Определение момента сопротивления вращению в радиальном подшипнике качения с учётом трения в сепараторе

Технологические аспекты при изготовлении, монтаже и эксплуатации подшипников качения в опорах машин и механизмов оказывают существенное влияние на работоспособность и долговечность изделий [1-3]. Эксплуатационные параметры, такие как соотношения действующих на радиально–упорные подшипники осевых и радиальных нагрузок, перекос колец, центробежные силы влияют на динамические характеристики опор [4,5].

Важную роль при эксплуатации опорных узлов поворота сопла авиационных реактивных двигателей, гироскопов, автоматов перекоса несущего винта вертолётов, колёс автомобилей и других жизненно важных конструкций машин играют моменты трения в подшипниках [6]. Рекомендации по расчёту моментов трения в подшипниках качения приводятся в ряде справочников [7-9] Однако исследований по влиянию трения в контакте сепаратора с телами качения и центрирующей дорожкой на момент трения в шариковых подшипниках до настоящего времени не проводились.

Рассматривается шарикоподшипник, установленный с перекосом колец. Угол перекоса колец ψ изменяется в пределах от 0 до предельного угла свободного поворота. Оценка сопротивления вращению осуществляется по моменту трения на наружном кольце подшипника.

По техническим требованиям в рабочих условиях подшипники нагружаются осевым и радиальным усилиями и опрокидывающим моментом. В этой связи при разработке методики расчета подшипника следует предусмотреть осевую, радиальную и моментную нагрузки как в работе [6,10].

При расчетах подшипников необходимо учитывать центробежные силы шариков.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Общий вид подшипника в сборе приведен на рисунке 1. Подшипник состоит из наружного кольца 1, внутреннего кольца 2, шариков 3 и сепаратора 4.

Величину начального угла контакта определим по формуле:

a0 = arccos(l ~ g/2Rm),

где 9 – радиальный зазор в подшипнике, а величина ^YR определяется по формуле

Рисунок 1 – Общий вид подшипника в разрезе

R_m = R_BF R_H~ D_w , в которой D_w – диаметр шарика, Re и R_H – радиусы желобов внутреннего и наружного колец.

При действии в общем случае радиальной и осевой нагрузок схема сил, действующих в подшипнике, представлена на рисунке 2.

Для контакта шарика с кольцами геометрические и силовые соотношения по рисунку 2 будут иметь вид:

FBi

FK1

F

sinaHi sinaKi sinfa^ —     ‘

(RB - O,5DW - 8B)sinaBi + (RH - O,5DW - 8„)sinaHi = St;

(RB - 0,5Dw - 6B)cosaBi 4- (R„ - 0,5Dw - 8„)cosaBi = H,.

Здесь: FBi , ^Hi – усилия в контактах; Fc – центробежная сила, действующая на шарик; ^E! , ^Hi – углы контакта; 6B , ^K – деформации в контактах; $i , Hi – осевое и радиальное смещения центров желобов колец в рассматриваемом сечении.

При известных значениях усилий и углов контакта шариков с кольцами нагрузки подшипника определятся из условия равновесия внутреннего кольца:

F_r = iz₌₁Fi_Eicosa_1Eicos

^иFa Si=i^'lBi ^^^iBi .

Полученная система уравнений решается относительно углов контакта методом Ньютона.

Усилия в контакте шариков с кольцами создают опрокидывающий момент. Действующий на внутреннее кольцо со стороны шарика момент определим по формуле:

Рисунок 2 – Силовые и геометрические соотношения в подшипнике при наличии осевой и радиальной силы

„     ^1B. ■ D_0B(sina_1Bi^

Mqu —               , где ^Ob – диаметр по центрам желоба внутреннего кольца.

При симметричном расположении шариков условие равновесия кольца под действием момента будет иметь вид:

^F1Bisina1Bi

1                          ■

■ D0Bcos

Приведенная система уравнений равновесия и ранее приведенных геометрических соотношений позволяет определить перекос и смещения колец, а также распределение усилий и углов контакта в подшипнике.

Решение системы уравнений выполняется численно комбинированным методом. Во внутреннем цикле при принятом значении перекоса Ф определяются радиальное Sy и осевое ^CL смещения колец из решения методом Ньютона системы двух нелинейных уравнений:

Z ф1(5г-^. Ф) = НГ-^ F1Bi cosa1Bicos

z

Ф₂(8_г,8_а,^ =F_a-^ F_1Bi sina_1Bi = 0.

Затем во внешнем цикле методом хорд уточняется значение угла перекосаψ из решения уравнения:

^(Sr-Sa^ = м~ l^F1Bisina1Bi

• D0Bcoscp/2.

После определения усилий и углов контакта вычисляются для всех шариков размеры площадок контакта с внутренним и наружным кольцами. Вычисляются расстояния от края площадки контакта до кромки бортика и проверяются условия отсутствия выкатывания шариков на кромки бортиков колец или замка. Угол контакта шарика с кромкой замка определится по формуле:

a_3H = arccos(l - (D_H - DJ/ZRJ – для наружного кольца;

a_3B = arccos(l - (d₃ - dJ/ZRj – для внутреннего кольца.

Здесь: d_ви d_н– диаметры по дну желоба внутреннего и наружного колец; d₃ и D₃ – диаметры замка на торцах внутреннего и наружного колец.

В контактах шарика с наружным и внутренним кольцами имеется качение с верчением. Схема действия сил и моментов при движении шарика приведена на рисунке 3.

Моменты трения качения для каждого из шариков определим по известной зависимости [7]:

Рисунок 3 – Схема действия сил и моментов при движении шарика

мулам работы [10]:

M = f-FM = f F

1JKH /К 4H' 1 ЛКВ /К 4 В'

Моменты трения верчения на эллиптической площадке контакта на кольцах определим по следующим зависимостям[11]: ^;

Твв = Зя ■/■ FB-ав ^/(16(1 + 71^)), где и – коэффициенты трения качения и скольжения в контакте;      и – размеры полуосей площадки контак та шарика с желобами наружного и внутреннего колец соответственно; S – значение сходящегося ряда, вычисляемого при приближенных вычислениях по формуле[10]:

т² m⁴ l² m⁶l²3² m³ ■ I² ■ З² ■ 5²

^{5 = 1+} 7 ⁺2² -4^{2 +} 2² ■ 4² ■ 6^{2 +} 2² ■ 4² ■ 6² ■ 8^{2 +}'

здесь                              ,

Размеры полуосей площадки контакта определяются по фор- a.=ka« V F. R^ /Ep, a.=k™ ^FR^Ep;

b. = ^кь_в VF. Rp /E„p , b_H = ^k_bH з/F_H^R„p_H /E_np ,

Здесь ^E„p = ²/ ⁽⁽¹- e/)/E₁ +(1 - e/)/E₂) - приведенный модуль упругости в контакте, где E1, E2 -модули упругости, Е1,Е2 - коэффициенты Пуассона материалов шариков и колец.

Япрв = O_w/(4- D_W/R_B 4- 2D_w/(d_m/cosa_B - D_w));

Япрн = Ow/(4 - DW/RH - 2Dw/(dm/cosaH + D^}.

Безразмерные коэффициенты для расчета:

- размеров больших полуосей площадок контакта k. =(1,4664/ Yr“)(R./ Ry. T“ • K. = (1.«64/ Y^' )(R„/ R„ f8

- размеров меньших полуосей площадок контакта kbe =(1,4184/Y°’0945 )(Rye/RxJ0,318 , kbH =(1,4184/Y/’0945 )(R /RxJ0’318 b.                     .            y.     x.                .                     .            y.     x.

Вспомогательные коэффициенты:

Y. = 1 -(1 - Ry. /Rx. )³; Y. = 1 -(1 - Ry. /Rx. )³ .

Приведенные радиусы кривизны в контактах будут равны:

в сечении, перпендикулярном направлению качения

Rx. = R./(2R.,D. -1) ИRx. = R./(2R„/Dw -1) ;

в сечении по направлению качения

Ry. = D. (Dо. /'2 cos a. + R.)/(Dо. /cos a. + 2R. - D.).

Радиус кривизны шарика R1 = D_w/2.

Радиусы кривизны желобов колец:

• -    в сечении, перпендикулярном направлению качения,

R , - R ^R . = R ■ в 1 в        .1         . ?

• -    в сечении по направлению качения

^R. 2 = ^D 0. /^2cosa.^{- R}. ; ^R. 2 = ^D 0. /^2cosa„ + ^R. .

Общий момент сопротивления вращению для одного шарика можно определить по формуле: Wconp = (M_KH + M_KB) ■ cosa + (T_BH + 7^) ■ sina.

Сопротивление движению в подшипнике осуществляется также за счёт трения шариков о перемычки сепаратора и сепаратора о центрирующую поверхность, например, как показано на рисунке 2, внутреннего кольца.

Усилие в контакте шарика с сепаратором F_s можно найти по зависимости

Fs = F. (i )sin(a.) - F. (i )sin(a.).

Эта сила направлена по нормали к поверхности контакта.

Сила трения направлена перпендикулярна нормальной силе и определяется по зависимости

Ffs =fc Fs, где fc – коэффициент терния сепаратора о тела качения.

Тогда момент трения тела качения о перемычку сепаратора будет

Мs= Ffs Dw /2.

Усилие прижатия сепаратора к центрирующей поверхности определим по формуле:

FS = Fcs + V FSB + Fsr •

Здесь центробежная сила при смещении сепаратора определится по формуле:

Fcs = msgnл ^0 /^ ’ где ms – масса сепаратора, gпл – зазор плавания сепаратора.

Составляющие усилия прижатия шарика по координатным осям определяются суммированием проекций усилий взаимодействия с перемычкой сепаратора:

^fsb = E (F ^(i)sin(^^)-Fs ⁽ⁱ )^cos(^));

i=1

Fsr = E (Fs (i )cos (^ + Fs (i ) sin (V^

i=1

После уточнений коэффициента трения f_c сепаратора о центрирующее кольцо определяется момент трения скольжения сепаратора по центрирующей поверхности:

T =fFD /2, s s S s1

где D_s1– диаметр центрирующей поверхности

Пренебрегая сопротивлением на перемешивание воздушно-масляной среды, что характерно для использования консистентной смазки или небольших скоростей вращения, общий момент сопротивления вращению наружного кольца можно определить суммированием:

M^ = Ts +

.

На основании приведенной математической модели были разработаны алгоритм и компьютерная программа по расчёту момента трения в шарикоподшипнике с учётом трения сепаратора о тела качения и центрирующее кольцо.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

На модернизированной экспериментальной установке, описанной в работе [5] были проведены экспериментальные исследования влияния осевой и радиальной силы на момент трения в подшипнике качения №208. Средние значения шестнадцати экспериментальных замеров для каждого значения осевой и радиальной нагрузок, а также их эллипсы рассеяния, для вероятности Р=0,99 нанесены на графики теоретических расчётов, полученных по разработанной теории. Результаты исследования приведены на рисунках 4-6.

Из графиков видно, что имеет место хорошая корреляция теоретических расчётов с экспериментальными данными. Максимальная погрешность определения момента трения не превышает 15%.

Рисунок 4 – Зависимость момента трения в подшипнике № 208 при действии осевой силы Fa и радиальной силы Fr =4,9 кН

Рисунок 5- Зависимость момента трения в подшипнике № 208 при действии осевой силы Fa и радиальной силы Fr =9,8кН

Рисунок 6 - Зависимость момента трения в подшипнике № 208 при действии осевой силы Fa и радиальной силы Fr =14,7 кН

ВЫВОДЫ

Так как теоретические кривые пересекают эл -липсы рассеяния экспериментальных замеров, то можно говорить о достоверности разработанной методики определения момента сопротивления шариковых подшипников качения с учётом трения сепаратора о тела качения и центрирующее кольцо.

На используемой в эксперименте установке невозможно исследовать влияние скорости вращения на момент сопротивления подшипников.

Для оценки влияния скорости вращения на момент сопротивления в подшипнике качения с учётом трения сепаратора необходимо дополнительные экспериментальные исследования на специальном оборудовании.