Оперативное планирование объемов затрат и выпуска продукции

Существующие методы исследования финансовой деятельности предприятий основываются на анализе основных статистических показателей за некоторый период времени. Задача оперативного планирования фактически остается в стороне. Но быстрое развитие информационных технологий позволяет вновь вернуться к задачам, алгоритмы решения которых не разрабатывались из-за ограничений большой размерности, и при возникновении подобных ограничений использовать методы декомпозиции и агрегирования. Мы рассматриваем проблему оперативного планирования объемов затрат и выпуска продукции предприятия, производящего небольшое число видов продуктов. Аналогичная проблема (задача синхромаркетинга, заключающаяся в согласовании во времени интенсивности спроса, производства и реализации продукции) рассмотрена в работе С.В. Жака «Математические модели менеджмента и маркетинга».

Сформулируем основную задачу: найти наилучшие методы выбора интенсивностей производственных способов при заданных функциях спроса q ( t ) и объеме ресурсов S ( t ) , где t = 0, 1, N – 1 – номер одного из временных интервалов длительностью A t , на которые разбит плановый период T . Вектор переменных ресурсов (в том числе запасов) S ( t ) распадается на входные переменные запасов (в том числе комплектующих):

Sвх (t) = (S1 вх (t), ..., Sm 1 вх (t))T , а также на выходные переменные запасов:

S вых (t) = (S1вых (t), ,„, Sm2 вых (t))T , где m1 – количество входных видов ресурсов;

m₂ – количество продукции.

Уравнения состояния выглядят так:

——                     ——

S ^вх ( t + 1) = S ^вх ( t ) - a ( t ) + q ( t );

t = 0,..., N — 1.

—                            —

S^BMX ( t + 1) = S' ( t ) + y ( t ) — — ( t );

t = 0,..., N — 1,

где a(t) = (a 1(t), at(t),..., am 1 (t))T- вектор производственных затрат входных запасов, в том числе комплектующих, на t-м интервале времени;

y ⁽ t ) = ⁽ y 1 ⁽ t ), У 2 ⁽ t ), ..., У m 1 ⁽ t )) T ^- вектор ^выпуска продукции на t- м интервале времени;

q(t) = (q 1(t), q2(t),..., qm Дt))T- объем внешних поставок входных запасов на t-м интерва- ле времени;

r ⁽ t ) = ^{( r} 1 ⁽ t ), rt ⁽ t ),..., r m 1 ⁽ t )) T — объем реализации выходной продукции на t- м интервале времени.

Затраты и выпуск связаны с интенсивностями производственных способов [1]:

'a ( t ) = A_t t x (t)];                 (3)

,        ' y ( t ) = B _t [ x ( t )] ,                 (4)

где x ( t ) - время (интенсивность) работы агрегатов.

Здесь уместно применить модели В.В. Леонтьева, используемые на уровне предприятия [2]. Для этого вектор производственных затрат входных запасов a ( t ) и вектор выпуска продукции на t- м интервале времени свяжем некоторым преобразованием нормативных коэффициентов:

■ У ( t ) = Ft t x ( t ), a ( t )] .           (5)

Рассмотрим последнее выражение более подробно. Поскольку завод состоит из цехов, имеет место пространственно-временная структура. В качестве вектора неизвестных переменных берется вектор валовых выпусков X k ( t ) цехов за интервал At. Так как конечную продукцию могут произвести несколько цехов, выражение (5) распадается на системы уравнений с блочными матрицами.

Валовой выпуск к -го цеха x_к ( t ) за интервал времени д t распадается на две части: производственное потребление во всех цехах (внутрипроизводственное потребление) и конечное (непроизводственное) потребление. Внутрипроизводственное потребление i- го продукта равно:

EdW), j=1

а чистый выпуск продуктов k -го цеха составит:

xк -Е dkjx j (t);     i = 1, Nцехов , j=1

где N_k – количество потребляемых k -м цехом видов ресурсов;

N_цехов – количество цехов завода.

Если приравнять чистый выпуск каждого продукта каждого цеха и вектор его конечного выпуска yk (t), то получится система уравнений, которая и составляет модель В.В. Леонтьева:

x к - EAj t ) = y к ( t );

j = i                                      ⁽⁶⁾

k = 1, ..., N цехов , где Dк (t) = (dк t(t)) - матрица расходных коэффициентов (прямых затрат) количества единиц продукции i-го цеха, которые используются как сырье (промежуточный продукт) для выпуска соответствующей единицы продукции k-го цеха;

y_k (t) - подвектор вектора выпуска y k ( t ), который относится к k -му цеху, т.е. является в этом смысле конечным вектором выпуска всего завода.

Для определения валового выпуска цехов y ( t )по уравнению (6) имеем:

x^t ) = ( E - D к ( t )) ^{- 1} y к ( t ); (7) к = 1, ..., ^N ^еов в -

При этом предполагается, что матрица расходных коэффициентов удовлетворяет условию продуктивности. Полагаем, что значения векторов искомого вектора валового выпуска цехов y _к ( t ) мы найдем, что заданы вектор спроса q _к 1 t ) вектор объемов поставок (в том числе комплектующих) ст _к ( t )и аддитивный критерий прибыли.

Дополнительно к данным формализуемой задачи укажем расходные нормы, например, двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу соответствующего материала и оплату за 1 человеко-час (см. табл.).

Параметры оперативного планирования

Виды ресурсов	1 цех	2 цех	3 цех	Соответствующий вектор	Стоимость
Сырье 1	R 1 k 1	R 1 k 2	R 1 k 3	а к ( t )	c 1
Сырье 2	R 2 k 1	R 2 k 2	R 2 k 3	а к ( t )	c 2
Топливо	R 3 k 1	R 3 k 2	R 3 k 3	а 3 к ( t )	c 3
Трудоемкость	R 4 k 1	R 4 k 2	R 4 k 3	–	c 4

Суммарный расход сырья 1 можно получить, умножив соответствующую первую строку таблицы (матрицы R) на вектор x_к ( t ), т.е.:

Nцехов

Е R j x^ t ).

j = 1

Этот вектор должен быть равен затратам для at ( t ) к -го цеха:

Nцехов а к (t) = Et R к • x kj 11).          (8)

.j = 1

Аналогично для других видов ресурсов имеем:

Nцехов а к (t) = E R • x к (t);   i = 1,-, Nk. (9)

j = 1

Тогда естественное требование того, чтобы планируемые затраты были реализованы, налагает в силу (1) и (9) ограничение на выбор планового решения x ^ ( t ) следующего вида:

а l ( t ) <  S ^x ( t ) + q ^к ( t ),

где   S k ( t ) – вектор входных ресурсов, вх относящихся к k-му цеху;

q ^к ( t ) - вектор внешних поставок, относящихся к k -му цеху.

Рассмотрим структуру целевой функции, взяв за основу показатель прибыли за рассматриваемый период. Прибыль предприятия равна разнице между выручкой от реализации произведенной продукции и затратами (общезаводскими

Раздел 2. Прикладные исследования социально-экономических процессов издержками производства, издержками производства по цехам, затратами на амортизацию, приобретение и хранение запасов):

T - 1

Прибыль = ^ (-t, pt) - l = 0

Tt       -     -   Tt(11)

• --

• - X ((yt + St-1 ), et)- X (qt, at) ^ max, t = 0

где p_t - цены реализации на t -м интервале времени с учетом НДС и соответствующих вычетов на приобретенную продукцию;

• - - вектор реализованной продукции на t -м интервале времени;

• в — t - вектор затрат на хранение единицы продукции на t -м интервале времени;

• q_t - вектор внешних поставок (в том числе и комплектующих) на t -м интервале времени;

• - a t - вектор цен на приобретенную продукцию с учетом НДС на t -м интервале времени.

Желаемым решением задачи оперативного планирования является получение правил, явно выражающих зависимость оперативных планов в любом временном интервале от состояния системы (объекта) в этом периоде времени. Здесь на помощь можно призвать выделение сезонных элементов векторов состояния системы, которые позволят отдельно выделить трендовые составляющие и временные компоненты.

Результатом работы является приведенная математическая постановка задачи оперативного управления производством при использовании модели В.В. Леонтьева.