Определение коэффициентов распределения напряжений в стальном листе при поперечном изгибе железобетонной балки

Опытные исследования на железобетонных образцах [1] с применением тензометрического измерения деформаций на стальном листе и бетоне, показывают, что поперечное армирование из стального листа в зоне поперечного изгиба находится в плосконапряженном состоянии. В стальном листе одновременно действуют нормальные и касательные напряжения, в связи с чем площадка главных растягивающих напряжений находится под углом к продольной оси балки. Расчет наклонного сечения с жестким поперечным армировани- ем на действие поперечной силы по нормативному документу [2] не учитывает плосконапряженное состояние стального листа и угол наклона главной площадки растягивающих напряжений, что при расчете приводит к значительному расхождению с фактической несущей способностью. Автором [3] предлагается условие прочности железобетонных балок по наклонному сечению, позволяющее учесть плосконапряженное состояние поперечного армирования из стального листа.

Q b + Q eep + Q s + Q t = R bt • b • h 0 •

к + k₂

^{+ к}ж 1 ^Rcm t cm^C 0 ⁺

где Q b , Q s - поперечное усилие воспринимаемое бетоном и поперечное усилие, воспринимаемое продольной арматурой, соответственно [4]; Q _верт и Q _т - вертикальное и касательное усилие, воспринимаемые стальным листом, предложенное автором [3].

Плосконапряженное состояние стального листа учитывается введением коэффициентов к _ж1, к ж2 в Q _верт и Q _т. Коэффициенты учитывают взаимосвязь условия прочности стали при действие двухосного напряженного состояния и имеют зависимость между собой в виде (2)

k _ж2

1 - к 2

ж1

V з

Определение коэффициентов к _ж1, к ж ₂ сводится к решению равенства (3) в котором одновременно увязан угол наклонна главной площадки напряжений, с проекцией критической наклонной трещины и уравнением прочности плосконапряженного

R s A c c 0 h o Y v

+

состояния стали.

h - х

h о Л 3

1 — к _ж1

1 + к ж1

k ж 2 R ст Jt ст

S 0,5 сечения

2 k 2 • R bt • b

0,4

_k R t ₊ Rs • As k ж1 • ^R cm " tcm ⁺ У---- *

I                   h о • Y v J

Решение уравнения (3) выполняется аналитически. Для отыскания коэффициентов рассмотрим диапазон изменения входящих в формулу прочностных характеристик материалов, геометрических характеристик и коэффициентов:

80 < ho < 700.15 < х < O,5ho.1OO < b < 700. ;                                             ;;

0,7

1,5 < t_cm< 30 .   200<R_m<415.   215<R<500.

ст                       ст

;;;

400 < 4< 6000 5 < /* < 22

s                  ;             v.

С целью упрощения решения произведем замену:

^

х

;

I    h 0 J

;

^^ 3 к 2 • Rbt • b 2 R • t ст ст ;

Y =

Rs • As ho • Y* • Rem • tom

У =

(2 + У1 + 51)

—

—

(20/1151) ⁵Yi

После преобразования выражение (3) примет вид:

2|1 + ⁵

V    5Y1.

2|1 + А_ V    5Y1.

a²•

1 + k J

1 - k^J

в⁵

(k + Y )5

Тогда в первом приближении значение k с учетом того, что k≥0 будет:

Тогда k в уравнение (4) будет существовать при выполнении условий:

Y4 < — Y²< ^{S 5 2}< /?²

^Y " a¹⁰ • ^Y " a⁵ • a Y ^ P

;                            ;                                         .

k = 1 —

(2 + Y1 + 51)

2^|1 + P1-V 5Y1.

, I⁽Y1 ^{+ 5}1) • ⁽Y1 + ⁵1 + 4)^{— (20y}l±⁵i) 5Y1

На рис. 1 представлен график зависимости γ от k.

Рис. 1. График зависимости γ от k

Умножим выражение (4) на (k + γ) и получим:

(k + YX1 + k= ^ (k + y )L

1 — k      a

Принимая для уравнения (5) вторую замену 4

5 = a2 • в5; y =1 - k; k=1 - y (при этом y<1) полу чим:

(1+ Y — у X2 — у) = 5(1+Y — у )5

^у                                 (6)

В первом приближении из (6) получим:

Произведем уточнение k_ж1 методом аппроксимации. Для уточнения в уравнении (4) произведем замену δ=β^4/5/α². Предположим, что степень есть р=4/5, тогда степень можно записать как р=4/5=1 – 1/5=1 – v, в этом случае k является функцией от v, то есть k=k(v) где v=1/5, тогда уравнение (4) примет вид:

1 + k _   5

1 — k   (k + y)^1—v

Решим функцию при v=0, то есть k₀=k(0) – ? Подставим v=0 в (11), получим квадратное уравнение:

k0 +(1 + Y + 5)ko +(y — 5) = 0      ₍₁₂₎

Решением уравнения (12) будет:

7 (1 + Y + 5 )²+ 4-(5 — Y) — (1 + Y + 5)

Если предположить, что в формуле (12) k=0, тогда 5>у⁴/⁵. Если k = 1, тогда k = 1 - Ak, Ak<<1, уравнение (11) примет вид:

2 —^Ak         4

—— ⁽y +^{1 — Ak} )⁵= ⁵

Ak

В нулевом приближении уравнения (14) будем иметь следующее

5(1 + Y — У )⁵= 5(1 + Y )⁵

1—¹• -у-

5 1 + y

Произведем третью замену подставив в (7) 1

Y1 = 1 + Y, 5 = 5 • y⁵ и перенеся все в левую часть,

получим квадратное уравнение:

2(1 + /)4 = 5Ak Ak(0) = 254 (1 + /)4

;

Выразим k⁽⁰⁾ из (14):

k (0) = 1 — 2 (1+1)1

⁵            (16)

у

I¹+51)

V   ^5/iу

^{— (2 +}Y1 ^{+ 5}1)У⁺2Y1 = ⁰

Произведем уточнение:

Ak = 5 ■' (2 — Ak)(/ +1 — Ak )5 = 5"‘ (2 — Ak )(1 + y )5

Решением квадратного уравнения будет:

Ak  ⁵

l+Y _

= 5  2(1 + /)5

Ii—Ak J|i—^2 JI⁵

V 2 X 1 + Y J

= 23 (1 + y)5

1+ A к⁽ — ¹

I 2

= 23 (1 + у)5

( 11 ^       ⁴

¹— I +       I-^{23 (1}+ у)⁵

V 2  1 + y )

Тогда, выразив 5, получим условие существования уравнения:

¹⁺-J

-(1 + y)5 << 3

Рис. 2. График зависимости функции ф(к)

Условие (18) выполняется, если:

(    4)

3 >> 1, y⁵

. 3 >> (1 + Y)⁵ • 3 >> (1 + y)5

Для упрощения решения (22) запишем:

Условие (19) выполняется при к = 1. Если к ~ 1, тогда (11) есть функция:

а =

„ 4  /    1 ^ 5          ⁴

2y⁵— 6I Y + I + 4(Y +1)5

f = FI "^{7 +}k⁾⁵= ³

1 - к

Рассмотрим функцию:

ф к) = (1 + к )-(y + к )4

Предполагая схожесть (21) с (a+bx+cx²) при 0Ф(к) на трех участках (рис. 2). Тогда аппроксимирующую функцию можно принять в виде многочлена:

Ф^(к) ~ Фо

с =

Y⁵

⁺Ф_х

^{(к — к}0 X^{к — к}2 )+ _ф

^(к1 ^{— к}0 X^к1 ^{— к}2 )    ²

^(к — ^к1X^к — ^к2 )

^(к0 ^{— к}1X^к0 ^{— к}2 )

^{(к — к}оX^{к — к}1)

^(к2 ^{— к}0 X^к 2 ^{— к}1 )

= y⁵

3 (1    )^{5 (к} — ^0)(к —¹⁾

⁺2V 2 ^{+ Y} J (1  J( 1  У

+ 2(1 + Y )4----И²

^{(1 —} Т ^—2

= к²2y⁵

—

15               ⁴

⁶I Y + -1 ^{+ 4(}Y^{+1)5  +}

.       4     (     1 4 5

+ к — 3y⁵+ б| y + - I

V 2 4

—

z        х 4           -

²⁽Y^{+1)5  +}Y

= ак²+ bk + с

Найдем решение уравнения (22). Перенеся все в левую часть, получим квадратное уравнение:

ak²+(b + 5)к + (c - 5)=0     (23)

С учетом того, что к>0 окончательным решением квадратного уравнение будет:

_к_ л[ (b + 3 )²— 4 а (с — 3) —(b + 3)

^{2 а}                   (24)

Тогда коэффициент к_ж1 полученный из уравнения (3), и коэффициент кж2 с учетом (2) можно записать:

k

(b + 3)²— 4 а (с — 3) — (b + 3)

2а

1 —

у (b + 3 )²— 4 а (с — 3) —(b + 3)

V

2а

где a, b, c, 5, а, в, Y замена, принятая для упрощения отыскания коэффициентов:

а =

b =

\

. 4  /    1) 5          ⁴

2y⁵— 6I y + ^_| + 4(y +1)⁵

1 4  /   1)⁵

— 3y⁵+ 6I y + I

V 2 4

^{— 2(}Y⁺¹⁾⁵

с =

Y 5

в 5

а = -1 1

—

х

;

_в = 3 k₂ • Rb_t - b

^{2 R}cm " tcm  •

;

;

V    hо ) .

;

R_s • A

Y =---г—5-- h0 • Yv • Rcm • tcm

Найденные выражения для коэффициентов kж1 и kж2, позволяют учесть напряженно-деформированное состояние поперечного армирования из

стального листа. Подстановка фактических прочностных и геометрических характеристик опытных образцов из [1, 5] в условие прочности (3) с учетом коэффициентов распределения напряжений kж1 и kж2 для определения несущей способности по наклонному сечению показывает лучшую сходимость расчетных и опытных значений по сравнению с нормативными методиками [2, 6]. Результаты сопоставление приведены в табл. 1.

Таблица 1. Сопоставление расчетных и опытных значений несущей способности

Марка образца	сФакт, мм	Qроп, кН	Qрт, кН [6]	Qроп/ Qрт [6]	Qрт, кН [2]	Qроп/ Qрт [2]	Qрт, кН [1] с kж1 и kж1	Qроп/Qрт [1] с kж1 и kж1
Б1-Вс	294	290	202,73	1,43	139,62	2,08	265,09	1,09
Б2-Вс	294	289	216,69	1,33	147,74	1,96	280,27	1,05
Б3-Вс	192	380,5	239,13	1,59	147,83	2,58	353,98	1,075

Выводы: сопоставление расчетных и опытных значений прочности показывает, что существующая нормативная методика [2] значительно недооценивает прочность наклонного сечения железобетонных конструкций с жестким армированием. Сопоставление по методике [6] носит оценочный характер, но при этом также значительно недооценивает несущую способность. Предлагаемая методика [1] учитывающая плосконапряженное состояние поперечного армирования из стального листа, наиболее удовлетворительно оценивает несущую способность наклонного сечения и может быть применима для выполнения расчетов наклонного сечения с поперечным армированием из стального листа.