Описание симметричных закономерностей кристаллов уравнением Пифагора

Автор: Славов Владимир Ионович, Нилова Людмила Ивановна

Журнал: Горные науки и технологии @gornye-nauki-tekhnologii

Статья в выпуске: 9, 2010 года.

Бесплатный доступ

Хорошо известно существование множества чисел, удовлетворяющих урав- нению Пифагора Z2 = X2 + Y2. Несмотря на тот факт, что прямоугольные треуголь- ники исследованы с древних времѐн, история их анализа продолжается. Мы пред- лагаем новый метод решения этого квадратного уравнения. Целью данной работы является анализ групп симметрии решений уравнения на основе периодической системы чисел. Полное число групп симметрии в бесконечном ряде решений урав- нения Пифагора равно 32, что соответствует числу классов симметрии кристаллов. It is well known existence a lot numbers what satisfy to Pifagores equation: Z2 = X2 + Y2. In spite on fact that the rectangle triangles are study with ancient time, history of modern theory of numbers has been continue. We suggest a new method for decisions this square equation. The present paper aim is a symmetry groups analysis of decisions equation on the basis of Numbers Periodical System. The total number the symmetry groups analysis innumerable decisions for equation Z2 = X2 + Y2 is equally 32 - the number of symmetry classes of crystals.

Еще

Периодическая система чисел, группы симметрии, уравнение пифагора

Короткий адрес: https://sciup.org/140215209

IDR: 140215209

Текст научной статьи Описание симметричных закономерностей кристаллов уравнением Пифагора

Известны некоторые свойства уравнения прямоугольного треугольника. Если прямоугольный треугольник задан числами, не имеющими общего множителя, то его гипотенуза всегда соответствует простым числам вида (4n + 1), а катеты – целым числам разной чётности [1-4]. Для отыскания трёх пифагоровых чисел можно пользоваться формулами: X = mn, Y = (m2 - n2)/2 и Z = (m2 + n2)/2, где m и n – различные между собой нечётные числа. Для поиска искомых троек будут полезны и комплексные числа: квадрат любого комплексного числа (a + bi) также является комплексным числом вида (X +Yi), при этом числа X,Y и (a2 + b2) всегда образуют пифагоровы числа [3]. Умножая набор простых пифагоровых чисел на любой целочисленный множитель, получаем бесконечное множество новых троек пифагоровых чисел.

В связи с представлением троек кристаллографических индексов в виде периодической системы кристаллографических индексов (ПСКИ), включающей восемь групп симметрии и эффективно использованной при описании кристаллографических текстур разных материалов и регулярных границ зёрен поликристаллов, может быть введена и групповая симметризация натурального ряда чисел [5-8].

В ПСКИ каждой группе соответствует совокупность троек индексов (hkl), где сумма квадратов S = (h²+k²+l²) определяется формулой S = Г-1+8П, числа Г и П - номера групп и периодов ПСКИ (табл.1). Значения S проставлены в верхнем левом углу каждой клетки таблицы ПСКИ и образуют последовательность ряда натуральных чисел

Таблица 1.

Периодическая система кристаллографических индексов (ПСКИ)

Периоды (П)	Группы (Г)
Периоды (П)	1 S=8П	2 S=8П+1	3 S=8П+2	4 S=8П+3	5 S=8П+4	6 S=8П+5	7 S=8П+6	8 S=8П+7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
0	000	100	110	111	200	120	112	-

Продолжение табл. 1

220

122,300

130

113

222

230

123

400

17 140,223

18 114,330

133

240

124

233

224

25 340,500

134,150

115,33 3

29 234,250

125

440

144,225

34 334,350

135

36 244,60 0

160

116,235

260

41 126,344, 450

145

335

226

45 245,360

136

444

49 236,700

50 170,345, 550

51 117,15 5

460

146,270

54 127,255, 336

246

57 227,445

370

137,35 5

61 346,560

156,237

Семейства индексов {hkl}, принадлежащих одной группе ПСКИ, можно закодировать номером её группы, например, индексам (100), (122) (140), (223) …соответствует номер группы 2 , а индексам (110), (130), (114),(134),(150)…-группы 3 . Идеальную ориентировку (111)<112> кубического кристалла, например, в текстуре металлопрокатки, лучше представить в виде трёх кристаллографических плоскостей (111)<112><110>, нормали которых располагаются, соответственно, в направлении нормали (НН) к плоскости листа, в направлении прокатки (НП) и в поперечном направлении (ПН). В закодированном виде тройка данных плоскостей представляет собой группу симметрии 4-7-3.

По аналогии с ПСКИ любое целое число, стоящее на перекрестии каких-либо столбца группы (Г) и строки, соответствующей номеру периода (П) периодической системы натуральных чисел (ПСНЧ), может быть кодировано номером группы (Г) и определено формулой S = Г – 1 + 8П (табл.2). Например, числа 1, 9, 17, 25, 33 …принадлежат группе симметрии 2 , а числа 2, 10, 18,26,34 – группе симметрии 3 и т.д.

Очевидно, число решений квадратных уравнений бесконечно, однако, учитывая принадлежность целых чисел той или иной группе ПСНЧ, можно найти конечное число видов симметрии алгебраических уравнений, легко и просто распространяя описанный ниже метод в область астрономических чисел.

Таблица 2.

Периодическая система натурального ряда чисел (ПСНЧ)

Периоды (П)	Группы (Г)
Периоды (П)	1 8П	2 8П+1	3 8П+2	4 8П+3	5 8П+4	6 8П+5	7 8П+6	8 8П+7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	8	9	10	11	12	13	14	15
2	16	17	18	19	20	21	22	23
3	24	25	26	27	28	29	30	31
4	32	33	34	35	36	37	38	39
….

Итак, используя порядок натурального ряда целых чисел в виде периодической системы, в которой симметрия чисел подчинена формулам восьми групп (от 1-й до 8-ой), находим принципиально возможные варианты решений уравнения Z2 = Х2 + Y2. В общем виде уравнение записывается следующим образом:

(A + 8m)² = (B +8n)² + (C +8 l )², (1)

где А, В и С – числа, равные (Г – 1), а числа m,n, l - коэффициенты, разные для каждой комбинации групп ПСНЧ Они находятся по формулам, приведённым ниже (табл.3).

Сначала необходимо подсчитать все мыслимые комбинации симметрий-ных решений прямоугольного треугольника Г 1 = Г 2 + Г 3 . Нетрудно найти количество всех математически формально неповторяющихся комбинаций разложения “гипотенузы на два катета” в виде групп симметрии: их число равно 288.

1 =1+1, 1=1+2, 1=1+3, 1=1+4, 1=1+5, 1=1+6, 1=1+7, 1=1+8

1= 2+2, 1=2+3, 1=2+4, 1=2+5, 1=2+6, 1=2+7, 1=2+8

1=3+3, 1=3+4, 1=3+5, 1=3+6, 1=3+7,1=3+8

1=4+4, 1=4+5, 1=4+6, 1=4+7,1=4+8

1=5+5, 1=5+6, 1=5+7,1=5+8

1=6+6, 1=6+7, 1=6+8

1=7+7, 1=7+8

1=8+8

2 =1+1, 2=1+2, 2=1+3, 2=1+4, 2=1+5, 2=1+6, 2=1+7, 2=1+8

2= 2+2, 2=2+3, 2=2+4, 2=2+5, 2=2+6, 2=2+7, 2=2+8

2=3+3, 2=3+4, 2=3+5, 2=3+6, 2=3+7, 2=3+8

2=4+4, 2=4+5, 2=4+6, 2=4+7, 2=4+8

2=5+5, 2=5+6, 2=5+7, 2=5+8

2=6+6, 2=6+7, 2=6+8

2=7+7, 2=7+8

2=8+8

и.т.д. (до 8-й группы, сумма 36 • 8 = 288).

Из массива всех “виртуальных” 288 вариантов разложений Г = Г2 + Г3 возможны только 22 варианта со следующими сочетаниями групп симметрии квадратных чисел: 1 = 1 + 1; 2 = 1 + 2, 2 = 2 + 5, 2 = 1 + 8, 2 = 5 + 8; 3 = 1 + 3, 3 =1 + 7; 4 = 1 + 4, 4 = 1 + 6 , 4 = 5 + 4, 4 = 5 + 6; 5 = 1 + 5; 6 = 1 + 6, 6 =1 +

4 , 6 =5 + 6, 6 =5 + 4; 7 = 1 + 7, 7 = 1 + 3 , 8 = 1 + 8, 8 = 1 + 2, 8 = 5 + 8 и 8 =
5 + 2 (табл.3).

Критериями существования “пифагорова треугольника” являются:

1 . группа симметрии гипотенузы - чётная ^ группа симметрии одного катета - нечётная, другого катета - чётная (сокращённо: ч = н +ч). Для каждой чётной группы гипотенузы существуют 4 варианта симметрийного разложения на катеты. Сами числа Z = Х + Y соответствуют “обратному” правилу: н = ч + н.
2 . группа симметрии гипотенузы - нечётная ^ группы симметрии двух катетов - нечётные(сокращённо: н = н + н). Для каждой нечётной группы гипотенузы существуют только 2 варианта симметрийного разложения на катеты. Правила отбора допускают только такие разложения, которые при полном раскрытии уравнения (1) и сокращении всех членов на общий множитель при коэффициенте m не остаётся дополнительного чётного сомножителя (жирный шрифт).

1=1+1: (8m)² = (8n)² + (8 1 )², m² = n² + l ²,

1=1+5: (8m)² = (8n)² + (4 +8 l )², 64m² = 64n²+16+64 l +64 l ², 4m²=4+4 l +4 l1 +1

1=5+5:(8m)²=(4+8n)²+(4+8 l )², 64m²= 64n²+32n(1+2n)+32 1 (1+2 l )+32,

2m²=n(1+2n)+ l (1+ 2 ) +1

3=1+3: (2+8m)²=(8n)²+(2+8 1 )²,4+3 2m+64m²= 64n²+4+32 1 +64 1 ² m(1+2m)

=2n²+ l (1+2 l )

3=1+7: (2+8m)²=(8n)²+(6+8 1 )², 4+32m+64m²= 64n²+36+96 1 +64 1 ², m(1+2m) =2n²+ 1 (1+2 1 +1

3=5+3: (2+8m)2=(4+8n)2+(2+8l)2, 2m(1+2m) =4n(1+n)+ 21 (1+21 )+1 3=5+7: (2+8m)2=(4+8n)2+(6+8l)2, 2m(1+2m) =4n(1+n)+ 21 (3+21 )+3, та же закономерность в 5=1+5, 5=1+1, 5=5+5, 7=1+7, 7=1+3, 7=5+7 и 7=5+3.

Все перечисленные варианты обозначены в таблице 3 (формулы для коэффициентов m,n, l), таблице 4 (столбцы чисел m,n, 1) и в таблице 5 (тройки чисел, квадраты которых удовлетворяют квадратичному уравнению Z2 = Х2 + Y2 , записанные по вертикали).

Среди групповых разложений квадратных чисел выделяются два вида:

самосопряжённые, в которых слева и справа в уравнениях находятся квадрат- ные числа, принадлежащие одной группе, и несамосопряжённые, в которых все квадратные числа принадлежат разным группам ПСНРЧ. Чётные группы симметрии гипотенузы имеют по два варианта самосопряжённых разложений (например, 2=1+2 и 2=5+2) и по четыре варианта несамосопряжённых решений (два в 2=1+8 и два в 2=5+8). Они отличаются формулами коэффициентов m,n, l .

Все симметрийные варианты решений квадратичного уравнения в табл.35 объединены общим законом: Drc2 = 8d +(Г-1), где комбинации (детерминанты) целых чисел r, c и d специфичны для каждой группы решений, а коэффи- циент D в чётных группах “гипотенузы” равен 1, в нечётных же (1, 3, 5, 7-й группах) он равен первому числу данной группы ПСНРЧ.

1 группа: 8rc2 =8d +0 или rc2 =d, 2 группа: rc2 =8d +1, rc2 =8d +5

3 группа: 2rc² =8d +2 или rc² =4d +1 4 группа: rc² =8d +3, rc² =8d +7, (2)
5 группа: 4rc² =8d +4 или rc² =2d +1 6 группа: rc² =8d +5, rc² =8d +1,
7 группа: 6rc² =8d +6 или 2rc² =4d +3 8 группа: rc² =8d +7, rc² =8d +3,

В этих формулах заложена взаимосвязь трёх чисел r, c и d: rc2 = 8d + (Г-1)

и дополнительно (колонка формул справа) для разложений квадратных чисел только чётных групп ПСРНЧ: rc2 = 8d + (Г-1) + 4. В формулах коэффициентов m,n,l (табл.3) r – простое число, c – квадратное число, d – определённая для каждой комбинации групп квадратных чисел последовательность целых чисел, k – числа натурального ряда. В табл.3 содержатся формулы m, n и l для всех 32 вариантов разложений квадратных чисел на сумму двух “квадратов”, в табл. 4 – коэффициенты m, n и l , расположенные вертикально в виде табличек d – k, в табл. 5 - пифагоровы числа, полученные подстановкой конкретных коэффициентов в уравнение (1). Все решения данной группы симметрии разло- жения квадратного числа подчиняются определённой математической струк- туре.

Квадратные числа, принадлежащие нечётным группам ПСНЧ, имеют в зависимости от комбинации значений d, r, c и к по два варианта разложения на пару квадратных чисел. Комбинации, в которых одно из чисел принадлежит 5-й группе ПСНЧ, в нечётных группах “чисел - гипотенуз” отсутствуют. Аналогичные разложения квадратных чисел, принадлежащих чётным группам ПСНЧ, характеризуются шестью вариантами (с участием чисел, принадлежащих 5-й группе). Общее количество разных комбинаций разложения квадратных чисел на пару “квадратов” равно 32 – числу, хорошо известному в кристаллографии и равному числу точечных групп симметрии кристаллов.

На примере разложения 2 = 1 + 2 произведём поиск трёх квадратных чисел в уравнении Х2 + Y2 = Z2. Детерминант данного разложения: rc2 = 8d + 1 . В данном примере справедливы формулы:

m = 4rk²+rck+d, n = m – d, l = rck +d , где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5… (3)

При d = 0 произведение rc² = 1, следовательно, r = c =1.Подставляя нулевые значения m, n и l в формулу (1), получаем при к =0 тривиальный результат: 1 = 0 + 1. Последовательно увеличивая величины d или k в уравнении (2), получаем новые решения пифагорова треугольника, удовлетворяющие конкретному разложению групп симметрии чисел 2 = 1 + 2. Задавая число k = 1 при d = 0, имеем числа m = 5, n = 5 , l = 1 и, следовательно, получаем равенство 41² = 40² + 9², справедливое для прямоугольного треугольника. Если k = 2 при d = 0, то m = 18, n = 18, l = 2, далее получаем новую тройку квадратных чисел 145² = 122²+ 17². Для чисел d = 1 и k = 1 соответствуют комбинации: rc²= 9 —> r =1, c =3 —> m = 8, n = 7 , l = 4, по которым и находится квадратичное равенство 65 2 = 56 2 +33 2 , числам же d = 1 и k = 2 —> m = 23, n = 22 , l = 7 соответствует другое решение 185² = 176²+57². Можно продолжать поиск дальше: d = 2, k = 2 -> rc² = 17—> r =17, c=1-> m= 308, n = 306, l = 36 -> 2456 2 =

2448 2 +289 2 ; d = 5, k = 4 -> rc² = 41^ r =41, c=1^ m = 2793, n = 2788, l = 169 -> 22345² = 22304²+1353² и т.д.

Расщепление формул в несамосопряжённых вариантах чётных групп связано с подразделением их на подгруппы по структуре числа ”c”, вычлени-вающего из значения детерминанта его квадратичную составляющую: c = 1,5,9…(1+4 ) или с = 3,7,11…(3+4 ), где - 0,1,2,3.… Первой подгруппе разложения 2 = 1 + 8, заданной числами d = 0 и k = 0, отвечает последовательность: rc² = 1 —> r =1, c =1 —> m = 3, n = 3 , l = 0 и равенство 25 2 = 24 2 +7 2 , а числам d = 0 и k = 1 —> m = 14, n = 14 , l = 1 - тройка “квадратов” 113² = 112²+15². Во второй подгруппе разложения 2 = 1 + 8 заданным числам d = 1 и k = 0 отвечает последовательность: rc² = 9 —> r =1, c =3 —> m = 2, n = 1, l = 1 и следующее решение: 17² = 8 2 +15². Числам d = 1 и k = 1 —> m = 11, n =10, l = 4 —> соответствует равенство 89² = 80 2 +39², а числам d = 6 и k = 0 - m = 8, n =2, l = 7 – равенство 65² = 16²+63² и т.д.

Таким образом, используя таблицу 3 для решения уравнения Z2 = Х2+Y2, находим конкретные пифагоровы числа из их бесконечного многообразия. Тройка пифагоровых чисел с заданной структурой (разложение квадратного числа на две суммы себе подобных с учётом принадлежности их оснований группам периодической системы чисел – группам симметрии) по выше описанному способу находится значительно проще и быстрее, чем известными способами. Например, нас интересует тройка чисел в разложении 4 = 1 + 4 c величинами задающих чисел d = 1692 и k =1. Для их поиска находим rc2 = 8 1692 + 3 = 13539, из него находим r =13539 и c = 1, далее m = 4 1359 1 +

1359-1 + 1692 = 69387, n = 69387 - 1692 = 67689, l = 1359-1 +1692 =15231 и, наконец, 555099² = 541560² + 121851². Сократив на общий множитель, равный 3, получаем тройку квадратных чисел: 185033² = 180520² + 40617² соответствующую разложению 2 = 1 + 2 (34 237 211 089 = 32 587 470 400+1 649 740 689).

Очевидно, квадратичное уравнение Z2 = Х2 + Y2, умноженное на любое целое число КZ2 = K(Х2 + Y2), остаётся справедливым, при этом изменяется структура чисел и их группы симметрии. В табл.5 приведены множители чисел “К” для каждой из восьми групп симметрии чисел, при умножении на которые изменяется групповая принадлежность разложения. Примеры: 52= 42+32 - (группы 6=5+4), 2(52= 42+32) - (3=1+7), 3(52= 42+32) - (8=5+2), 4(52= 42+32) - ( 5=1+5), 5(52= 42+32) - ( 2=5+8), 6(52= 42+32) - (7=1+3), 7(52= 42+32) - (4=5+6), 8(52= 42+32) - (1=1+1), 9(52= 42+32) - (6=5+4), 10(52= 42+32) - (3=1+7)…В этой таблице по горизонтали расположены группы симметрии исходных квадратных чисел, при умножении которых на кратность “К” осуществляется переход в другие группы симметрии, обозначенные в первом вертикальном столбце. Квадратные числа 1-й группы при умножении на любое число остаются в этой же группе, кратность чисел с разницей Δ 4 в 3 и 7-й группах переводит их в другие нечётные группы, кратность чисел c разницей Δ 2 в 5-й группе либо оставляет квадратное число в этой группе, либо перебрасывает его в 1-ю группу. Квадратные числа всех чётных групп ПСНРЧ могут попасть в любую другую группу при умножении их на характерные ряды коэффициентов кратности с разницей Δ 8.

Коэффициенты m, n и l , представлены в табл.4 и 5 в виде табличек d – k, при этом ряд чисел d расположен по вертикали, а ряд чисел k – по горизонтали. Однако последовательность чисел m, n и l можно представить и в другом виде, в котором расположение чисел d и k меняется местами. Например, разложение чисел 2 = 1 + 2 (rc²+8d +1) записывается в виде колонок коэффициен-

тов m, n и l : для	рядов, в которых r = 1, c – квадратное число:
к = 1	c = 1 c = 3 c = 5 c = 7 c = 9 c = 11 d = 0 d = 1 d = 3 d = 6 d = 10 d = 15 5 8 12 17 23 30 5 7 9 11 13 15
к = 2	1 4 8 13 19 26 d = 0 d = 1 d = 3 d = 6 d = 10 d = 15 18 23 29 36 44 53 18 22 26 30 34 38
к = 3	2 7 13 20 28 37 d = 0 d = 1 d = 3 d = 6 d = 10 d = 15 39 46 54 63 73 84 39 45 51 57 63 69
	3 10 18 27 37 48 для рядов, в которых с = 1, r –var.:

r =1	r = 17	r = 33	r = 41	r = 57	r = 65
d = 0	d = 2	d = 4	d = 5	d = 7	d = 8
5	87	169	210	292	333
к = 1	5	85	165	205	285 325
1	19	37	46	64	73
d = 0	d = 2	d = 4	d = 5	d = 7	d = 8
18	308	598	743	1033	1178

к = 2 18	306	594	738	1026 1170
2 36	70	87	121	138
d = 0 d =	2 d =	4 d = 5	d = 7	d = 8
39 665	1291	1604	2230	2543
к = 3 39	663	1287	1599 2223 2535
3 53	103	128	178	203
для	ряда, в котором r >		1 и с = 3:
r = 17 r = 33	r = 41	r = 57	r = 65	r = 73
d = 19 d = 37	d = 46	d = 64	d = 73	d = 82
138 268	333	463	528	593
к = 1 119	231	287	399	455 511
70 136	169	235	268	301

Такая форма записи чисел m, n и l удобна в качестве их быстрого вычисления при заданных значениях d, так как все интервалы между соседними значениями чисел подчиняются очевидным математическим закономерностям. Любая форма исчисления квадратных чисел для данной группы симметрии по промежуточным числам m, n и l , расположенным в виде табличек d – k, исчерпывает всё бесконечное множество решений “пифагоровых” уравнений и позволяет подразделять их по симметрии групп чисел на 32 вида. Это число онтологически равно числу кристаллографических точечных групп. Преимущество симметрийного подхода перед другими способами описания математических закономерностей состоит в сведении бесконечного ряда любых числовых рядов к конечным группам их симметрии.

Формулы для расчёта коэффициентов m, n, l

1 = 1+1	2 и	m=8rk² +4гкс + d, n = m - d, l = 4rkс + d	1 =5+1
1 = 1+1	2 и	m = 8rk² + 4rk(c+2) +2r(c+1)+ d, n = m - d, l = 4rkс + 2rc + d	1 =5+5
2 =1+2	— UH + + ТЗ ТЗ ОО ОО II II	m = 4rk² + rkс + d, n = m - d, l = rkс + d	(2=5+2)	m = 4rk² + rk(с+4) + [r(c+2)-1]/2 + (d+1), n = m-(d+1), l = rkc + (rc-1)/2 + (d+1)
2 =1+8		m = 4rk² + rk(с+6) + 3r(c+3)/4 +d, n = m-d, l = rkc + 3(rc-1)/4 + d	(2=5+8)	m = 4rk² + rk(с+2) + (rc+1)/2 +d, n = m-(d+1), l = rkc + (rc-1)/4 + d
2 =1+8		m = 4rk² + rk(с+2) + r(c+1)]/4 +d, n = m-d, l = rkc + (rc-3)/4 + d	(2=5+8)	m = 4rk²+ rk(с+6) +[3r(c+3)-2]/4 + (d+1), n = m-(d+1), l = rkc + (3rc-5)/4 + (d+1)
3 =1+ 3	□ II "О ” 2 ¹¹ ^" 4	m = 2rk² + rkс + d, n = m - d, l = rkс + d	3=5+3
3 =1+ 7	□ II "О ” 2 ¹¹ ^" 4	m = 2rk²+ rk(c+2)+r(c+1)/2 + d, n = m-d, l = rkс + (rc-1)/2 + d	3=5+7
4 =1+4	СО Р + + ПЭ -ХЭ ОО ОО II II о о	m = 4rk² + rkс + d, n = m - d, l = rkс + d	(4=5+4)	m = 4rk² + rk(с+4) + [r(c+2)-1]/2 + (d+1), n = m-(d-1), l = rkc + (rc-1)/2 + (d+1)
4 =1+6		m = 4rk² + rk(с+6) + 3r(c+3)/4 +d, n = m-d, l = rkc + (3rc-1)/4 + d	(4=5+6)	m = 4rk² + rk(с+2) + [r(c+1)-2]/4 + (d+1), n = m-(d-1), l = rkc + (rc-3)/4 + (d+1)
4 =1+6		m = 4rk² + rk(с+2) + r(c+1) /4 +d, n = m-d, l = rkc + (rc-1)/4 + d	(4=5+6)	m = 4rk² + rk(с+6) + [3r(c+3)-2]/4 + (d+1), n = m-(d-1), l = rkc + 3(rc-1)/4 + (d+1)
5 = 1+5	2 ¹¹ П 4	m = 4rk² +2rkс + d, n = m - d, l =2 rkс + d	5 =5+5
5 = 1+5	2 ¹¹ П 4	m = 4rk² + 2rk(с+2) + 2 rc + d, n = m-d, l = 2rkc + rc + d	5 =1+1
6 = 1+6	+ ± -о тз ОО 00 ¹¹ J Ъ о 2^4	m = 4rk² + rkс + d, n = m - d, l = rkс + d	(6=5+6)	m = 4rk² + rk(с+4) + [r(c+2)-1]/2 + d, n = m-d, l = rkc + (rc-1)/2 + d
6 = 1+4		m = 4rk² + rk(с+6) + 3r(c+3)/4 +d, n = m-d, l = rkc + (3rc+1)/4 + d	(6=5+4)	m = 4rk² + rk(с+2) + [r(c+1)-2]/4 + d, n = m-d, l = rkc + (rc-1)/4 + d
6 = 1+4		m = 4rk² + rk(с+2) + r(c+1)/4 +d, n = m-d, l = rkc + (rc+1)/4 + d	(6=5+4)	m = 4rk²+rk(с+6)+ [3r(c+3)-2]/4 + d, n = m-d, l = rkc+ 3(rc-1)/4 +d
7 = 1+7		m =2rk² + rkс + d, n = m - d, l = rkс + d	7 =5+7
7 = 1+3		m = 2rk²+ rk(c+2)+ r(c+1)/2 + d, n = m-d, l = rkс + (rc+1)/2 + d	7 =5+3
8 = 1+8	Р 4з оо <х>¹¹ J Чо у	m = 4rk² +rkс + d, n = m - d, l = rkс + d	(8=5+8)	m = 4rk² + rk(с+4) + [r(c+2)-1]/2 + d, n = m-d, l = rkc + (rc-1)/2 + d
8 =1+2		m = 4rk² + rk(с+6) + 3r(c+3)/4 +d, n = m-d, l = rkc + 3(rc+1)/4 + d	(8=5+2)	m = 4rk² + rk(с+2) + [r(c+1)-2]/4 + d, n = m-d, l = rkc + (rc+1)/4 + d
8 =1+2		m = 4rk² + rk(с+2)+ r(c+1)/4 +d, n = m-d, l = rkc + (rc+3)/4 + d	(8=5+2)	m = 4rk² + rk(с+6) + [3r(c-3)-2]/4 + d, n = m-d, l = rkc + (3rc+1)/4 + d

Коэффициенты m, n, l , по значениям которых находятся “пифагоровы числа”(фрагмент)

1 = 1 + 1						2 = 1 + 2				2 = 1 + 8						3 = 1 + 3				3 = 1 + 7
rc² =d						rc² =8d +1				rc² =8d +1						rc² =4d +1
d	к (с=1,5,9…)		d	к (c=3,7,11…)		d	к (c = 1,3,5,7...)			d	к (с=1,5,9…)		d	к (c=3,7,11…)		d	к (c = 1,3,5,7...)			d	к (c= 1,3,5,7…)
d	0	1		0	1	d	0	1	2	d	0	1	d	0	1	d	0	1	2	d	0	1	2
1	1 0 1	13 12 5	1	5 4 3	25 24 7	0	0 0 0	5 5 1	18 18 2	0	3 3 0	14 14 1	1	2 1 1	11 10 4	0	0 0 0	3 3 1	10 10 2	0	1 1 0	6 6 1	15 15 2
2	2 0 2	26 24 10	2	10 8 6	50 48 14	1	1 0 1	8 7 4	23 22 7	2	53 51 14	240 238 31	6	8 2 7	21 15 14	1	1 0 1	16 15 6	51 50 11	1	6 5 3	31 30 8	76 75 13
3	3 0 3	39 36 15	3	15 12 9	75 72 21	2	2 0 2	87 85 19	308 306 36	3	9 6 6	24 21 11	15	18 3 7	35 20 28	2	2 0 2	7 5 5	16 14 8	2	4 2 3	11 9 6	22 20 9
1 = 5 + 1			1 = 5 + 5			2 = 5 + 2				2 = 5 + 8							3 = 5 + 3				3 = 5 + 7
						rc² =8d +5				rc² =8d +5
						0	8 7 3	53 52 8	138 137 13	0	3 2 1	38 37 6	5	28 22 16	93 87 31
						1	21 19 8	138 136 21	359 357 34	1	8 6 4	99 97 17	14	73 58 43	242 227 82
						2	34 31 13	223 220 34	580 577 55	2	13 10 7	160 157 28	23	118 94 78	391 367 133

Пифагоровы числа Z,X, Y и множители К в уравнении Z2 = Х2 + Y2

Номера конечных групп чисел после умножения на К	Исходные номера групп квадратных чисел
Номера конечных групп чисел после умножения на К	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1,2,3,4.5…	8, 16, 24…	4, 8, 12…	8, 16, 24…	2, 4, 6…	8, 16, 24…	4, 8, 12…	8, 16, 24…
2	to	1, 9, 17, 25…		3, 11, 19…		5, 13, 21…		7, 15, 23…
3	to	2, 10, 18…	1, 5, 9, 13…	6, 14, 22…		2, 10, 18…	3, 7, 11 …	6, 14, 22…
4	to	3, 11, 19…		3, 11, 19…		7, 15, 23…		5, 13, 21…
5	to	4,12,20 …	2, 6, 10..	4,12,20 …	1, 3, 5, 7…	4,12,20 …	2, 6, 10…	4,12,20 …
6		3, 13, 21…		7, 15, 23…		1, 9, 17, 26…		3, 11, 19…
7	to	6, 14, 22…	3, 7, 11	2, 10, 18…		6, 14, 22…	1, 5, 9, 13	2, 10, 18…
8	to	7, 15, 23…		5, 13, 21…		3, 11, 19…		1, 9, 17, 26…

Список литературы Описание симметричных закономерностей кристаллов уравнением Пифагора

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. -М.: ГИТТЛ, 1955, с.184.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. -М.: ГИТТЛ, 1957. -с. 369-371.
Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. 1967.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. -М.: Наука, 1975. -c.80-84.
Вишняков Я.Д., Славов В.И. Периодическая система индексов и симметрия текстур кристаллов. -ЧМб.: Изв. ВУЗов, 1973, №9. -c.131-135.
Славов В.И. Периодическая система индексов и симметрия текстур кристаллов.//Cб. "Методы и структурные исследования по физике твѐрдого тела". -Вологда, 1974. -c. 62-102.
Вишняков Я.Д., Бабарэко А.А., Владимиров С.А., Эгиз И.В. Теория образования текстур в металлах и сплавах. -М., Наука,1979. -343 с.
Славов В.И., Наумова О.М, Яковлева Т.П. Периодическая система кристаллографических индексов -алгоритм расчѐта специальных разориентировок зѐрен. Заводская лаборатория.//Диагностика материалов, 1999, №3. -c.17-24

Статья научная