Об определении младшего коэффициента в параболическом уравнении второго порядка

Рассматривается обратная задача восстановления младшего коэффициента, зависящего от времени, в параболическом уравнении второго порядка. Неизвестный коэффициент является управляющим параметром. Обратная задача состоит в нахождении решения начально-краевой задачи для этого параболического уравнения и этого коэффициента зависящего от времени с использованием данных начально-краевой задачи и точечных условий переопределения. Рассмотрены случаи краевых условий Дирихле и условий с косой производной. Описаны условия, при выполнении которых имеет место теорема существования и единственности решений данной обратной задачи, описан метод численного решения и приведено его обоснование. Все рассмотрения проводятся в пространствах Соболева. Решение прямой задачи основано на методе конечных элементов и методе конечных разностей. Предложенный алгоритм численного решения состоит из трех этапов: инициализации массива, описывающего геометрию области и граничного вектора; реализации итерационного расчета искомого коэффициента c использованием метода конечных элементов; реализация метода конечных разностей. Представлены результаты численных экспериментов, построено численное решение модельной обратной задачи в случае краевых условий Неймана, описана зависимость ошибки вычисления управляющего параметра от изменения коэффициентов уравнения и уровня зашумленности данных переопределения для областей с различным количеством узлов, зависящих от расположения точки наблюдения. Результаты вычислений показывают хорошую сходимость метода. В случае введения 10 % случайного шума погрешность между искомым решением и найденным увеличивается от 8 до 35 раз, но график восстановленного коэффициента остается близким к графику решения и повторяет его контуры.