необходимо свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой z = Ax + By. Получим уравнение в новых переменных z и x. [1, c. 18]

dz = A + Bdy, dx       dx

dz

- = A + Bf (z ) dx

Разделяя переменны придем к виду dz

----------= dx

A + Bf ( z ) dx

После интегрирования уравнения (3)

[-----z ----+ C

A + Bf ( z) dx

Приведем методику решения конкретного дифференциального уравнения данного типа.

Рассмотрим уравнение следующего типа, являющееся в данном случае однородными дифференциальными уравнениями первого порядка:

dy= /Г y dx у x у

Оно также сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой вида z = y(6)

x

И последующей заменой переменных в уравнении (5)

dydz

— = x+ dxdx dz x— +z = f(z)

dx dz f (z) - z x dz— = In | x | + C

^J f ( z ) - z

dz

x = Ce^J f ⁽ z ⁾ - z                                              (7)

Рассмотрим решение однородного уравнения типа (1) на следующем примере №1

dy = 2 x + 3 y dx

Совершим замену переменных z = 2 x + 3 y и согласно (2)

dz = 2 + 3 dy, dx      dx dy

— = z dx

Выражая y через z в первом уравнении (10) и разделяя dx получим dz

— = 2 + 3 z dx dz

-----= dx

• 2    + 3 z

Проинтегрируем (11)

(10) переменные

dz

— = 2 + 3 z dx

d

(   2)

z +—

— + z

= dx

. .      2.

In | z + -|= 3 x + C

• 2    .               . .

In | z + - 1 = 3 x - In | C |

• ³                                                 (12)

z + ² = Ce³ x

Возвращаясь к исходным переменным получим следующее общее решение исходного уравнения (8)

2 _

2 x + 3 y + - = Ce³ x                              (13)

Методы решения однородных дифференциальных уравнений также важны при построении решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений.