Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа системы трещин
Автор: Ануфриев И.И.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 3-2 (78), 2023 года.
Бесплатный доступ
В статье рассматривается напряженно-деформированное состояние системы плоских трещины. В рамках данной работы производится разработка математической модели, описывающей процесс раскрытия трещин для различных геометрии взаимного расположения. Предложен алгоритм расчета, позволяющий определить численную характеристику напряженно-деформированного состояния методом граничных элементов - коэффициент интенсивности напряжений. Приведены результаты, отражающие работоспособность полученной математической модели и позволяющие проводить дальнейшие исследования в области механики разрушения.
Метод граничных элементов, коэффициент интенсивности напряжений первого типа, разрыв смещения, относительная погрешность
Короткий адрес: https://sciup.org/170197913
IDR: 170197913 | DOI: 10.24412/2500-1000-2023-3-2-104-108
Текст научной статьи Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа системы трещин
ми плоских трещин равной длины L (см. рис. 1). Под действием внутреннего давления p вн , воздействующего на трещины, деформированное состояние среды, описываемое непрерывными аналитическими функциями, претерпевает разрыв в окрестности рассматриваемой трещины. Смещение противолежащих берегов трещины относительно друг друга представляет собой разрыв смещений в данной точке при определении деформированного состояния среды.
Рис. 1. Расчетная схема
В рамках данной статьи рассматривается серия численных экспериментов, направленных на анализ напряженно-деформированного состояния трещин. Расчеты производятся исходя из следующих принятых исходных данных:
-
1) длина трещины L =3 м;
-
2) коэффициент Пуассона ν =0,25;
-
3) внутреннее давление p вн =100∙106 Па;
-
4) модуль Юнга материала E =3∙1010 Па.
Методика расчета. В данной статье применяется численный метод расчета – метод граничных элементов. Подробное описание методики численного расчета разрывов смещений приведено в [1].
Расчет разрывов смещений. Определение разрывов смещений в трещинах по принятой расчетной схеме (см. рис. 1) производится аналогично методике рассмотренной в [2].
Определение коэффициента интенсивности напряжений
В рамках данной статьи КИН первого типа для рассматриваемой системы трещин определялся исходя из наибольшего значения среди всех трещин системы. Данной трещиной является центральная трещина №3 (см. рис. 1). На основе полученных значений разрывов смещений КИН определяется согласно выражению
K i =
Е Dn
"^j^
где L - длина трещины, м;
D n - разрыв смещения в N -ом граничном элементе трещины №3;
x n - координат центра N -го граничного элемента трещины №3 относительно центра трещины №1 (см. рис. 1), м;
N - число граничных элементов одной трещины, принятое равным 30.
В ходе расчетов были приняты значения относительных сближений трещин по направлениям осей Ох и Оу
L т = [0; 3] b
L= [1;4] с
Результаты расчета приведены на рисунке 2.
Рис. 2. КИН первого типа при различных значениях L/c
Анализируя полученные значения КИН можно обнаружить что на достаточно значительном удалении трещин по направлению оси Ох ( b >> L, -^ 0) решения стре-
мятся к некоторому значению КИН соответствующему изолированной трещине.
Для описания полученных значений КИН в аналитической форме было выбрано выражение, соответствующее виду
(uvB + C)D , ,„.H \
K,(u, v) = рВнVl (Л -^^T" e() +f) ,
где A , B , C , D , E , F , G , H , I – постоянные коэффициенты;
u - параметр относительно сближения по оси Ох ( -);
v - параметр относительного сближения по оси Оу ( - ).
С помощью функции Minerr в среде Mathcad 15 , позволяющей определить численное решение системы уравнений методом секущих были определены неизвест-
ные коэффициенты уравнения (4). Результаты приведены в таблице 1. График уравнения (4) приведен на рисунке 3.
Таблица 1. Значения коэффициентов
|
Коэффициент |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
|
Значение |
4,8·108 |
1,3 |
0,6 |
5,1 |
2,4 |
9,0 |
3,6 |
1,6 |
1,5 |
то 0
Рис. 3. Значения КИН
Анализ полученных результатов
Для сравнения полученного численного решения и подобранного аналитического
выражения в каждой расчетной точке была определена относительная погрешность расчета
|K4M-KaH|
К чм
где К чм – значение КИН полученное численным методом (см. график 1);
К ан – значение КИН согласно выражению (4) (см. график 2).
Значения величин КИН, сравниваемых согласно выражению (5) приведены в таблице 2. Максимальное значение относительной погрешности
^тах ~ 9% .
Таблица 2. Значения КИН К чм / К ан , 10 8 ПаТм
|
L/c |
||||||||
|
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
||
|
L/b |
0 |
2,71 / 2,86 |
2,71 / 2,72 |
2,71 / 2,68 |
2,71 / 2,67 |
2,71 / 2,66 |
2,71 / 2,66 |
2,71 / 2,66 |
|
0,1 |
2,76 / 2,96 |
2,76 / 2,81 |
2,75 / 2,74 |
2,75 / 2,71 |
2,75 / 2,69 |
2,75 / 2,68 |
2,75 / 2,68 |
|
|
0,2 |
2,92 / 3,08 |
2,90 / 2,95 |
2,88 / 2,88 |
2,87 / 2,83 |
2,86 / 2,81 |
2,85 / 2,78 |
2,85 / 2,77 |
|
|
0,3 |
3,14 / 3,19 |
3,13 / 3,13 |
3,09 / 3,09 |
3,06 / 3,06 |
3,04 / 3,04 |
3,02 / 3,01 |
3,01 / 2,99 |
|
|
0,4 |
3,32 / 3,28 |
3,43 / 3,32 |
3,40 / 3,36 |
3,35 / 3,38 |
3,31 / 3,39 |
3,28 / 3,38 |
3,25 / 3,37 |
|
|
0,5 |
3,40 / 3,34 |
3,71 / 3,50 |
3,78 / 3,65 |
3,74 / 3,75 |
3,69 / 3,82 |
3,64 / 3,87 |
3,60 / 3,88 |
|
|
0,6 |
3,37 /3,37 |
3,91 / 3,66 |
4,15 / 3,92 |
4,21 / 4,13 |
4,20 / 4,29 |
4,16 / 4,39 |
4,11 / 4,45 |
|
|
0,8 |
3,20 / 3,34 |
3,94 / 3,81 |
4,54 / 4,29 |
4,96 / 4,71 |
5,26 / 5,06 |
5,46 / 5,31 |
5,59 / 5,48 |
|
|
1,0 |
3,00 / 3,23 |
3,70 / 3,77 |
4,39 / 4,35 |
4,99 / 4,90 |
5,50 / 5,36 |
5,95 / 5,72 |
6,34 / 5,98 |
|
|
1,2 |
2,85 / 3,09 |
3,42 / 3,58 |
4,04 / 4,15 |
4,60 / 4,71 |
5,08 / 5,19 |
5,47 / 5,58 |
5,81 / 5,87 |
|
|
1,4 |
2,74 / 2,96 |
3,19 / 3,35 |
3,70 / 3,82 |
4,16 / 4,30 |
4,54 / 4,72 |
4,84 / 5,07 |
5,07 / 5,33 |
|
|
1,6 |
2,67 / 2,85 |
3,01 / 3,13 |
3,41 / 3,48 |
3,78 / 3,84 |
4,08 / 4,16 |
4,31 / 4,43 |
4,47 / 4,64 |
|
|
1,8 |
2,61 / 2,77 |
2,88 / 2,95 |
3,19 / 3,19 |
3,48 / 3,43 |
3,72 / 3,66 |
3,90 / 3,84 |
4,02 / 3,99 |
|
|
2,0 |
2,58 / 2,72 |
2,77 / 2,83 |
3,02 / 2,98 |
3,25 / 3,13 |
3,44 / 3,27 |
3,58 / 3,39 |
3,68 / 3,49 |
|
|
2,2 |
2,55 / 2,69 |
2,69 / 2,75 |
2,88 / 2,84 |
3,06 / 2,93 |
3,22 / 3,01 |
3,33 / 3,08 |
3,41 / 3,14 |
|
|
2,4 |
2,54 / 2,67 |
2,63 / 2,71 |
2,77 / 2,75 |
2,92 / 2,80 |
3,04 / 2,85 |
3,13 / 2,89 |
3,19 / 2,92 |
|
|
2,6 |
2,53 / 2,67 |
2,59 / 2,68 |
2,69 / 2,71 |
2,80 / 2,73 |
2,89 / 2,75 |
2,97 / 2,78 |
3,01 / 2,79 |
|
|
2,8 |
2,53 / 2,66 |
2,55 / 2,67 |
2,62 / 2,68 |
2,70 / 2,69 |
2,77 / 2,70 |
2,83 / 2,72 |
2,87 / 2,72 |
|
|
3,0 |
2,53 / 2,66 |
2,52 / 2,66 |
2,57 / 2,67 |
2,62 / 2,67 |
2,68 / 2,68 |
2,72 / 2,68 |
2,74 / 2,69 |
|
Выводы
1. В настоящей статье представлен способ определения КИН первого типа для системы трещин, нагруженных внутренним давлением (см. рис. 1).
2. Получено аналитическое выражение (4) соответствующее численному решению, которое основывается на известной аналитической модели [2, 3]. Адекватность данного выражения рассмотрена в области определения
и £ [0; 3]; v £ [1; 4] .
Список литературы Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа системы трещин
- Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: пер. с англ. б.м. - М.: Мир, 1987. - 328 с.
- Ануфриев, И. И. Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа для двух коллинеарных трещин методом граничных элементов / И. И. Ануфриев // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. - 2022. - № 10-2 (73). - С. 208-214.
- Нотт Дж., Ф. Пер. Основы механики разрушения: пер. с англ. б.м. - М.: "Металлургия", 1978. - 256 с.
