Определение исправности взрывных сетей

Взрывные сети могут состоять из детонаторов, пиротехнических реле, электродетонаторов, электрических детонаторов с электронным замедлением, детонирующего шнура, волноводов, электрических проводов [1, 2].

Допустим, во взрывную сеть включены m детонаторов (или пиротехнических реле). Неисправность одного из них нарушает работу всей взрывной сети, приводя к отказам. Вероятность неисправности одного из детонаторов p_i . Повреждение или неисправность детонаторов считаются независимыми событиями [3, 4]. Подсчитаем, какова вероятность при отказе детонатора выхода из строя взрывной сети.

Общее значение вероятности рассмотрим для случаев:

• а)    для взрывной сети, содержащей два детонатора,

• б)    для взрывной сети, содержащей три детонатора,

• в)    для взрывной сети, содержащей m детонаторов,

• г)    для взрывной сети, содержащей m детонаторов, причем вероятность выхода из строя каждого детонатора одинакова и равна p .

• д)    для взрывной сети при ее дублировании.

Воспользуемся теоремой сложения вероятностей mm p (A1, илиА2, или..., илиАт) = 1 — П| 1 - Р (Ai )| = 1 — П(1 - Pt)

• i = 1                             i = 1

где p ( A ) — вероятность наступления события A из группы независимых событий 4, А^..., A i ,..., А т .

Для случая сети, содержащей два детонатора, получим

p ( A1, илиА2 ) = 1 — (1 — Р1 )(1— р 2 ) = Р1 + р 2 — Р1 р 2 .

Для случая сети, содержащей три детонатора, получим

p (A1, илиА2, илиАз) = 1 — (1 — р1 )(1 — р 2) =

= р ⁺ р 2 ⁺ Р з ^— р 1 р 2 ^— р 1 р з ^— р 2 р з ⁺ р 1 р 2 р 3

.

Для случая сети, содержащей m детонаторов, получим m p (A1, илиА2, или..., илиАт) = ^ pi — i=1

mm

^— Е   P i р j +     Е     P i р j P v ^— ...

• i ,    j = 1, j * i           i , j , v = 1, j * i *v

Для случая, когда вероятности выхода из строя каждого детонатора в отдельности равны между собой, т. е. р 1 = р₂ = ... = p m = p ,

Рвых =1 -С1 - Р)m •

При p -< 1, раскладывая второй член этого выражения по формуле бинома Ньютона и сохраняя только два члена, получим

Рвых ^ mp •

Последнюю формулу нельзя применять, если р > !• m

Пример решения.

Рассчитать вероятность выхода из строя взрывной сети, состоящей из 600 и 60 детонаторов. Рассчитать вероятность выхода из строя взрывной сети при ее дублировании. Примем вероятность неисправности одного детонатора 0,002.

Для первого случая, несмотря на то что p < 1, пользоваться приближенной формулой нельзя, т.

• к. p >  m •

По точной формуле получим

Рвых = 1 -С - Р)" = 1 - (1 - 0.002)600 = 0,7.

При дублировании взрывной сети в первом случае рвых, дубл   рвых рвых   0,49.

Для второго случая можно пользоваться приближенной формулой

Рвых « т • Р = 60 • 0,002 = 0,12.

При дублировании взрывной сети во втором случае

^Р вых , дубл   ^Рвых ^Рвых   ^0,014.

С увеличением количества детонаторов вероятность неисправности взрывной сети возрастает, а при ее дублировании уменьшается.

При монтаже взрывных сетей из детонаторов возможны неисправности по причине их выхода из строя с вероятностью р_вых и независимо от этого по причине нарушения сети из-за механических повреждений и технологических нарушений с вероятностью р _пов р [5, 6].

Рассчитаем вероятность того, что

• А)    взрывная сеть исправна, т.е. не содержит неисправных детонаторов и нет повреждений элементов самой сети,

Б) взрывная сеть неисправна по причине неисправности детонаторов и повреждений элементов самой сети,

• В)    взрывная сеть неисправна вследствие повреждений элементов самой сети,

Г) взрывная сеть неисправна, вследствие повреждений детонаторов,

Д) вероятность исправности взрывной сети при ее дублировании.

Формулы для расчета следующие:

рА [1 - рвых] [1 - рповр],

рБ рвых рповр , рВ = рповр[1 - рвых], рГ = р вых [ 1 - рповр], рД = 1 - (1 -рАУ(1 -рАX где (1 - р ) вероятность события, противоположного происходящему, с вероятностью р.

Пример решения.

Рассчитать вышеперечисленные вероятности состояния взрывных сетей, состоящих из 600 и 60 детонаторов. Вероятности выхода ее из строя в первом случае р = 0,7, во втором случае вых , рвы= 0,12. Примем вероятность повреждений элементов самой взрывной сети в первом случае Рповр = 0,4, во втором случае Рповр =0,1 (т.к.

взрывная сеть во втором случае уменьшилась).

Тогда для первого случая

Ра = [1 - 0,7]^[1 - 0,4] = 0,18, рБ = 0,7 • 0,4 = 0,28,

рВ = 0,4[1 - 0,7] = 0,12, рГ = 0,7 [1 - 0,4] = 0,42,

Р_Д = 1 - [ 1 - 0,18 ] -[ 1 - 0,18 ] = 0,328 •

Вероятность выхода взрывной сети из строя по любой причине

Рбвг = 1 -[1 - Рвых ]{1 - Р,„р ] = 1 -[1 - 0,7]-[1 - 0,4]=0,82

Легко убедится, что

Ра + Рб + Рв + Рг =1, и

Р а ⁺ Р б в , г = ¹ •

Для второго случая

Ра =[1 - 0,12]-[1 - 0,1] = 0,792,

рБ = 0,12-0,1 = 0,012,

рВ = 0,1[1 - 0,12] = 0,088, рГ = 0,12[1 - 0,1] = 0,108, рД = 1 - [1 - 0,792] • [1 - 0,792] = 0,957.

Для меньшего количества детонаторов и дублировании взрывной сети вероятность исправности ее возрастает [7].