Ограниченность интегрального оператора, действующего в весовых пространствах Лоренца

Линейное нормированное пространство X = V: llfll^банаховым функциональным пространством, если в дополнении к обычным аксиомам нормированного пространства также выполнены следующие свойства:

• (1)    ll/llx определена для каждой измеримой по Лебегу функции / на полуоси, и f E X в том и только в том случае,

если / — 0 почти всюду (п.в.);

(2) ll/llx = II in llx для всех fEX ;

• (3)    если       O^f ^9   п.в.,   то

Hfllx S llyllx;

• (4)    если      0   п.в.,   то

Hfllx T Hpllx;

• (5)    если E с X ,    mesE < oo,   то

IlZsIlx < 00;

• (6)    если         mesE < oc,        то

если Hfllx

00 ;

Например, пространство   Лебега

L^p = L^p (R, tig) измеримых функций c ко-

Il/h = 0 в том и только в том случае,

нечной нормой

является банаховым функциональным пространством.

Также банаховыми функциональными пространствами являются пространства Лоренца, которые будем рассматривать в разделе 2.

Теория банаховых функциональных пространств подробно изложена в монографии [1].

Пусть         ,          – два весовых банаховых функциональных пространства измеримых функций, заданных на, где весовые функции          измеримые по Лебегу, положительные и конечные почти всюду на

Рассмотрим интегральный оператор Хардивида

,(1.1)

где неотрицательная весовая функция.

Для данного банахова функционального пространства двойственным пространством Х является пространство X = с '• J. "V' < - ?.:.'f ;<; "' £ л;, снабженное нормой

.(1.2)

Пространство также является банаховым функциональным пространством, причем равенство

(1.3)

выполняется для всех     . Пространства и являются полными линейными нормированными пространствами и      . [1]

Неравенство Гельдера ir„“rsl S ll/IMIsll,

(1.4)

выполняется для всех      и

Принцип двойственности. T:X ->Y является ограниченным линейным оператором таким, что ||Т/||_Х< С||/||_х для всех fEX с положительной константой С тогда и только тогда, когда

• (i)    ||T'_S||_x.S||_r

• (ii)    для всех g E Y ,

• (iii)    где двойственный оператор T\ Y'-^X определяется по формуле (iv)

№Л д = I®f(T'g') ,

(1.5)

(1.6)

или

(v)|f0W)5|^C||/||x||5||y. для всех fEXи8EY‘, с некоторой константой C.

Положительная константа c определяет норму 117’11 , и, таким образом, l|7’llx^y — 117* lly-^x

Двойственный оператор T'-. Y'^X и

^Tf^g^u^dx = SqT gtoftov^dx .        (1.7)

Пространства Лоренца

Если измеримая функция ƒ определена на измеримом пространстве ((0, °0), v(x)dx).

Для

1 < r, S < oc, весовой функция »(x) на K⁺ = (0,x), пространство Лоренца L” = L-(R⁺) состоит из всех измеримых функций ƒ таких, что

(2.1)

где невозрастающая перестановка fy функции ƒ относительно v(x~)(ix определяется следующим образом f^t) = infU > 0 : v({% > 0 : |/(x) | > Л}) < t}

(2.2)

Заметим, что ^) = 4

v(x)dx, и и/ni7 = ил^=a0°°if(t)rxt)dOVr

Пространство Лоренца ^v является банаховым фнкциональным пространством, если 1 < S < T, 1 < S < Г < X. Если же 1 < r < s < x , то будет банаховым фнкциональным пространством относительно другой нормы, эквивалентной (2.1):

где ГЧ0=;^Г(т)<1т, t>0

Пространства Лоренца ^ обладают абсолютно непрерывными нормами.

Напомним, что норма в банаховом функциональном пространстве X абсолютно непрерывна, если для всех fEX, \fXEn^X_x ^ ° для каждой последовательности множеств {EJ c JR⁴ таких, что Z^W "* ° п.в.

Для пространства ^v> двойственным пространством ^V является пространство

,

(2.3)

снабженное нормой

I^Lry = sup ^"|f(x)5(x)v(x)dx| : l/l^ < 1].(2.4)

Неравенство Гельдера

|/^/(%)у(%)г(х)^х| < ifi^Jsl^y,(2.5)

где

- + - = 1, - + - = 1,    1 < r < X, 1 < s < x r r's s'

и

(2.6)

Нашей целью является получение критерия ограниченности, оператора Харди, действующего в весовых пространствах Лоренца T : L7№⁺) -^ L^№ в области

1 <  p, q < х, 1 <  r,s < x и max (r, s} <  q вида

Tfto = /^(O/XOdr, x > 0,

(2.7)

где неотрицательная весовая функция u(t) 6 L^rs (0, x) для всех x > 0.

Мы исследуем более общий оператор, чем в статье [2], и другой случай индексов, чем результаты исследований [3]. Доказательство достаточности в критерии ограниченности оператора проводится с

помощью принципа двойственности банаховых функциональных пространств.

Ограниченность оператора Харди в пространствах Лоренца

Для доказательства ограниченности оператора (2.7) необходима следующая лемма.

Лемма 1 [2] . Пусть 1 <  r,s < x, max (r,s) <  q, и f^} – последовательности измеримых, попарно непересекающихся интервалов таких, что UE_k = (0,x).

Тогда

(3.1)

Доказательство. Используя неравенство Минковского с параметром j < 1и неравенство Йенсена при r - ¹ , получаем

^iMir,. = ^:w\to^,,rst”^idtT'’⁵ ^^k(xE.,f)to^f'^st■-^dt\'^,'' 5 ($;w^t^²-W^,s = ишь. □

Критерии ограниченности оператора (2.7) содержатся в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть 1 <  p, q < x, 1 <  r,s < x, max {r, s} <  q .

Оператор

T : L7(IR⁺) -» L”(^⁺) вида (2.7) ограничен тогда и только тогда, когда

(3.2)

t>0

Более того, Л < liril^iP? < 4Л.

Доказательство. Необходимость. Если T : L7№+) -^ L^№ ограничен, тогда, используя аксиомы (2), (3) банахова функционального пространства для произвольного t > 0 и всех неотрицательных f E l;4r+) таких, что f(y)u(y) > О, получаем

2 11/[_м)11_гР/о^и<У)Ау)^У = I|Z[^|| _Р1/^м(у)м(у)Лу)^ .

jrV

Таким образом, приходим к неравенству llz[to)Lq/omZ[at](y)u(y)fM < lini^^Hfii^.

^P||fllIpJZ[f^|LpJoeZ[o,t](y)u^              S sup IITII^^HfH^.

Полагая fl(y) = Z[o.t]6')u6')i' ^ и учитывая, что /СуХу) 2 o, в силу формулы (2.4), получаем

/-00

sup ZMkXyX^OfMXDdy = Izto^ur-1! r.s..

If IlP0                                                      P

^A(0 = llz_[№)l|- IZm"¹⁷"¹^' ⁵ H^L?^^⁴.

Следовательно, A - М^-^И для всех t > c , и оценка снизу доказана.

Достаточность. Из принципа двойственности следует, что для оценки сверху достаточно доказать неравенство co

I Tf(x)fl(x)w(x)dx <  C||/^,||_Lr_S||5l|_£p'_q 0

для всех / E l;4r⁺) и 9 E L^ (R⁺).

По условию 1 <  p, q < ос, 1 < r, s < ос и max [r, s) <  q . Предположим, что /■(t)u(t) > 0. Пусть m £ Z такое, что ^u^f(r-)dT G (2^m, 2^m+1]. Тогда найдется возрастающая последовательность ^^xk^k=-oc , что для к < m — 1 выполняется

2^k = ^^ku(TW)dT = $^u(TW)dT,     (3.3)

и

2m = ^mu(T)f(T)dT.

(3.4)

Положим Е_к = [x_k,x_k+J к<т—1, а ^+i = ^ж-

Таким образом, получаем последовательность попарно непересекающихся интервалов

Г^к) таких, что

Uk

(3.5)

Если /₀”^(T)f(r)dT = ос, тогда (3.3) выполняется для всех к Е Z и (3.4) остается справедливым. В силу формул (3.3) и (3.4) заключаем, что

Tf^ < 2^k+1 для х Е Е_к, к < тп.          (3.6)

Следовательно, ПТН^^ <4Л. □