Описание идеалов лиева кольца NF4(K)

Рассмотрено описание идеалов лиева кольца и благодаря доказанной теореме о соответствии описание присоединенных подгрупп.

Цель исследования - дать описание лиева кольца и установить взаимно однозначное соответствие между идеалами лиева кольца NF(K) и нормальными подгруппами присоединенной группы.

Определим Т(г) и 2(г) [1]. Если r^e Ф, то совокупность корней s ^e Ф⁺, для которых s-г-линейная комбинация простых корней с неотрицательными коэффициентами, обозначается через {г}⁺. Корень s называется углом подмножества Н с NФ(K), если совокупность H(s) всех s-координат из Я отлична от нуля и Н(г) = 0 при s^e Ф⁺, s e {г}⁺. Положим также, что

T ( r ) = KKe_s |Р e { r } ⁺} , Q ( r ) = ^СеДз e { r } ⁺ , s # Д , e_s - e(s), s ^e Ф.

Сохраним стандартные обозначения для высоты корня г как Л(г) [2].

Нам потребуется представление системы корней типа F ₄ , установленное Н. Бурбаки [3].

Основным результатом исследования является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть K- поле характеристики ^ 2. Аддитивная подгруппа Н^ 0 лиева кольца NF ₄ (K) является его идеалом тогда и только тогда, когда для любого ее угла г и простого корня р при г + р e Ф, Т(г + р) ^ Н всегда существует угол s и ненулевой элемент d ^e K, для которых s-я координата любого элемента из Н совпадает с произведением г-ой координаты на d и хотя бы для одного z - 0, 1,2 выполняется условие:

а. существуют простые корнир =р,р_х, —,р, такие, что ^mj-P₀+P_x + •••P_je F ,г + m_j,s + m_j^e F ,

H з (■■■(( H • Ke ( P )) • Ke ( P i )) •■ ■■) • Ke ( P j ), j = 0, i ;

H з Q ( r + m i ) + Q ( s + m i ).

Доказательство. Нетрудно показать, что если Я-идеал лиева кольца или нормальная подгруппа присоединенной группы, г - угол Н, Н(г) > 5 или г - (012 2), то Q(г) ^с Н.

Условие для аддитивной подгруппы Н ^с NF₄(K) является идеалом, очевидно, равносильно ее замкнутости относительно лиева умножения на корневые подгруппы Ke(р), гдер пробегает простые корни. Поэтому описание заключается в выявлении условий, когда Н • Ке(р) ^с Н. Рассмотрим эти условия.

Если a e NF ₄ (K), то через Т(а) обозначим наименьшую сумму Т(г ₁ ) + Т(г ₂ ) + • + Т(г ^ ), содержащую а:

k

Q (а) = 1 Q ( r ).

i = 1

При s с NF ₄ (K) полагаем T ( s ) = 1 T (a) , ae s

Q ( s ) = 1 Q (a).

ae s

Пусть Н- идеал лиева кольца NF ₄ (K),a - t ₁ 2 e(г ₁ ) + • + t_N2 e(г_N) e Н. Рассмотрим лиево произведение

a • Ke (a₁) = K

r +a i e F ^

) t e ( r + a)

J

где t - ct_г2, c - ±1 или c - ±2. Перенумеруем слагаемые в сумме в соответствии с высотой h(r + a ₁ ), слагаемые, соответствующие корням одинаковой высоты, упорядочи

ваем произвольно, получим

a^Ke(a ₁ )-K(t ₁ e(1 10 0) + t ₂ e(1 1 1 0) + t ₃ e(1 111) + + t ₄ e(1 1 2 0) + t ₅ e(1 1 2 1)) (modi), где i - идеал, порожденный корневыми подгруппами

Ke(г), Л(г) > 5 или г - (0 1 2 2).

Если t1 ^ 0 или t1 - 0, t2 ^ 0, то 7(110 0) с Н или, соответственно, 7(1110) с Н.

Пусть t ₁ -1 ₂ - 0, t ₃ ^ 0. Тогда имеем

(a •Ke(a ₁ XEKe(a ₂ )- Kt ₃ e(1 1 2 1)(modi) с Н;

a^Ke(a ₁ )-K(t ₃ e(1 1 1 1)+t ₄ e(1 120))(mod7U Т(1121)) с Н.

Таким образом, 2(1 111) с Яилибо 7(1 111) с Н, либо коэффициенты при e(0 1 1 1), e(0 1 2 0) обращаются в нуль одновременно для любого элемента из Н, и е(1111)+е(112 0)с н.

В случаях t . - 0, z < j, t ^ 0,j -4,5 2(г) с Н.

Рассмотрим следующее лиево произведение:

a^ Ke (a₂) = K

r +a 2 e F 4

)

t e ( r + a₂) , J

где tг - ctг2, c - ±1 или c - ±2. Учитывая, что идеал i с Н, перепишем равенство в виде

a • Ke(a ₂ ) -K(t ₁ e(1 10 0) + t ₂ e(0 110) + + t ₃ e(0 111) + t ₄ e(1 2 2 0)) (modi).

Пусть t ₁ ^ 0, тогда выполняется включение

((a • Ke(a ₂ )) • Ke(б ₃ )) • Ke(a ₃ ) -Kt ₁ e(1 1 2 0) (modi) с Н.

По модулю Т(1 12 0) U i имеем a-Ke(a1)=K(t1e(1 10 0) + t2e(0 1 1 0) + t3e(0 1 1 1));

(a • Ke(a ₂ )) • Ke(a ₃ ) -K(t ₁ e(1 110) + + t ₂ e(0 12 0) + t ₃ e(0 12 1));

((a^Ke(a ₂ ))^Ke(a ₃ ))^Ke(a ₄ )-K(t ₁ e(1 111) + +t ₂ e(0 1 2 1) + t ₃ e(0 12 2)).

Таким образом, если 7(1 111)^ Н, то коэффициенты при e(1 0 0 0), e(0 0 10) или при e(1 0 0 0), e(0 0 11) для всякого элемента из Яобращаются в нуль лишь одновременно и либо Q(1 110) с Н, либо 2(1 111) ^с Н.

Допустим t ₁ - t ₂ - 0, t ₃ ^ 0. Рассмотрим

(a^Ke(a ₂ ))^Ke(a ₁ )-Kt ₃ e(1 1 1 1)(modi) с Н;

(a • Ke(a ₂ )) • Ke(a ₃ ) -Kt ₃ e(0 1 2 1) (modi) с Н.

Таким образом, Q(0 111) с Я и, если 7(0 111) ^ Н, то для любого элемента из Я коэффициенты при e(0 0 11),

Вестник Сибирского государственного а эрокосмического университета имени академика М. Ф, Решетнева

e(1 12 0) обращаются в нуль лишь одновременно, при этом 2(0 1 1 1) + 2(12 2 0) с Я.

Рассмотрим произведение

Л

а • Ke (а₃) = K

I r+азе F4

) te ( r + а₃)

J для произвольного а е Н. Учитывая, что идеал I с Н, имеем а • Ke(аз)=K(t1e(0 110) + t2e(0 011) + +t3e(1 1 1 0) + t4e(0 12 0) +

+ t ₅ e(1 1 2 0) + t ₆ e(0 1 2 1) + t ₇ e(1 1 2 1)(modI).

Допустим, t ₁ ^ 0. Рассмотрим включение

((а • Ke(а _з )) • Ke(а ₁ )) • Ke(а _з ) -Kt ₁ e(1 1 2 0) (modI) с Н;

(a^Ke(a ₃ ))^Ke(a ₁ )-Kt ₁ e(1 1 1 0)(modT(1 12 0) U I) с Н;

(а•Ke(а _з )) •Ke(а _з )=Kt ₁ e(0 12 0)(modT(1 110) U I) ^с Н;

(а•Ke(а _з )) •Ke(а ₄ )=Kt ₁ e(0 1 1 1)(modT(1 110) U I) с Н.

Получаем, что 2(0 110) ^с Я и, если Т(0 110) ^ Я, то для произвольного элемента из Я коэффициенты e(a ₂ ), e(а ₄ ) обращаются в нуль лишь одновременно.

Пусть t ₁ = 0, t ₂ ^ 0. Рассмотрев включение

((а • Ke(а _з )) • Ke(а ₂ )) • Ke(а _з ) -Kt ₂ e(0 1 2 1) (modI) с Н.

Получаем, что по модулю I U T(0 12 1):

а•Ke(а _з )-K(t ₂ e(0 0 1 1) + t ₃ e(1 110) + +t ₄ e(0 12 0) + t ₅ e(1 12 0));

(а • Ke(а _з )) • Ke(а ₂ ) =K(t ₂ e(0 111) + t ₅ e(1 2 2 0)).

Таким образом, если Т(0 0 1 1) ^ Я, то либо для произвольного элемента из Я коэффициенты при e(a ₄ ), e(r), r один из корней (0 1 10), (1 10 0), (1 1 1 0), обращаются в нуль лишь одновременно и 2(0 0 11) + 2(r) _с Я, либо коэффициенты при e(a ₄ ),e(1 1 1 0) для любого элемента из Я обращаются в нуль лишь одновременно, и верно включение

2(0 1 1 1) + 2(12 2 0) с Я

Положим, что t1 = t2 = 0, t3 ^ 0. Учитывая включение (а • Ke(аз)) • Ke(аз) =Kt3e(1 1 2 0) (modI) с Н по модулю T(1 12 0) U I, получаем а•Ke(аз)=K(t3e(1 1 1 0) + t4e(0 1 2 0) + t6e(0 12 1));

(а•Ke(а _з ))•Ke(а ₄ )-K(t ₃ e(1 1 1 1) + t ₄ e(0 1 2 1)).

Таким образом, если Т(1 110)^ Я, то либо для любого элемента из Я коэффициенты при e(110 0), e(0 110) или при e(110 0), e(0 111) обращаются в нуль лишь одновременно и 2(1 110) с Я, либо для произвольного элемента из Якоэффициенты при e(1 10 0), e(0110) обращаются в нуль лишь одновременно и 2(1 1 1 1) + 2(0 12 1) с Я.

Допустим, t . = 0, i < 5, t ₅ ^ 0. Рассмотрим включение

(а • Ke(а _з )) • Ke(а ₄ ) =Kt ₅ e(1 1 2 1) (modI) с Н;

(а • Ke(аз)) • Ke(а2) = Kt5e(1 2 2 0) (modI U T(112 1)) с Н. Таким образом, по модулю I а • Ke(aз) =K(t5e(1 12 0) + t6e(0 121)).

Если Т(1 12 0) ^ Я, то для произвольного элемента из Якоэффициенты при e(1 1 1 0), e(0 1 1 1) обращаются в нуль лишь одновременно, и 2(1 12 0) с Я.

В остальных случаях 2(г) с Я.

Рассмотрим Н • K(aД Для произвольного элемента а из Я

г а^ Ke (а4) = K I r +а4е F4

и по модулю I

) t_re ( r + а₄)

J

а • Ke(а ₄ ) =K(t₁e(0 0 11) + t ₂ e(0 111) +

+ t ₃ e(1 1 1 1) + t ₄ e(0 1 2 1) + t ₅ e(1 1 2 1)).

Если t ₁ ^ 0 или t ₁ = 0, t ₂ ^ 0, то множество а • Ke(а ₄ ) имеет единственный угол (а ₃ + а ₄ ) или (а ₂ + а ₃ + а ₄ ) и T(а ₃ + а ₄ ) с Я или T(а ₂ + а ₃ + а ₄ ) с Ясоответственно.

Допустим t ₁ = t ₂ = 0, t ₃ ^ 0. Учитывая, что

(а • Ke(а4)) • Ke(аз) =Kt3e(1 1 2 1) (modI) с Н и по модулю T(1 12 1) U I, получаем а•Ke(а4)-K(t3e(1 1 1 1) + t4e(0 1 2 1)).

Таким образом, если Т(1 111)^ Я, то для произвольного элемента изЯкоэффициенты при e(1 1 1 0), e(0 12 0) обращаются в нуль лишь одновременно и 2(1 111) с Я.

В случаях t. = 0, i <  j, t ^ 0,j = 4,5 2(r) с Н.

Необходимость в теореме 1 доказана.

Достаточность получается непосредственной проверкой замкнутости аддитивной подгруппы Я относительно лиева умножения на множестве Ke(ai).

Теорема 1 доказана.

Теорема о соответствии идеалов лиева кольца NF₄(K) и нормальных подгрупп присоединенной группы доказывается заменой в доказательстве теоремы 1 лиева умножения коммутированием.

В этом случае теорема о соответствии имеет следующий вид.

Теорема 2. Пусть K - поле, 2K = K, Ф = F ₄ . Идеалы лиева кольца NF₄(K) и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы NiflK ),о^.