Определение фактических значений удельного импульса маршевых двигателей разгонных блоков ДМ как типовая обратная задача

Введение. Исходная математическая модель

Есть основания считать удельный импульс Р _уд одним из параметров, необходимых как для оценки состояния двигательной установки (ДУ) в режиме функционального диагноза [1], так и для выполнения требований технического задания на разгонный блок (РБ) по массе полезного груза. В качестве исходной математической модели определения Р _уд может быть принята известная формула Циолковского [2, 3] для прироста кажущейся скорости при движении РБ в пустоте (влиянием изменения силы тяжести для условий полета РБ можно пренебречь, как величиной второго порядка малости):

M

W = P ln ⁰ = P ln

уд _M уд к

^{M 0}

M ₀ - ∫ ^tM^. dt t ₀

где W = W_t – W ₀ — прирост кажущейся скорости в интервале времени ( t – t ₀); Р _уд — подлежащий оценке удельный импульс ДУ; М , M ₀, M _к — текущая, начальная и конечная массы блока, соответственно;

= dM / dt — секундный расход массы.

Традиционным, обычно используемым на практике, методом определения Р _уд (назовем его прямым) является следующее соотношение:

P

уд

W t - W 0

ln ^{M 0} M_t

.

Для реализации этого соотношения имеются следующие данные и телеметрические измерения. Прямые измерения прироста кажущейся скорости W_t – W ₀ на разгонных блоках ДМ последних модификаций (ДМ- SL , ДМ- SL Б) не предусмотрены, и для их определения требуется пересчет других телеметрируемых параметров СУ. Значения начальной

t

M ₀ и конечной M_t = M ₀ – dt масс могут быть определены только по данным массового анализа (полетно-массовая сводка (ПМС)) и измерений расходов обоих компонентов топлива системой управления маршевым двигателем (СУМД). Громоздкость и невысокая точность проведения такого массового анализа определяется целым рядом факторов [3]. Например, необходимостью определения текущих плотностей компонентов топлива (среднебаковых или на входе в ДУ), что вызывает целый ряд как методических трудностей, так и трудностей обеспечения необходимых измерений. В ряде же случаев конструкция РБ вообще не представляет возможным обеспечить необходимые измерения массовых и расходных данных.

1. Уравнение возмущенного движения и обратная задача

Сказанное выше обусловливает невысокую точность метода определения Р _уд, основанного на весовом (массовом) анализе и прямом использовании формулы Циолковского (2). Его погрешности, как показывает практика, соизмеримы или даже могут превышать его возможный естественный разброс в несколько единиц Р _уд. Это требует поиска других методов его определения, и одним из возможных путей является обращение к методологии обратных задач [4, 5]. Возможность и целесообразность такого пути применительно к рассматриваемой задаче в общем виде показаны в работе [3].

Математическая модель такой обратной задачи строится на определении возмущенных, относительно расчетных, параметров движения, соответствующих соотношению (1). Приняв в качестве этих параметров приросты кажущейся скорости W = W_t – W ₀ на интервале ( t – t ₀), получим следующее соотношение для их вариации Δ W [3]:

∂W δ P+

∂P    уд уд0

.

( δ M ₀- δ M _c)

= ∆ W - P уд

∫ ^t ∆ M^. _c dt ^{t 0}

M

= ∆ W . прив

Здесь Δ _с, δ _с = Δ _с/ — возмущения по переменной (вследствие регулирования и других причин) и постоянной вариациям секундного расхода относительно расчетного , соответственно; W — расчетный прирост кажущейся скорости; M — расчетная масса РБ.

Левая часть соотношения (3) свидетельствует о характерной особенности механики тел переменной массы — эквивалентности в линейной постановке возмущений по начальной массе δ M ₀ и постоянной составляющей секундного расхода δ _с. Ввиду этого в дальнейшем они могут быть объединены в одно приведенное (наз ов ем его массово-расходным) возмущение

= δ M ₀ – δ _с [3]. Эта особенность, не позволяя проведения раздельной оценки возмущений по M ₀ и , в то же время весьма благоприятно сказывается на точности оценки ключевого параметра Р _уд, поскольку позволяет понизить порядок системы (3) с трех до двух. С учетом этого замечания принимаем два следующих ключевых параметра, характеризующих во зм ущение кажущегося движения, — δ Р _уд и .

Методология решения поставленной задачи состоит в определении по возмущенным параметрам Δ W _прив не только вариации δ Р _уд, но и функционально связанных с ним вариаций массово-расходных характеристик δ M ₀, δ _с, оценка которых по прямым измерениям и данным ПМС, как указывалось выше, не обладает необходимой точностью. Предполагается, что на интервале ( t – t ₀) можно составить n соотношений типа (3).

Дальнейший путь их определения состоит в использовании классической методологии решения обратных задач — метода «квазирешений» [3–5], который в рассматриваемой задаче аналогичен стандартному методу наименьших квадратов. Его алгоритм решения определяется следующим матрично-векторным соотношением:

δ Y = ( F^TF )^–1 F^T Δ Z , (4)

где δ Y (2 × 1) =

δ P уд

δ M

— вектор оцениваемых

параметров (компоненты вектора ясны из соотношения (8)); F ( n ×2) и Δ Z ( n ×1) — матричный оператор и вектор правых частей

(данных измерений), определяемые правыми и левыми частями соотношения (3), соответственно.

2. Особенности решения обратной задачи для РБ типа ДМ- SL , ДМ- SL Б

Соотношения типа (3) с вариациями кажущейся скорости W могут быть составлены для первых модификаций разгонных блоков ДМ, где задачи точности выведения решались классическими системами нормальной и боковой стабилизации и регулирования кажущейся скорости с соответствующими телеметрическими измерениями. Для блоков ДМ- SL , ДМ- SL Б уравнение в вариациях целесообразно составить не относительно этих данных, по которым не предусмотрены прямые измерения, а относительно адекватных им параметров системы терминального наведения t_gq . Эти параметры, регистрируемые в цифровом потоке комплекса программ управления движением (КПУД), определяют расчетный вес израсходованного топлива в секундах работы маршевого двигателя при номинальном расходе, необходимые для достижения измеренного прироста кажущейся скорости W , и вычисляются следующим образом:

t_gq = T (1 – e ^{– W / U} ),             (5)

где T = M ₀ / _ном; U = Р _уд g — скорость истечения.

Невязки расчетного и фактического приростов времени t_gq позволяют, по аналогии с формулой (3), составить n условных уравнений относительно оцениваемых параметров: ∂ t_gq        ∂ t_gq                     ^ti ∆ M .

^gq δ P + ^gq δ M = ∆ t - ∆ t +   . ^c dt = dT , (6)

∂P    уд ∂M         i    gqi t M          gq уд              0                         0 ном

Постоянная составляющая возникающей при эт ом ошибки влияет только на параметр , а случайные составляющие полагаются идентичными.

Составив в интервале времени ( t – t ₀) n уравнений типа (3) или (6), определив выражения для входящих в них частных производных [3] и введя обозначения:

∂ W / ∂ P _уд = W = A_i ;

∂ W / ∂ M ₀ = – P _уд(( M ₀/ M ) – 1) = B_i — для

соотношения (3) и

∂ t gq

∂ P уд

- T

^t gq

T

ln

t gq

T

= A i ;

∂ t_gq / ∂ M ₀ = t_gq = B_i — для выражений (6), (7),

получим систему нормальных уравнений, решение которых дается матричным соотношением (4). Оно сводится к линейной системе (2×2) алгебраических уравнений с правыми частями Δ Z , определяемыми значениями Δ W _прив и dT_gq :

nn  n

—

∑ A_i ² δ P _уд + ∑ A_iB_i δ M = ∑ A_i ∆ W _{прив i} ( dT_gqi ),

1              1                1                           (8)

∑ ⁿ A_iB_i δ P _д + ∑ ⁿ B_i ² δ M ^– = ∑ ⁿ B_i ∆ W _{прив i} ( dT_{g i} ).

₁             уд _{1                1}            р gq

3. Анализ точностных характеристик метода

где Δ t_i , Δ t_gqi — приросты фактического и расчетного времени t_gq относительно начального момента t ₀; Δ _с — как и в соотношении (3), переменная составляющая отклонения массового расхода; dT_gq — приведенное к номинальному секундному расходу рассогласование действительного времени t и времени t_gq .

Поскольку как соотношение (6), так и (3) составлены в вариациях, целесообразно выражение, учитывающее относительное

3.1. Систематические ошибки. Основными систематическими ошибками, определяющими вариации правой части соотношений (3) и (6), являются сдвиг нуля измерений отклонения давления δ P_i , инструментальные ошибки δ W_i акселерометров, измеряющих приросты кажущейся скорости, и подлежащие контролю функ-

ционально связанные с ними параметры

терминального наведения Δ t_gqi . Поскольку при этом ошибки в определении dT_gq коэффициентам

пропорциональны весовым

В и А , то происходит «расщепление»

вли я ния этих ошибок на параметры δ P _уд и , а именно:

δ P _уд ≈ δ W_i ;      ≈ – δ P_i .            (9)

отклонение массового расхода от расчетного значения δ = Δ / _ном, определять не по измерениям расходов системы СУМД,

непригодным для решения задачи в отклонениях, а по пропорционально связанным отклонениям давления Δ P_i от номинала .

dM датчика ДУ ДКС2, принимая Δ с = dP ∆Pi.

Отсюда следует, что с точки зрения влияния систематических ошибок определение удельного импульса Р _уд находится в весьма благоприятном положении — на него влияют только ошибки командных акселерометров δ W_i , составляющие весьма малые величины — порядка сотых долей процента [3].

• 3.2. Случайные ошибки. Эквивалентность массовых и расходных возмущений, позволившая понизить порядок системы условных уравнений метода наименьших квадратов (8) с 3 до 2, дает возможность использовать известную в линейной алгебре методологию учета влияния случайных ошибок путем оценки обусловленности этой системы. Ее принято характеризовать числом Тодда H , которое в функции собственных значений такой линейной системы λ выражается следующим образом [3]:

  H =

  
  

  max λ min λ ^.

  
  
  
  

Собственные значения λ (max и min) определяются решением следующего характеристического уравнения:

nn n

• ( 2^² — ^ >( 2 в. ² — * ) - ( 2 а,в, )² = 0. (11) i i 1

• 4.    Примеры опытных данных

На рис. 1 показана зависимость числа Тодда H от относительной конечной массы µ _к (при n >> 2).

Рис. 1. Зависимость числа Тодда Н матрицы системы нормальных уравнений в функции от относительной конечной массы μ к

Из представленных данных может быть сделан вывод, что эффект подавления случайных ошибок может быть достигнут только при µ _к ≤ 0,5…0,6, так как только при этих значениях происходит «затухание» функции H ( µ _к). Это условие определяет ограничение метода, что является своего рода «платой» за отказ использовать прямые массово-расходные данные. Поэтому на коротких по времени активных участках, где µ _к может быть близко к 1, рассматриваемый метод неприменим.

Статистика применения рассмотренного метода для средств выведения различных типов показала, что при выполнении условий этого раздела по составу и конечной массе ( µ _к ≤ 0,5…0,6) его достоверность составляет примерно ±0,3% от номинала.

На рис. 2–4 в качестве примеров показаны фактические и аппроксимированные реализации приведенных рассогласований dT_gq (соотношение (6)) для трех блоков ДМ- SL : № 9, 15 и 22. В соответствии с требованиями, вытекающими из данных разд. 3 (обеспечение min обусловленности), оценки для этих РБ производились на втором включении маршевого двигателя (МД).

Рис. 2. РБ ДМ-SL № 9Л. Второе включение маршевого двигателя. Фактические (dTp ) и аппроксимированные (dTpr ) значения вариации израсходованного топлива

Рис. 3. РБ ДМ-SL № 15Л. Второе включение маршевого двигателя. Фактические (dTp ) и аппроксимированные (dTpr ) значения вариации израсходованного топлива

Рис. 4. РБ ДМ-SL № 22Л. Второе включение маршевого двигателя. Фактические (dTp ) и аппроксимированные (dTpr ) значения вариации израсходованного топлива

Приведенные рассогласования, имеющие на всех РБ отрицательную кривизну, свидетельствуют о дефиците Р _уд. Этот дефицит для РБ № 9 составил Δ Р = –1,5%; для РБ № 15 — Δ Р = –0,5%^уд; для РБ № 22 — ΔР _уд = –0,15%. ^уд

Полученные отклонения на представленных блоках (кроме РБ № 9) находятся в пределах допустимых разбросов ±2,5 с.

Помимо РБ типа ДМ настоящая методология оценки удельного импульса нашла применение и при оценке испытаний других РБ, функционирующих на безат-мосферном участке. Проведенные оценки позволили получить как статистические характеристики Р _уд, так и выявить имевшие место единичные аномальности типа приведенных выше данных по РБ ДМ- SL № 9.

• 5.    Технология проведения расчетов,основные разделы программного обеспечения

• 5.1.    Анализ на обусловленность каждого из предусмотренных циклограммой запусков разгонного блока. Исходные данные для этого — ПМС РБ и зависимость H ( µ _к), представленная на рис. 1. Данное включение считается пригодным для оценки Р _уд по представленной методике при µ _к ≤ 0,5…0^у,^д6. Это условие необходимо для подавления влияния случайных ошибок на результат.

• 5.2.    Выбор начального (опорного) момента времени t₀. В качестве начального времени t ₀ принимается момент времени регистрации текущего значения параметра t_gq в цифровом потоке КПУД, ближайшем после окончания переходных процессов по запуску МД (команда ЗДУ) ( t ₀ ^≈ ЗДУ + 7 с).

• 5.3.    Вычисление текущих значений коэффициентов A_i и B_i системы условных уравнений (8). Коэффициенты A_i и B_i системы уравнений (8) вычисляются в соответствии с соотношениями (7) для каждого момента времени формирования параметра t_gq в составе кадра КПУД.

• 5.4.    Удаление сбойной (недостоверной) ТМИ, используемой при расчетах. Как следует из приведенной методики для РБ типа ДМ- SL , ДМ- SL Б, предполагается использование следующей ТМИ:

Представленная методология предполагает следующий порядок проведения расчетов по оценке Р для РБ типа ДМ- SL , ДМ- SL Б. ^уд

На РБ типа ДМ- SL , ДМ- SL Б условие по µ _к реализуется только на одном из включений; на однотипном по конструкции и системе управления РБ ДМ-03 (11С861-03) — на втором и третьем. Проведение оценки на двух включениях дает дополнительную оценку достоверности полученного результата.

При вычислении параметра T = М ₀ / _ном начальная масса M ₀ принимается расчетной для выбранного момента времени t ₀, значение _ном — равным номинальному секундному расходу.

• •    цифровой — по параметру t_gq от момента времени t ₀ и до последнего кадра КПУД на активном участке выбранного включения;

• •    аналоговой — по параметру ДКС2 в этом же интервале времени.

• 5.5.    Вычисление приведенного к расчетному значению _ном вариации интервала времени t_gq. Вариации этого интервала dT_gqi вычисляются по соотношению (6).

• 5.6.    Составление и решение системы нормальных уравнений. Заключительная процедура методики — определение отклонения удельного импульса δ P _уд путем решения системы нормальных уравнений 2-го порядка (8).

• 6.    Заключение

Сбойная информация должна быть или удалена, или восстановлена известными методами интерполяции (например, использованием интерполяционного полинома Лагранжа – Сильвестра).

Рассмотренная в настоящей статье методология решения одной из типовых обратных задач диагностики по результатам испытаний изделий типа ДМ- SL , ДМ- SL Б — определение удельного импульса маршевой ДУ разгонного блока — имеет ряд несомненных преимуществ по сравнению с традиционными прямыми методами. Основные из них:

• •    Не требуется проведения часто недостоверного, а иногда и вообще невозможного массового (весового) анализа РБ.

• •    Существенное повышение достоверности (точности) результата при использовании штатных измерений ТМИ и обеспечении обычно выполнимого для средств выведения условия по значению относительной конечной массы РБ — при µ _к ≤ 0,5…0,6.

• •    Преимущество разработанного метода на базе классических методов решения обратных задач подтверждено большой положительной статистикой натурных испытаний разгонных блоков различных типов. Такая статистика позволила сделать

эмпирическую оценку точности метода при выполнении этих условий — примерно ±1,0 с.

• •    Приведенные данные свидетельствуют о целесообразности обращения к классической методологии решения обратных задач, когда при испытаниях изделий ракетнокосмической техники возникает необходимость определения таких параметров и характеристик, по которым невозможно проведение прямых измерений.