Описание идеалов лиева кольца NE6(K)

Цель статьи - доказать теорему, дающую описание идеалов лиева кольца NE ₆(К), где К- поле характеристики, К* 2. Воспользуемся представлением систем корней типаЕ ₆ , установленное Н. Бурбаки [1]. В частности, а ₁ , а₂ 6

- простые корни, а для корня r = 1 m i а i е E 6 использу- i = 1

ется обозначение

( m i m 3 m 4 m 5 m 6 )

I m 2             ,.

Согласно [2], введем обозначения: Ф⁺ - система положительных корней и база в системе корней Ф далее зафиксирована. Если г е Ф, то совокупность s е Ф⁺, для которых s - г линейная комбинация простых корней с неотрицательными коэффициентами, обозначим через {г}⁺. Корень s называется углом подмножества Н ^с NФ(К), если совокупность Н всех s-координат элементов изН отлична от нуля и Н_г = 0 при s а г _е Ф⁺, s е {г}⁺. Положим также Tr = (^|р е { r } ⁺^, Q ( r ) = ^[ у е { r } ⁺ , у * /) ,г^е Ф.

Пусть Н- идеал лиева кольца NE₆(К), а = t ^ 2 е(г ₁ ) + . + t_N2 е(г_N) е Н. Рассмотрим лиево произведение вида

(

а • Ke ( а 1 ) = K

1 t r e ( r + а 1 ) ,t_r = ct2,c=±1.(1)

r +ае E, V ¹⁶         7

Перенумеруем слагаемые в сумме высотой Н(г + а1), получим а-Ке(а1)=К

в соответствии с

( 1 t 1 e I

0 1     ( 1

⁺ t 2 e I

0 1

+

⁺ t 3 e I

0 1

+ 1 4 e I¹

0 1

+

( 1 1

+ t 6 e I

⁺ t 5 e I

1 1 0 '

11+

+ t_re

mod I ,

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть К- поле характеристики, К* 2. Аддитивная подгруппа Н * 0 лиева кольца NE ₆ (К) является его идеалом тогда и только тогда, когда для любого ее угла г и простого корня р, г + р е Ф⁺, Т(г + р) ^ Н всегда существует угол s и ненулевой элемент а е К, для которых s-ая координата любого элемента из Н совпадает с произведением г-ой координаты на а и хотя бы для одного z = 0, 1,2 выполняется условие а₁, ..., а:

существуют простые корнир =р,р_х, .,p_t такие, что т р ' р. ' . Рр г + т, s + т.е E +,

H з (...(( H * Ke ( p )) * Ke ( p i )) * ...) * Ke ( p j ), j = 0, i ;

H з Q ( r + m i) + Q ( у + m i ) .

где I - идеал, порожденный корневыми подгруппами Ке(г), Н(г) > 6 или

( 11111 1 г =

I 1

.

При t ₁ * 0 или t ₁ = 0, t ₂ * 0 получаем соответственно выражение вида

T I

с H

или

T I

с H .

Обозначим в соответствии с [3] через Н(г) высоту кор-няг. ПустьН-идеал лиева кольцаNE ₆ (К),К-поле. Если гугол множества Н и высота Н(г) > 6 или г один из корней

( 11111 1 ( 11111 '

I 1       7 V 0       7

то 6(г) с Н.

Условие для аддитивной подгруппы Н ^с АЕ ₆ (К) является идеалом, очевидно, равносильно ее замкнутости относительно лиева умножения на корневые подгруппы Ке(р), гдер пробегает простые корни. Поэтому описание заключается в выявлении условий, когда Н • Ке(р) лежит в Н.

Если а е NE ₆ (К), то через N(a) обозначим наименьшую сумму Т(г ₁ ) + Т(г ₂ ) + . + Т(г ^ ), содержащую а: k

Q ( а ) = 1 Q ( r ) .

i = 1

Допустим, что t ₁ = t ₂ = 0, t ₃ * 0. В этом случае рассмотрим произведения

(а • Ке(а ₁ )) Ке(а ₂ ) и (а • Ке(а ₁ )) Ке(а ₆ ).

Если

11110 T

I 0

^ H

,

то для произвольного элемента из Н коэффициенты при

( 0 1110 1

e

I 0

( 0 110 0 1

^{, e} I              1

обращаются в нуль лишь одновременно и равна

Q I        0

+ Q (

I 1

с H .

Если t. = 0, z < 4, t ₄ * 0, то рассмотрим произведение (а • Ке(а ₁ )) Ке(а ₅ ) по модулю I. Если

1 1110 0 1

T

¹               1

^ H ,

T I

^ H

,

то для всякого элемента из Я коэффициенты при

I 0 110 e

I 1 обращаются в нуль 6(а^Ке(а ₁ )) с Н.

,

1 0 1111 1

e

I 0

лишь одновременно, причем

то либо Q(а • Ке(а ₃ )) с Н, либо 2((а • Ке(а ₃ )) Ке(а ₁ )) с Н.

Случаи t. = 0, i < j, t ^ 0,j = 4,5,6,7 аналогичны предыдущему.

Если t ₁ ^ 0, t ₂ = 0, то рассуждениями, аналогичными произведенным выше, получим, что если Т(а ^Ке(а ₃ )) ^ Н,

Случай t. = 0, i < 5, t ₅ ^ 0 аналогичен предыдущему.

Аналогично (1) рассмотрим следующее лиево произведение:

а • Ke ( а ₂) = K

I                   1

У М ⁽ r + а 2 ) .

r +а ₂ е E +

В случае t₁ ^ 0и t₁ = 0, t ₂ ^ 0 рассмотрим произведения вида

((а • Ке(а ₂ )) Ке(а ₃ )) Ке(а ₆ ),

(а • Ке(а ₂ )) Ке(а ₃ ) и (а • Ке(а ₂ )) Ке(а ₆ ). Если

то возможны варианты:

• 1)    2(а • Ке(а ₃ )) с Ни для любого элемента из Я коэффициенты при е(а ₁ ); е(г), где г, по крайней мере, один из корней

  1 0 0 110 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 110 1

I ⁰ Л 1 Л ¹ J

1 0 0 111 1 1 0 0 111 1

I 0 Л 1 J обращаются в нуль лишь одновременно;

• 2)    5((а • Ке(а ₃ )) Ке(а ₄ )) с я и для любого элемента из Я коэффициенты при е(а ₁ ); е(г), где

00110 T

I 1

^ H ,

то для любого элемента из Якоэффициенты при

I 0 0 1 e

I 0

0 1

1 0 1 1

^, e I           0

0 1

или

1 0 0 110 1   1 0 0 111 1

r               или

I 1 J I 1 J обращаются в нуль лишь одновременно;

3) б(((а • Ке(а ₃ )) Ке(а ₄ )) Ке(а ₅ )) с Я и для любого элемента из Я коэффициенты при

. . ( 0 0 111 1

е(а 1 ), e I

I 0 0 1 e

I 0

0 1

I 1 1 1

^, e I           0

обращаются в нуль лишь одновременно и 2(а • Ке(а ₂ )) ^с Н. Когда t ₁ = t ₂ = 0, t ₃ ^ 0, требуемые включения получаем, рассматривая произведения

((а • Ке(а ₂ )) Ке(а ₁ )) Ке(а ₅ ),

(а • Ке(а ₂ )) Ке(а ₁ ) и (а • Ке(а ₂ )) Ке(а ₅ ).

обращаются в нуль лишь одновременно.

Рассмотрим лиево произведение а • Ке(а ₄ ). Перенумеровав слагаемые по высоте h(r + а ₄ ) при t ₁ ^ 0, t ₂ ^ 0, t ₃ ^ 0, если Т(а • Ке(а ₄ )) ^ Я возможны случаи:

1) для произвольного элемента из Я, по крайней мере, одна из пар коэффициентов при {е(а ₃ ), е(а ₂ )}, {е(а ₃ ), е(а ₅ )}, {е(а ₂ ), е(а ₅ )} обращаются в нуль лишь одновременно либо

Если t. = 0, i < 4, t ₄ ^ 0, то

Q I 1

с H ,

а из а • Ке(а ^ ) с Я получаем Q(а • Ке(а ^ )) с Н.

В случае t. = 0, i < j, t ^ 0,j = 5,6 если Т(а • Ке(а ₂ )) ^ Н, то Q(a • Ке(а ₂ )) с Н.

В соответствии со схемой доказательства рассмотрим Н • Ке(а3) и, перенумеровав слагаемые в соответствии с высотой h(r + аз), возьмем произведение а • Ке(а3).

При t ₁ = 0, t ₂ ^ 0и t ₁ = t ₂ = 0, t ₃ ^ 0 рассмотрим произведения

((а • Ке(а ₃ )) Ке(а ₂ )) Ке(а ₆ ), (а • Ке(а ₃ )) Ке(а ₂ ) и (а • Ке(а ₃ )) Ке(а ₆ ).

Получаем

T I

,

01111 T

¹           0

с H .

Если

2(а^Ке(а ₄ )) ^с Н, либо

2((а^Ке(а ₄ ))Ке(а ₅ )) U 2((а^Ке(а ₄ ))Ке(а ₂ ))Ц1 U б((а • Ке(а ₄ )) Ке(а ₃ )) с Н;

2) 6(((а • Ке(а ₄ )) Ке(а ₅ )) Ке(а ₆ )) U 6(((а • Ке(а ₄ ))х хКе(а ₃ )) Ке(а ₁ )) с Яи, по крайней мере, одна из пар коэффициентов при {е(а ₃ ), е(а ₂ )}, {е(а ₅ ), е(а ₂ )} обращается в нуль лишь одновременно.

Оставшиеся случаи аналогичны предыдущим.

Учитывая симметрию диаграммы Дынкина и существование графового автоморфизма, переводящего а ₆ в а ₁ и а ₅ в а ₃ , рассмотрение лиевых произведений Я • Ке(а ₅ ) и Н • Ке(а _б ) упрощается и сводится к повторению рассуждений для Н • Ке(а ₂ ) и Н • Ке(а ₁ ) соответственно.

Достаточность условий теоремы 1 получается непосредственно проверкой замкнутости аддитивной подгруппы Я относительно лиева умножения на множестве Ке(а). Теорема 1 доказана.

Заметим, что нормальные подгруппы в ( ЯЕ ₆( k )^ есть в точности аддитивные подгруппы, описанные в теореме 1 . При этом лиево умножение заменяется коммутированием.

Сформулируем теорему о соответствии идеалов и нормальных подгрупп для Е.

Теорема 2. Пусть К- поле, 2К=К. Идеалы лиева кольца NE₆(K) и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы ^NEE ₆( k )^.

Таким образом, получено описание идеалов лиева кольца благодаря теореме о соответствии описание присоединенных подгрупп.