Определение коэффициента теплопроводности при конвективном переносе влаги в грунте

1.Постановка задачи

Перемещение тепла в однородном грунте может, осуществляется водой или воздухом. Такое распространение называется конвективным переносом. Известно, что передвижение влаги может происходить и в результате фильтрации (под влиянием гравитационных сил), а также в результате миграционных процессов за счет воздействия «внутренних» сил, образующихся в самой толще грунта на поверхностях раздела минеральный скелет - вода, или обоими путями одновременно. А.М. Глобус, Г.А. Мартынов и ряд других ученых доказали, что механизм движения в том и другом случаях совершенно одинаков, несмотря на различие силы, вызывающие его.

Математическую модель конвективного перемещения влаги и тепла в однородном грунте можно представить системой дифференциальных уравнений в виде до д(,до

Y о C — = —I X— д t   д z V   дz

дю д ( дю ) д (. дО

= I к 1 +    |ku д t   д z V  дz ) д z V д z

> 0 <  z <

H ,

где C - коэффициент теплоемкости, X - коэффициент теплопроводности, к -коэффициент влагопроводности, у ₀ -удельная масса грунта. д -термоградиентный коэффициент. Системе «поверхности земли - воздух» справедлив закон сохранения энергии

+ 09 - т ) z = н = о , z = H

, дО

X-- дz

здесь а - обозначает коэффициент теплоотдачи грунта в поверхность. Установлено, что на определенной глубине земли температура грунта остается постоянной величиной. Исходя из этого факта, формируется граничное условие

0 ( 0, t ) = T = const (2)

Предполагаем, что ось Oz направлена снизу вертикально вверх. За начальный момент времени берется t = 0 , тогда распределение температуры в однородной среде запишется в виде

о ( z ,0 ) = О ( z ), 0 <  z <  н

Приведем граничные условия для влаги на поверхности земли и на

глубине z = H

дю

^дz z = H

= A( t ),

^ z = 0 = ^Ю

Также примем, что в начальный момент t = 0 считается известным распределения температуры и влаги

« ( 0,z ) = Ю о ( z )                                                                 (5)

Коэффициент теплопроводности определяется из условия, что изначально задаются измеренные значения температуры и влаги

в ( H , t ) = 0_g( t ),    ю ( H , t ) = ю ( t ) 0 <  t < T .

2. Приближенный метод

Величина Я определяется итерационным методом. Для этого задается начальное значение Я , а очередное приближение находится из минимума функционала

J ( Я ) = J (ф , H , t ) - T_g ( t ) ) ² dt + J ( ю ( Я , H , t ) - ю ( t ) ) ² dt                        (7)

0                                     0

Ранее при построении вспомогательной задачи д U  д ( д U)

+ I к      I д t   дz v  д z )

= 0

ю ( z , T ) = 0, ю ( 0,1 ) = 0 , k^U = -2 ( ю ( Я п , H , t ) -to g ( t ) ) д z

дш д

Y c --+ —

⁰ дt   дz

д^U I n кц ---I = 0 , д z )

v ( z , T ) = 0, y ( 0,t ) = 0 , A n ^ + ay + k_M= -2 ( в ( Х_п , H , t ) - T g ( t ) ) ,              (20)

дz           д z было получено выражение

L^en ⁺¹ d ^ 1

ax-— дz   оz

2 ( ^ 9, e ( X n , H , t ) - T g ( t )\_=H + 2 ( to , to ( X n , H , t ) - to ( t ) )_z

На основании соотношения (7) выводим, что

J (A n _{+ 1}) - J ( A n ) = 2 j l9 ( H , t 9X , H , t ) - T_g ( t )d + 2 j to ( to ( X, H , t ) - to g ( t ) ) dt + 0                                                    0

+ j l ) 2 = H d + j ( to ) 2 = H d.

Применяя (21) к последнему выражению, имеем fSAn+1

ДА оz

°i 1

TT

+ j (2 9 ) 2 . H dt + j ( S » ) 2 . H dl

0                   0

J ( A ₊1) - J ( A ) = -^Д X ^ ^ , ^ ^ ¹-[д х ^d ^⁹ , ^ ^ ¹+ f ( se ) 2 d^dt + f ( ^to ) 2 d^dt •       (22)

n + 1           n                                                               z = H               z = H

V     Gz  Оz ) V     Оz   Оz )

Считая

ДА = P n

de dy dz ’ d z

и выбирая значение в-достаточно малым числом из условия сходимости итерационного процесса, получим

2                TT

дz дz ) V    дz   дz ) '*

Видно, что знак соотношения (23) определяется знаком первого слагаемого.